1、 4. 橢圓的參數方程橢圓的參數方程 1重點輔導 其中參數的幾何意義為其中參數的幾何意義為:為圓心角為圓心角 圓心為圓心為(a,b)、半徑為半徑為r的圓的參數方程為的圓的參數方程為 x =a+rcos y =b+rsin (為參數為參數) 知識回顧知識回顧 對于我們現在學習的橢圓是否也有與之對應的參數方程呢？對于我們現在學習的橢圓是否也有與之對應的參數方程呢？ 例例5、如圖、如圖,以原點為圓心以原點為圓心,分別以分別以a、b(ab0) 為半徑作兩個圓，點為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點，與小圓的交點， 過點過點A作作 AN Ox ，垂足為，垂足為N，過點，過點B作作 B

2、M AN ，垂，垂 足為足為M，求當半徑，求當半徑OA繞點繞點O旋轉時，點旋轉時，點M的軌跡的參的軌跡的參 數方程。數方程。 解：設點解：設點M（x,y), 是以是以ox為始邊，為始邊， oA為終邊的為終邊的 正角。正角。為參數為參數那么那么： =acos =bsin x =acos y =bsin（為參數）為參數） 新課講授新課講授 x O y A B N M(x,y) x =acos 在在 y =bsin（為參數）為參數） 中：中： 將兩個方程變形，得將兩個方程變形，得：cos a x sin b y 聯想到聯想到1cossin 22 所以有所以有： 1 2 2 2 2 b y a x 新

3、課講授新課講授 由此可知由此可知,點點M的軌跡是橢圓的軌跡是橢圓. x O y A B N M x =acos y =bsin（為參數）為參數） 我們把方程我們把方程 叫做橢圓叫做橢圓 的參數方程。的參數方程。 )( 1 2 2 2 2 oba b y a x 1.上面橢圓的參數方程上面橢圓的參數方程a ,b的幾何意義是什么的幾何意義是什么？ 橢圓橢圓 )( 1 2 2 2 2 oba b y a x x =acos y =bsin（為參數）為參數） 1.已知橢圓的參數方程已知橢圓的參數方程 （ 是參數）是參數） 則此橢圓的長軸長是則此橢圓的長軸長是_，短軸長是，短軸長是_。 sin cos3

4、 y x 322 課堂練習課堂練習 sin3 cos5 y x 橢圓橢圓 的參數方程是怎樣的？的參數方程是怎樣的？ )0(1 2 2 2 2 ba b x a y x O y A B N M ).( 為參數 sin a y cos b x 1 o F y x 2 F M 12 y o FF M x x =acos y =bsin（為參數）為參數） 參數方程參數方程: : x=bcos y =asin（為參數）為參數） 參數方程參數方程: : ) 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 標準方程標準方程: : 01 2 2 2 2 ba b y a x 標準方程標準方程: : 2.怎樣把

5、橢圓的普通方程和參數方程互化怎樣把橢圓的普通方程和參數方程互化？ 參數參數 方程方程 普通普通 方程方程 設參數設參數 消去參數消去參數 1. 將下列參數方程化為普通方程將下列參數方程化為普通方程,普通方普通方 程化為參數方程程化為參數方程: ( 3cos 1 2sin 為參數）（） x y ( 8cos 2 6sin 為參數）（ ） x y 2 2 49 31 y x （ ） 2 2 16 (4)1 y x 課堂練習課堂練習 1 49 22 yx1 3664 22 yx x =2cos y =3sin（為參數）為參數） x =cos y =4sin（為參數）為參數） 2、下列結論正確的是：（

6、、下列結論正確的是：（ ） x =5cos y =5sin（為參數）為參數） x =5cos y =4cos（為參數）為參數） x =5cos y =4sin（為參數）為參數） x =5cos y =4sin（為參數且為參數且 ）0 3.曲線的參數方程曲線的參數方程 ，則此曲線是（），則此曲線是（） A、橢圓、橢圓 B、直線、直線 C、橢圓的一部分、橢圓的一部分 D、線段、線段 是參數） ( sin2 cos 2 2 y x 課堂練習課堂練習 2.橢圓參數方程的應用橢圓參數方程的應用 x y O 1 49 22 yx .,2626最最小小值值最最大大值值 22 1 94 xy 在中x+y-c0

7、恒成立， 求實數c的取值范圍 2.橢圓參數方程的應用橢圓參數方程的應用 解：因為點解：因為點P（x,y)在橢圓在橢圓 上，可設上，可設 ： 1 4 2 2 y x x =2cos y = sin (為參數為參數) 3 2 ) 3 2 (cos3 2 則則|AP|= 22 )(sin) 1cos2( 當當cos= 時，時，|AP| = 3 6 3 2 min 3 5 3 4 3 5 3 4 |AP| = 3 6 min 例例1.已知點已知點A（1，0），點），點P在橢圓在橢圓 上移動，問：點上移動，問：點P 在何處時使在何處時使|PA|的值最小？的值最小？ 1 4 2 2 y x x y O 解

8、：設橢圓內接矩形的一個頂點坐標為解：設橢圓內接矩形的一個頂點坐標為P( cos , sin ) ab 4cossin2sin22Sababab 矩形 ()2 24 k kZSab 矩形 當時，最大。 所以橢圓內接矩形面積的最大值為所以橢圓內接矩形面積的最大值為2ab. 例例2.已知橢圓已知橢圓 ,求橢圓內接矩形求橢圓內接矩形 面積的最大值面積的最大值. )( 1 2 2 2 2 oba b y a x 2.橢圓參數方程的應用橢圓參數方程的應用 在橢圓在橢圓 上求一點上求一點 ,使使 到直線到直線 的距離最小的距離最小. 88 22 yxPP04: yxl 方法一方法一: 方法二：方法二： x

9、y l O 圖1-2 2.橢圓參數方程的應用橢圓參數方程的應用 2 |4)cos(3| , 3 22 sin)sin(cos)cos(cos . 3 1 sin)cos(cos)sin(sin 方法方法一一： )sin,cos22(P 設設 2 |4sincos22| dP 則點則點 到直線距離到直線距離 . 3 1 sin, 3 22 cos，其中，其中 1)cos( 2 2 d當當 時，時， 取最小值取最小值 . 此時此時, ). 3 1 , 3 8 ( P點的坐標點的坐標 2.橢圓參數方程的應用橢圓參數方程的應用 x y l O 圖1-2 1 8 2 2 y x 方法二方法二:把直線把直

10、線 平移至平移至 , 與橢圓相切與橢圓相切, 此時的切點此時的切點 就是最短距離時的點就是最短距離時的點. l l l P l x y l O P 0829 22 mmyy 0)8(944 22 mm3m 88 0 22 yx myx 由由 P3m 04: yxl ) 3 1 , 3 8 (P 由圖形可知：由圖形可知： 時時， 到直線到直線 的距離最小的距離最小,此時此時 . 0: myxl 即設：即設： 2.橢圓參數方程的應用橢圓參數方程的應用 P O l x y l / l / l / P 已知橢圓方程已知橢圓方程 求求 的范圍。的范圍。(用兩種方法做用兩種方法做) , 1 916 22 y