1、會計學(xué)1 圖乘法圖乘法 互等定理互等定理 等截面直桿等截面直桿AB段段 tan xM 以桿軸為 x 軸，以 圖的 延長線與 x 軸的交點O為坐 標(biāo)原點， 沿沿AB桿段為桿段為 常數(shù)常數(shù) M tan B A B A dxMM EIEI dxMM P P 1 B A B A xd EI dxxM EI tantan P 第1頁/共33頁 式中， 為 圖中有陰影線的微面積，故 為微面積對 y 軸的面積矩。 dxMd P P M xd 即為整個 圖的面積對 y 軸的面積矩。 xd P M 根據(jù)合力矩定理，它應(yīng)等于 圖的面積 乘以其形心c 到y(tǒng)軸的距離 ，即 P M c x B A c xxd EI y

2、 x EI tg EI dxMM c c B A P 第2頁/共33頁 EI y x EI tg EI dxMM c c B A P 由此可見，上述積分式等于一個彎矩圖的面積 乘以其 形心處所對應(yīng)的另一個直線彎矩圖上的縱距 ，再除以 EI。這就是圖形相乘法的計算公式，簡稱為圖乘法。 c y 第3頁/共33頁 根據(jù)上面的推證過程，可知在使用圖乘法時應(yīng)注意下列各 點： （1）必須符合上述三個條件；）必須符合上述三個條件； （2）縱距）縱距 只能取自直線圖形；只能取自直線圖形； （3） 與與 若在桿件的同側(cè)則乘積取正號，否則取負(fù)若在桿件的同側(cè)則乘積取正號，否則取負(fù) 號號 c y c y 位移計算中常

3、見的幾種圖形的面積和形心的位置 hl 2 1 第4頁/共33頁 在拋物線圖形中，注意在拋物線圖形中，注意 頂點是指該點的切線平行于頂點是指該點的切線平行于 底邊的點。底邊的點。 hl 3 2 hl 3 2 1 hl 3 1 2 1 2 h 頂點頂點 頂點頂點 第5頁/共33頁 二、復(fù)雜圖形的圖乘 1、當(dāng)當(dāng)yc所屬圖形不是一段直線而是若干段直線組成時，所屬圖形不是一段直線而是若干段直線組成時， 應(yīng)分段圖乘，再進(jìn)行疊加。應(yīng)分段圖乘，再進(jìn)行疊加。 )( 1 332211 yyy EI EI yc 第6頁/共33頁 EI yc 3 33 2 22 1 11 EI y EI y EI y 2、當(dāng)各桿段的

4、截面不相等時，應(yīng)分段圖乘，再進(jìn)行疊加當(dāng)各桿段的截面不相等時，應(yīng)分段圖乘，再進(jìn)行疊加 。 第7頁/共33頁 3、當(dāng)彎距圖形較復(fù)雜、當(dāng)彎距圖形較復(fù)雜,其面積或形心位置不易確定時其面積或形心位置不易確定時,可可 以按照積分運算的規(guī)則以按照積分運算的規(guī)則,將其分解成幾個簡單的圖形，然將其分解成幾個簡單的圖形，然 后分別將簡單的圖形與另一圖形相乘后再疊加。后分別將簡單的圖形與另一圖形相乘后再疊加。 梯形分解：梯形分解： a b c d y1 y2 1 2 )22( 6 1 ) 3 2 3 1 ( 2 ) 3 1 3 2 ( 2 1 )( 1 2211 bcadbdac l EI dc bl dc al

5、EI yy EIEI yC 第8頁/共33頁 )( 1 2211 yy EIEI yC 第9頁/共33頁 拋物線非標(biāo)準(zhǔn)圖形的分解。拋物線非標(biāo)準(zhǔn)圖形的分解。 圖圖a a所示結(jié)構(gòu)中的一段直桿所示結(jié)構(gòu)中的一段直桿ABAB在構(gòu)布荷載在構(gòu)布荷載q q作用下的作用下的M Mp p圖。在圖。在 一般情況下，這是一個拋物線非標(biāo)準(zhǔn)圖形。一般情況下，這是一個拋物線非標(biāo)準(zhǔn)圖形。 由疊加法可知，由疊加法可知，M Mp p圖是兩端彎矩圖是兩端彎矩M MA A、M MB B組成的直線圖（圖組成的直線圖（圖b b中中 的的MM圖）和簡支梁在均布荷載圖）和簡支梁在均布荷載q q作用下的彎矩圖（圖作用下的彎矩圖（圖c c中的中

6、的M M0 0 圖）疊加而成的。因此，可將圖）疊加而成的。因此，可將MpMp圖分解為直線的圖分解為直線的MM圖和標(biāo)準(zhǔn)圖和標(biāo)準(zhǔn) 拋物線的拋物線的M M0 0圖，然后再應(yīng)用圖乘法。圖，然后再應(yīng)用圖乘法。 第10頁/共33頁 a b c d y1 y2 1 2 圖形的縱距a、b 或c 、d不在基線同一側(cè)時。 處理原則也和上面一 樣，可分解為位于基線兩側(cè)可分解為位于基線兩側(cè) 的兩個三角形，分別與另一的兩個三角形，分別與另一 圖形相乘，然后疊加。圖形相乘，然后疊加。 )22( 6 1 ) 3 2 3 1 ( 2 ) 3 1 3 2 ( 2 1 )( 1 2211 bcadbdac l EI dc bl

7、dc al EI yy EIEI yc 第11頁/共33頁 2 l 2 l 三圖乘法位移計算舉例三圖乘法位移計算舉例 例例 1. 設(shè)設(shè) EI 為常數(shù)，求跨中豎向位移為常數(shù)，求跨中豎向位移 及及A端的角位移端的角位移 A 。 Cy 第12頁/共33頁 B A q 2 8 1 ql P M圖圖 C A B FP=1 M 圖圖4 l 解：解：1. 求跨中豎向位移求跨中豎向位移 Cy 作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖 第13頁/共33頁 解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖 B A q 2 8 1 ql P M圖圖 C A B FP=1 M 圖圖4

8、l )( 384 5 2) 48 5 () 8 1 23 2 ( 1 4 2 EI ql l ql l EI Cy 第14頁/共33頁 2. 求求A端的角位移端的角位移 作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖 將圖將圖b與圖與圖c圖乘，則得：圖乘，則得： A= )( 242 1 ) 83 2 ( 1 32 EI qlql l EI 第15頁/共33頁 例2 試求下圖 所示剛架C 點的豎向位移 。 yC 解 （1）作實際狀態(tài)的 。 P M 8 ql 2 8 ql 2 第16頁/共33頁 （2）建立虛擬狀態(tài)，并作 圖。M （3）進(jìn)行圖形相乘，求C點豎向位移 。 yC 1 l/2

9、第17頁/共33頁 c C EI y y )( 128 4 ) 83 2 ( 23 2 ) 82 1 ( 8 3 ) 283 1 ( 1 4 2 2 2 EI ql l l ql l l ql llql EI 8 ql2 8 ql 2 1 l/2 1 y1 2 y2 3 y3 第18頁/共33頁 第19頁/共33頁 第20頁/共33頁 應(yīng)用圖乘法，做應(yīng)用圖乘法，做 和和 圖。圖。 第一種方法第一種方法： 圖圖 中三角形面積：中三角形面積： 圖圖 中的標(biāo)距：中的標(biāo)距： 求得求得C的撓度：的撓度： （向下）（向下） 8222 1 2 lll M P M Pl . 6 5 EI Pl Pl l EI

10、 C 48 5 6 5 8 1 32 P MM 第21頁/共33頁 應(yīng)用圖乘法，做應(yīng)用圖乘法，做 和和 圖。圖。 第二種方法第二種方法： 圖圖 中三角形面積：中三角形面積： 圖圖 中的標(biāo)距：中的標(biāo)距： 求得求得C的撓度：的撓度： （向下）（向下） P M 2 2 1 Pl M l . 6 1 EI Pl l Pl EI C 126 1 2 1 32 P MM 思考：兩種方法那種對？ 第22頁/共33頁 例例 4. 已知已知 EI 為常數(shù)，求剛架為常數(shù)，求剛架A點的豎向位點的豎向位 移移 。 Ay 第23頁/共33頁 M 圖圖 P M圖圖 第24頁/共33頁 )( 16 42 3 2 1 22

11、1 3 EI Pl Pll l EI Pl l l EIEI yc Ay 在在 圖求面積，在圖求面積，在 圖取豎標(biāo)，有：圖取豎標(biāo)，有：M P M M 圖圖 P M圖圖 2E I EI EI l/2 l 第25頁/共33頁 )( 822 1 222 1 22 1 3 EI Pl l lPl EI l lPl EI lPl l EIEI yc Ay 在在 圖求面積，在圖求面積，在 圖取豎標(biāo)，有：圖取豎標(biāo)，有：M P M M 圖圖 P M圖圖 2E I EI EI l/2 l 第26頁/共33頁 一、一、 虛功互等定理虛功互等定理: 11 2 P 12 22 2 2221211111 2 1 2 1

12、 PPPW 11 第第 I 狀態(tài)狀態(tài) 先加廣義力先加廣義力P1，后加廣義力后加廣義力P2。 （Reciprocal Theory in Linear Structures) 第27頁/共33頁 12 2 P 11 21 2 22 1112122222 2 1 2 1 PPPW 12 2 P 22 2 由由 21 WW 212121 PP 功的互等定理功的互等定理 第第 狀狀 態(tài)態(tài) 先加廣義力先加廣義力P2，后加廣義力后加廣義力P1。 第28頁/共33頁 二、二、 位移互等定理位移互等定理: 在虛功互等定理中，令兩個狀態(tài)中的外力P1=P2=1可得： 12=21 此式表明：在第一個單位力方向上由第二個單位力所引起 的位移12，等于在第二個單位力方向上由第一個單位力所引 起的位移21，這即是位移互等定理。 此處的單位力，是廣義單位力。位移是廣義位移， 即包括線位移和角位移。 第29頁/共33頁 三、三、 反力互等定理反力