1、 用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 . , 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 1 2 :1 22 a , 2212221212211 abxaaxaa :2 12 a , 1222221212112 abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去 2 x 1、二階行列式、二階行列式 1. 二階與三階行列式二階與三階行列式 ; 212221121122211 baabxaaaa ）（ ，得，得類似地，消去類似地，消去 1 x , 211211221122211 abbaxaaaa ）（ 時時，當(dāng)當(dāng)0 21122211 aaaa方程組的解為方程組的解為 ，

2、 21122211 212221 1 aaaa baab x ）（3. 21122211 211211 2 aaaa abba x 由方程組的四個系數(shù)確定由方程組的四個系數(shù)確定. 為便于記憶，引入為便于記憶，引入記號記號 2221 1211 aa aa D 21122211 aaaa 其中，數(shù)其中，數(shù))2, 1; 2, 1(jia ij 稱為行列式的元素。稱為行列式的元素。 該記號為一個數(shù)表，橫排稱為行，豎排稱為列，共有兩行該記號為一個數(shù)表，橫排稱為行，豎排稱為列，共有兩行 兩列，故稱之為兩列，故稱之為二階行列式二階行列式。 每一元素有兩個下標(biāo)，第一個下標(biāo)每一元素有兩個下標(biāo)，第一個下標(biāo) i 稱

3、為稱為 行標(biāo)，表明行標(biāo)，表明 該元素位于行列式的第該元素位于行列式的第 i 行；第二個下標(biāo)行；第二個下標(biāo) j 稱為列標(biāo)，稱為列標(biāo)， 表明該元素位于行列式的第表明該元素位于行列式的第 j 列；列； 11 a 12 a 22 a 主對角線主對角線 輔對角線輔對角線 2211a a . 2112a a 若記若記 , 2221 1211 aa aa D . , 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 對于二元線性方程組對于二元線性方程組 21 a 則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為 , 2221 1211 222 121 1 1 aa aa ab ab D D x . 222

4、1 1211 221 111 2 2 aa aa ba ba D D x , 222 121 1 ab ab D . 221 111 2 ba ba D 三階行列式的計算三階行列式的計算: 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 332211 aaa . 322311 aaa 322113 aaa 312312 aaa 312213 aaa 332112 aaa 322311332112312213 322113312312332211 -aaaaaaaaa aaaaaaaaa 2 n階行列式的定義

5、階行列式的定義 1. 全排列與逆序數(shù)全排列與逆序數(shù) 定義定義1 階全排列，簡稱排列。稱為一個 到的數(shù)組個數(shù)按一定順序排列得這，將 njjj nn n 21 21 如，1234和4312都是4階排列，而53142為一個5階排列。 顯然，n階全排列的個數(shù)為n！個。 定義定義2 。的逆序數(shù)，記為逆序的個數(shù)稱為該排列 中所含。排列構(gòu)成該排列的一個逆序 則稱中，若階排列在一個 )( , , 21 21 21 n nts tsnts jjjt jjjjj jjjjjjjn 例例1 求下列排列的逆序數(shù) 1347826951 ）（321) 1-(2nn）（ 333231 232221 131211 aaa a

6、aa aaa D 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列; 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列. 2. n階行列式的定義階行列式的定義 考察三階行列式的定義 322113312312332211 aaaaaaaaa 332112322311312213 aaaaaaaaa （2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個元素的乘積， 其中，行標(biāo)均按自然順序排列，列標(biāo)為3階排列， 當(dāng)列標(biāo)取遍所有的3階排列后，就得到三階行列 式代數(shù)和中的所有項(xiàng)； （3）每項(xiàng)的正負(fù)號都取決于三個元素的列標(biāo)排列的 奇偶性 .) 1( 321 321 321 )( 333231 232221 131211 jjj jjjt aaa aaa aaa

7、 aaa （1）三階行列式共有6項(xiàng)，即3階排列的個數(shù)； 故 定義定義3 . 21 22221 11211 2 階行列式，稱為數(shù)表 個數(shù)組成的由 n aaa aaa aaa n nnnn n n 。代數(shù)和 個元素的乘積的同行不同列的它表示所有取自表中不 n n n jjj njjj jjjt aaa n 21 21 21 21 )( ) 1(- 稱為行列式的元素。簡記為 ijij aa ),(det 例例2 2 計算計算下三角形行列式下三角形行列式 nnnn aaa aa a 21 2221 11 0 00 解解展開式的一般項(xiàng)為展開式的一般項(xiàng)為 .(-1) 21 21 21 )t( n n nj

8、jj jjj aaa 不為零的項(xiàng)只有不為零的項(xiàng)只有 .) 1(- 2211 )12( nn nt aaa nnnn aaa aa a 21 2221 11 0 00 nn nt aaa 2211 12 1 . 2211nn aaa 定義定義4 將一個排列中的兩個數(shù)位置對調(diào)稱為對換，將一個排列中的兩個數(shù)位置對調(diào)稱為對換， 將相鄰兩個數(shù)位置對調(diào)稱為相鄰對換。將相鄰兩個數(shù)位置對調(diào)稱為相鄰對換。 定理定理1 一次對換改變排列的奇偶性。一次對換改變排列的奇偶性。 定理定理2個。占一半，均為階排列中，奇偶排列各在所有! 2 1 nn 定理定理3 )()( ) 1(- 2121 2211 nn jijiji

9、 s jjjtii its s aaaD n nn 序數(shù)之和，即為行標(biāo)與列標(biāo)排列的逆其中 ， 階行列式也可定義為 3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 稱之為稱之為 D 的轉(zhuǎn)置行列式。的轉(zhuǎn)置行列式。 記記 nn a a a 22 11 n n a aa 2 112 21 21 nn aa a D 2 121 n n a aa nn aa a 21 12 T D nn a a a 22 11 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 性質(zhì)性質(zhì)2 2 交換行列式的兩行（列）交換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. . 說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等

10、的地位,因此行列因此行列 式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立. 例如例如 推論推論1 1 如果行列式有兩行（列）完全相同，如果行列式有兩行（列）完全相同， 則此行列式為零則此行列式為零. . 證明證明 , 571571 266 853 . 8 2 5 8 2 5 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 266 853 。又有，由性質(zhì)則 ，的行列式記作交換相同的兩行，得到 DDDD D -2 11 1 性質(zhì)性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一數(shù)乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)等于用數(shù)k乘此行列式乘此行列式. n

11、nnn inii n aaa kakaka aaa 21 21 11211 nnnn inii n aaa aaa aaa k 21 21 11211 推論推論2 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符號的外面子可以提到行列式符號的外面 推論推論3 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，行列式中如果有兩行（列）元素成比例， 則此行列式為零則此行列式為零 證明證明 nnnn inii inii n aaa kakaka aaa aaa 21 21 21 11211 nnnn inii inii n aaa aaa aaa aaa k 21 21

12、 21 11211 . 0 性質(zhì)性質(zhì)4 4若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩 數(shù)之和數(shù)之和. . nnnininn nii nii aaaaa aaaaa aaaaa D )( )( )( 21 2222221 1111211 則則D等于下列兩個行列式之和：等于下列兩個行列式之和： nnnin ni ni nnnin ni ni aaa aaa aaa aaa aaa aaa D 1 2221 1111 1 2221 1111 例如例如 階行列式計算 4 1 11 1 11 1 11 1 11 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d c c c c b

13、 b b b a a a a D 1 abcd已已知知 例例3 解解 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 d dd c cc b bb a aa D 1 11 1 11 1 11 1 11 2 2 2 2 d d d c c c b b b a a a dd d cc c bb b aa a abcd 11 1 11 1 11 1 11 1 2 2 2 2 dd d cc c bb b aa a 11 1 11 1 11 1 11 1 1 2 2 2 2 3 . 0 性質(zhì)性質(zhì)5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另

14、一列(行行)對應(yīng)的元素上去，行對應(yīng)的元素上去，行 列式不變列式不變 njnjnin jji nji aaaa aaaa aaaa 1 22221 11111 njnjnjnin jjji njji ji aakaaa aakaaa aakaaa kcc )( )( )( 1 222221 111111 k 例如例如 1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等; 2、交換行列式的兩行或兩列、交換行列式的兩行或兩列,行列式的值變號行列式的值變號; 3、用數(shù)、用數(shù)k乘行列式的某一行乘行列式的某一行(列列) ,等于以數(shù)等于以數(shù)k乘此乘此 行列式行列式; 5、將行列式某一行（列）的所

15、有元素同乘以、將行列式某一行（列）的所有元素同乘以 數(shù)數(shù)k后加到另一行的對應(yīng)元素上，行列式的值后加到另一行的對應(yīng)元素上，行列式的值 不變不變. 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 4、如果行列式的某一列、如果行列式的某一列(行行)的每一個元素都可的每一個元素都可 寫成兩個數(shù)的和，則此行列式可以寫成兩個行寫成兩個數(shù)的和，則此行列式可以寫成兩個行 列式的和列式的和; 計算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式計算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式 化為上三角形行列式，從而算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值 ji krr 0112 0121 2011 2110 D 例例4 4答案： abbb bab

16、b bbab bbba D 解解 abbbna babbna bbabna bbbbna 1 1 1 1 D 將第將第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2 例例5 計算計算n階行列式階行列式 abb bab bba bbb bna 1 1 1 1 ) 1( ba ba ba bbb bna 1 ) 1( 0 0 .)() 1( 1 n babna 4 行列式按行行列式按行( (列列) )展開展開 余子式與代數(shù)余子式 行列式按行（列）展開法則 在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，余下來的列劃去后，余下來的 階行列式叫做元素階行列式叫

17、做元素 的的余子式余子式，記作，記作 n ij a ij 1 n ij a .M ij ，記記 ij ji ij MA 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式 ij a 例如例如 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 444241 343231 141211 23 aaa aaa aaa M 23 32 23 1MA . 23 M 1、 余子式與代數(shù)余子式余子式與代數(shù)余子式 , 203-0 12-00 4011 321-1 D ,-4 200 12-0 401 12 M 41 12 21 12 MA ,-4 2

18、-00 011 21-1 44 M -41 44 44 44 MA 值無關(guān)。有關(guān)，而與該元素的取 置該元素在行列式中的位個代數(shù)余子式，且只與 對應(yīng)著一個余子式和一行列式的每個元素分別 2、行列式按行（列）展開法則、行列式按行（列）展開法則 )-( )-(-)-( 3122322113 31233321123223332211 aaaaa aaaaaaaaaa 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 - aa aa a aa aa a aa aa a 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 322311332112312213

19、322113312312332211 -aaaaaaaaa aaaaaaaaa 131312121111 AaAaAa 例例6 3351 1102 4315 2113 D 0355 0100 13111 1115 31 2 cc 34 cc 定理定理4 4 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素 與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 ininiiii AaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 njnjjjjj AaAaAaD 2211 或或 nj, 2 , 1 055 1111 115 )1( 33 055 026 115 55 2

20、6 )1( 31 .40 12 rr 推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）行列式任一行（列）的元素與另一行（列） 的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 . ji,AaAaAa jninjiji 0 2211 nnn ini ini n aa aa aa aa 1 1 1 111 證證 行行第第 i 行行第第 j 相同相同 考察下述行列式考察下述行列式 , 11 1 1 1 111 jninji nnn ini ini n AaAa aa aa aa aa ,時時當(dāng)當(dāng)ji ).(,0 2211 jiAaAaAa jninjiji 同理同理

21、).(, 0 2211 jiAaAaAa njnijiji 行展開，有把上述行列式按第 j 行行第第 j 關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ;,0 , 1 ji jiD Aa n k kjki ;,0 , 1 ji jiD Aa n k jkik 證證用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法 21 2 11 xx D 12 xx , )( 12 ji ji xx ）式式成成立立時時（當(dāng)當(dāng)12 n 例例7證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 ).( 111 jin ji n n nn n n n xx xxx xxx xxx

22、 D )1( ，階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立）對于）對于假設(shè)（假設(shè)（11 n )()()(0 )()()(0 0 1111 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx D n n n nn nn n n 就就有有 提提出出，因因子子列列展展開開，并并把把每每列列的的公公按按第第)(1 1 xxi )()()( 2 11312j jin inn xxxxxxxxD ).( 1 j jin i xx 22 3 2 2 32 11312 111 )()( n n nn n n xxx xxx xxxxxx n-1階范

23、德蒙德行列式階范德蒙德行列式 11111 000 0000 000 000 1 aa a aa aa Dn 例例8 計算計算n+1階行列式階行列式 nn an) 1() 1(-答案： 練習(xí)：練習(xí)： 計算計算n階行列式階行列式 xy yx yx yx yx Dn 000 000 000 000 000 nnn yx 1 ) 1(- 答案： 5 Cramer法則法則 非齊次與齊次線性方程組的概念 Cramer法則 齊次線性方程組的相關(guān)定理 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組 , 21 不不全全為為零零若若常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng) n bbb則稱此方程組為則稱此方程組為n元元非非 齊次線性方程組齊次線性方程組;, 21 全為零全為零若常數(shù)