1、某個集值不動點理論及應用 姓姓 名名 羅賢強羅賢強 指指導教師導教師 石忠銳石忠銳 背景 處理非線性問題有很多種方法，不動點是 其中之一，不動點理論是非線性泛函分析 的重要組成部分，它與近代數學的許多分 支有著緊密的聯系。特別是在建立各類方 程(其中包括各類線性或非線性的，確定的 或非確定型的微分方程，積分方程以及各 類算子方程)解的存在唯一性問題中起著重 要的作用。 自上世紀初Brouwer和Banach分別證明了 Brouwer不動點定理和Banach壓縮映象原理以 來，不動點理論得到了大量的研究。 目前， 不動點理論己經滲透到數學的多個領域，并被 廣泛應用于各種問題的研究中。不動點理論與

2、 變分不等式理論密切相關。事實上，某些廣義 混合變分不等式問題，實質上就是不動點問題， 如Takahashi【1】。Banach壓縮映象原理是最 為人熟知的不動點定理之一，自誕生以來得到 了許多學者的研究，提出了大量的偽或擬壓縮 映象的不動點定理 近幾年，作為不動點理論的延伸和推廣，映射對(或映 射族)的公共不動點受到廣泛重視，并成為十分活躍的 領域。在廣義度量空間上的不動點也成為研究的熱點。 關于不動點(或公共不動點)最佳逼近的研究也成為備受 關注的課題，并得到了許多結果【1-78】。在近兩年， 吸引點（attractive point）理論也主要被Wataru Takahashi,Lin

3、Lai-Jiu, Yao Jen-Chih等研究【80-85】，他們 主要把 推廣到不同的非膨脹映射。并應用 來獲得不同的不動點定理以及證明更一般的遍歷定理。 目前國內活躍在這方面研究的代表主要有張石生，丁協 平，陳光亞，Lin laijiu, Cho Jenchih.黃南京等，國外有 AgarwalR.R，Donal oRegan，wataru Takahashi，Sehie Park等，這些人的文章量比較大。 :T CC 我要研究的內容 在更一般的拓撲線性空間，把KakutaniFan Glicksberg不動點定理中的“局部凸”條件改為“具 有豐滿的對偶空間 ”即“對任意 的 ”， 并用

4、來研究廣義 擬變分不等式，隱變分不等式等。這兩個條件中， 后者是更弱的，參考文獻中的拓撲線性空間 （蘭州大學出版）對此做了較詳盡的說明。 2. 把壓縮（偽壓縮）集值映射應用到一般的拓撲線 性空間，得出新的不動點定理，在Banach空間引入 正規映射，并應用到吸引點（attractive point）理論。 3. 在orlicz空間找到某些不動點的應用 * , . ( )( )x y E p E st p xp y 考慮博弈問題:有N個參與者，Kn表示第n個 人的可能策略集合（非空緊凸集）。第n個 人的目標函數 假設是 連續的。 是所有博弈者 的策略集，計 在別人已定策略后，每個參與者最大化自

5、己的利益： . 定義 是集值映射: 稱為Nash均衡點，若 定義 則 。在什么情況下有Nash均衡點？ 12 : NN UKKKR 12 , Nii xx xxxK 111 n nnN KKKKK 111111 , nn nnNnnnnN xxxxxz xxxz xx *, max, nn nn NnNn zK UxxUzxn :2 n K n n T K max, nn nnnn nNn z K T xArgU z xxK * 1 , N xxxK nn n xTx 1122 :2 :, K NN T KT xT xTxTx * xT x 1968年，Browder應用KyFan極小極大原理

6、證 明了Browder不動點定理【6】： 設E為Hausdorff拓撲線性空間，X為E的緊凸 集，設S：X ,滿足下列條件之一: 對任意的 , 是非空的凸集，且對任 一 , 是X中的開集； 對任一 ， 是X中的開集，且對任 一 ， 是X中非空的凸集。 則 S在X中存在不動點。 2 X xX ()Sx yX 1( ) ,( )S yx X y Sx xX ( )S x yX 1( ) ,( )S yx X y Sx 1989年Tarafdar對Browder集值不動點定理作了一些 推廣，應用的是“緊集的有限開覆蓋的單位分解 法，”以及“緊集中的閉集族具有有限交性質”等。 后來張石生，S.Park

7、等在賦范線性空間中證明內向 集與外向集定理【6】。1988年上海交大的陳志強 應用幾乎下半連續，證明了一個集值映射的連續選 擇定理，并得到了不動點定理，推廣了brouwer不動 點定理【6】。2000年浙大的向淑文證明了上半連 續集值映射的連續選擇逼近定理?！?】 Kakutani,Fan,Glicksberg等在局部凸Hausdorff拓撲線 性空間證明了KakutaniFan Glicksberg不動點定理 【6】： 設E為局部凸Hausdorff拓撲線性空間，X為E的非空 緊凸集，設T：X ，是具非空閉凸值的上半連 續映射。則T在X中存在不動點。 2 X 1991年張石生等在廣義擬變分不

8、等式時， 推廣了KakutaniFan Glicksberg不動點定 理【6】： 設E為局部凸Hausdorff拓撲線性空間，X為E 的非空緊凸集，設T：X 是具非空閉凸 值的映射，而且對每一 ， 關于x 是上半連續的。則T在X中存在不動點。 并且應用在廣義擬變分不等式，隱變分不 等式等的研究中。 2 X * pE ( ) sup, y T x p y 問題是當參與者有無窮多，比如 ， 它不是Hilbert空間，也不是局部凸拓撲線性 空間,它是賦擬范空間： ， 擬范為 。它的對偶空間為 ， 是豐滿的（ ）。 在什么情況下有Nash均衡點： 值得 探討。 又當策略集K非凸時，結果有如何？ * x

9、T x 0 p 1 p l 1 p p nn n laa 1 1 p p nn n aa l ,0, . .0 p xlxfls t fx 我預想得出的結果： 1. 設E為拓撲線性空間，對偶空間 是豐滿的，X為E 的非空緊凸子集， T：X 是非空緊凸值的集值 映射，而且對每一 ， 關于x是上半連 續的。則T在X中存在不動點。并用來研究廣義擬變 分不等式，隱變分不等式等。 2.廣義擬設變分不等式：E是Hausdorff拓撲線性空間， 對偶空間 是豐滿的，X是E中的緊凸集設 ， 且 滿足:對每一個 關于x下半連續； 關于y是 對角凹的； ； F：X 是具非空閉凸值的映射，對每一 ， 關于x是上半連

10、續的,且 是X中的閉集則存在 ，使得 。 2 X * pE () sup, y Tx p y * E * E ,:X XR :2 X F X ,yXx y , x y ,x yx yx yX 2 X* pE () sup, yFx p y ( ) : sup, yFx xXx y xX ( ) , sup, y F x xF xx y 3.隱變分不等式：E是Hausdorff拓撲線性空 間，對偶空間豐滿，E中的緊凸集， ， 設 ，任意 ，存在 ，使 得 。 ，任意 ， 任意 ， 。存在 ，使 得隱變分不等式 成 立 。 0 ,X X 0 XX 0 :,g XX 0 zX xX ,g z x 0

11、 :,XX XR 0 zX xX:, ,0z x xxX , ,g x yx x yg x xyX 3. 設E為拓撲線性空間，對偶空間 是豐 滿的，X為E的非空緊子集， T：X 是非 空閉值的集值映射，滿足：對每一 ， 是下半連續的；存 在 ，使得對每 一 ， 。 則T在X中存在不動點。 * E 2 X * pE inf( )( ( )p xp T x 01 , n rxX * pE 11 inf ( )( ( )inf ()( () nnnn pxpTxrpxpTx 第二個問題 1965年Browder,kirk證明X為Hilbert或一致凸 空間或有正規結構，C是X的有界閉凸集， 則映C到

12、自身的非擴張映射T有不動點。 問題是： C不是有界閉凸集，或非擴張映射 T映C到X呢？ 在近幾年，吸引點（attractive point）理論 也主要被Wataru Takahashi,Lin Lai-Jiu, Yao Jen-Chih等研究【80-85】，并應用來獲得不 同的不動點定理. 設H是Hilbert空間，C是H的非空子集， 。 分別用 ，表示不動點集，吸引點集， 即 ， :T C H ( )F T( )A T ( ):FTz CTz z ( ):,ATz H Tx zx zx C 2011年，Wataru Takahashi, Yao Jen-Chih利用 Banach極限【10

13、】證明不動點定理【84】： 設H是Hilbert空間，C是H的非空閉凸子集， 若存在 使得 有界，且存在 Banach極限 ，使得 。 則 在C中有不動點。 xCxC :T CCx C n T x 22 , nn nn T xTyT xyyC T 2012年Wataru Takahashi,Lin Lai-Jiu證明吸收 點存在定理【84】： 設H是Hilbert空間，C是H的非空子集， 。 若存在 ，使得 有界，且存在 上的 Banach極限 ，使得 。 則 是非空。另外若C是閉凸的，則 非空。 :T CC xC n T xl 22 , nn nn T xTyT xyyC ( )A T( )

14、F T 在Hilbert空間，內積起到重要的作用，而在 Banach空間中無內積概念，引入：正規對 偶映射 。當 Banach空間是光滑，嚴格凸，自反的空間 時，J是單值的。設E是光滑Banach空間， 定義函數 為： 定義吸引點 為： 則 有界。 * 22 * :2, X J XJ xfXf xxf :,EE 22 ,2,x yxx Jyyx yE ( )A T ( ):,A TzHz Txz xxC , n A TxC T x 4.吸引點理論的研究才剛剛起步，只有初步 的構想。 設E是光滑，嚴格凸，自反Banach空間，C 是E的非空子集，設T:C C廣義非擴張映射。 即若 非空， 若存在

15、C中的某個x，使得 有界，則吸 引點 非空。 又若C是閉凸集，則T有不動點。 n T x ( ):,A TzHz Txz xxC ,Tx yx yx C y F T F T 5. 關于在orlicz空間找到某個不動點的應用 研究，還在進一步探索中。 爭取一兩年內在SCI刊物上發表2-3篇學術論 文。 研究方法。 根據參考文獻orlicz空間幾何理論， 拓撲線性空間（蘭州大學出版），以 及張石生教授著的變分不等式和相補問 題理論及應用的研究思路和證明方法。 并且大量閱讀最近的發表的相關的研究論 文，注意并掌握新的研究動態和研究方法， 豐富知識并拓寬自己的視野。并應用他們 的方法來研究推廣已有的結論。 預期困難和對策 把“局部凸Hausdorff拓撲線性空間”，改為“設E為拓撲線性空間， 對偶空間 是豐滿的”的，需要對這兩個拓撲線性空間的拓撲結構作深 入的研究，并且深入研究KFG不動點定理的證明過程，證明方法作詳 細的理解，尋找證明中用到的關鍵理論，并與“設E為拓撲線性空間， 對偶空間 是豐滿的”的拓撲結構相對照，找到證明關鍵理論的方法或 者要增加的條件，并研究參考文獻中證明該不動點的其他方法，并加 于應用的。是否能找到該突