1、 第三章第三章 立體表面基本立體表面基本 元素的投影元素的投影 點、線、面點、線、面 第一節第一節 點的投影點的投影 點、線、面是構成各種形體的基本幾何元素點、線、面是構成各種形體的基本幾何元素 空間點空間點A在在P面上的投影是過投影中面上的投影是過投影中 心心S和和A的投射線與的投射線與P面的交點面的交點a 。 H V O X 點的兩面投影點的兩面投影 前面提到；在正投影的條件下，點的單面投影不能 唯一確定該點的空間位置，那么，兩面投影呢？ A a a 點的兩面投影能夠唯一點的兩面投影能夠唯一 確定點的空間位置。確定點的空間位置。 兩面投影體系的建立： V正面投影面 H水平投影面 OX投影軸

2、 ax 點的兩面投影圖的形成點的兩面投影圖的形成 A a a H V O X ax a V H a ax OX a a ax OX 展開展開 去邊框去邊框 點的兩面投影圖的性質點的兩面投影圖的性質 A a a H V O X ax a a ax OX 正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸； 正面投影到OX軸的距離等于A點的高度； 水平投影到OX軸的距離等于A點的深度； H V O X Y Z 點的三面投影點的三面投影 A a a ax a ay az 通常我們用大寫字母通常我們用大寫字母 表示空間的點，相應表示空間的點，相應 的小寫字母表示其水的小寫字母表示其水 平投影，小寫字母加平投影，小寫

3、字母加 一撇表示其正面投影，一撇表示其正面投影， 小寫字母加兩撇表示小寫字母加兩撇表示 其側面投影。其側面投影。 W A H V O X Y Z a a ax a ay az W a a a O X YH Z YW 點的三面投影圖點的三面投影圖 ax ay az ay a a a O X YH Z YW 點的投影規律點的投影規律 ax ay az ay 水平投影和正面投影的水平投影和正面投影的 連線垂直于連線垂直于OX軸軸（長（長 對正）對正）； 正面投影和側面投影的正面投影和側面投影的 連線垂直于連線垂直于OZ軸軸（高平（高平 齊）齊）； 水平投影到水平投影到OX軸的距軸的距 離等于側面投影

4、到離等于側面投影到OZ軸軸 的距離的距離（寬相等）（寬相等）。 可得出點的投影特性如下：可得出點的投影特性如下： （1）點的投影的連線垂直于相應的投影軸。）點的投影的連線垂直于相應的投影軸。 （2）點的投影到投影軸的距離，反映該點到相應的投影面的距離。）點的投影到投影軸的距離，反映該點到相應的投影面的距離。 【例【例3-1】 已知點已知點A的水平投影的水平投影a和正面投影和正面投影a，求其，求其 側面投影側面投影a 解解: 作圖步驟如下作圖步驟如下 二、點的投影與坐標二、點的投影與坐標 1投影與坐標投影與坐標 引入直角坐標的概念引入直角坐標的概念，將三面投影體系中的三個投影面看作是直角坐標系中

5、，將三面投影體系中的三個投影面看作是直角坐標系中 的三個坐標面，則三條投影軸相當于坐標軸，原點相當于坐標原點。的三個坐標面，則三條投影軸相當于坐標軸，原點相當于坐標原點。 點點A的空間位置可用其直角坐標表示為的空間位置可用其直角坐標表示為A(x,y,z),x坐標反映空間點坐標反映空間點A到到W面的面的 距離；距離；y坐標反映空間點坐標反映空間點A到到V面的距離；面的距離；z坐標反映空間點坐標反映空間點A到到H面的距離。面的距離。 點的一個投影能反映兩個坐標，反之點的兩個坐標可確定一個投影。點的一個投影能反映兩個坐標，反之點的兩個坐標可確定一個投影。 點的投影與直角坐標的關系點的投影與直角坐標的

6、關系 A H V O X Y Z a a ax a ay az W x z y A點的點的x坐標坐標aay=aaz A點的點的y坐標坐標aax=aaz A點的點的z坐標坐標aax=aay 【例【例3-2】 已知點已知點A(14,10，20)，作其三面投影圖。，作其三面投影圖。 解解:作圖步驟如下作圖步驟如下 （1）方法一）方法一 （2）方法二）方法二 2特殊位置點的投影特殊位置點的投影 （1）投影面上的點）投影面上的點 （2）投影軸上的點）投影軸上的點 三、兩點的相對位置三、兩點的相對位置 空間兩點的相對位置，是以其中一個點為基準，來判斷另一個點在該點空間兩點的相對位置，是以其中一個點為基準，

7、來判斷另一個點在該點 的前或后、左或右、上或下。的前或后、左或右、上或下。 例3.4試判斷C、D兩點的相對位置。 解 如圖3.22。 圖3.22 判別兩點的相對位置 在投影面的重影點在投影面的重影點 H面的重影點面的重影點 W面的重影點面的重影點 V面的重影點面的重影點 例3.5已知點C的三面投影如圖3.24（a） ，且 點D在點C的正右方5mm，點B在點C的正 下方10mm，求作D、B兩點的投影，并判別 重影點的可見性。 圖3.24 求作點的投影并判別可見性 圖3.24 求作點的投影并判別可見性 解 (1) d與c重合，如圖3.24（b）。 (2) 兩點的水平投影b、c重合，如圖3.24（c

8、）。 (3) c可見，d不可見，d加上括號以示區別。從上向 下投影時，c可見，b不可見，不可見的投影b加括號以 示區別 第二節第二節 直線的投影直線的投影 n一、直線投影的概念一、直線投影的概念 n二、特殊位置直線二、特殊位置直線 n三、一般位置直線三、一般位置直線 n四、無軸投影圖四、無軸投影圖 一、直線投影的概念一、直線投影的概念 由于直線的投影一般情 由于直線的投影一般情 況下仍為直線，且兩點決定況下仍為直線，且兩點決定 一直線，故要獲得直線的投一直線，故要獲得直線的投 影，只需作出已知直線上的影，只需作出已知直線上的 兩個點的投影，再將它們相兩個點的投影，再將它們相 連即可。連即可。

9、V H XO B A a b a b 直線的分類直線的分類 直直 線線 一般位置直線一般位置直線 特殊位置直線特殊位置直線 投影面垂直線投影面垂直線 投影面平行線投影面平行線 二、特殊位置直線二、特殊位置直線 1.投影面垂直線投影面垂直線 垂直于一個投影面，同時平行于其它兩個投影面的直線。垂直于一個投影面，同時平行于其它兩個投影面的直線。 鉛垂線鉛垂線垂直于垂直于H面，同時平行于面，同時平行于V、W面的直線。面的直線。 正垂線正垂線垂直于垂直于V面，同時平行于面，同時平行于H、W面的直線。面的直線。 側垂線側垂線垂直于垂直于W面，同時平行于面，同時平行于H、V面的直線。面的直線。 V W H

10、X Y Z O A B 鉛垂線鉛垂線（垂直于（垂直于H面，同時平行于面，同時平行于V、W面的直線）面的直線） Z b X a b a(b) O YH YW a b a(b) a a b 水平投影積聚為一點；正水平投影積聚為一點；正 面投影及側面投影平行于面投影及側面投影平行于 OZ軸，且反映實長。軸，且反映實長。 V W H X Y Z O A B 正垂線正垂線（垂直于（垂直于V面，同時平行于面，同時平行于H、W面的直線）面的直線） Z X (a)b b a O YH YW a b b ab a b a 正面投影積聚為一點；水正面投影積聚為一點；水 平投影及側面投影平行于平投影及側面投影平行于

11、 OY軸，且反映實長。軸，且反映實長。 V W X Y Z O AB H 側垂線側垂線（垂直于（垂直于W面，同時平行于面，同時平行于H、V面的直線）面的直線） b a ab a b YW Z X a(b) b a O YH a b 側面投影積聚為一點；水平投側面投影積聚為一點；水平投 影及正面投影平行于影及正面投影平行于OX軸，且軸，且 反映實長。反映實長。 投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性 投影面垂直線的投影特性可概括如下：投影面垂直線的投影特性可概括如下： （1）直線在它所垂直的投影面上的投影積聚成一點；）直線在它所垂直的投影面上的投影積聚成一點； （2）該直線在其他兩個投影面

12、上的投影分別垂直于相）該直線在其他兩個投影面上的投影分別垂直于相 應的投影軸，且都等于該直線的實長。應的投影軸，且都等于該直線的實長。 事實上，在直線的三面投影中，若有兩面投影平行事實上，在直線的三面投影中，若有兩面投影平行 于同一投影軸，則另一投影必積聚為一點；只要空間于同一投影軸，則另一投影必積聚為一點；只要空間 直線的三面投影中有一面投影積聚為一點，則該直線直線的三面投影中有一面投影積聚為一點，則該直線 必垂直于積聚投影所在的投影面。必垂直于積聚投影所在的投影面。 特殊位置直線特殊位置直線 2.投影面平行線投影面平行線 平行于一個投影面，同時傾斜于其它兩個投影面的直線。平行于一個投影面，

13、同時傾斜于其它兩個投影面的直線。 水平線水平線平行于平行于H面，同時傾斜于面，同時傾斜于V、W面的直線。面的直線。 正平線正平線平行于平行于V面，同時傾斜于面，同時傾斜于H、W面的直線。面的直線。 側平線側平線平行于平行于W面，同時傾斜于面，同時傾斜于H、V面的直線。面的直線。 A B V W H X Y Z O 水平線水平線（平行平行H面，同時傾斜于面，同時傾斜于V、W面的直線）面的直線） a ab a b b X a b ab b a O Z YH YW 水平投影反映實長及傾角，正面投影及側面投影垂直于水平投影反映實長及傾角，正面投影及側面投影垂直于OZ軸軸 V W H X Y Z O A

14、 B 正平線正平線（平行（平行V面，同時傾斜于面，同時傾斜于H、W面的直線）面的直線） a a b a b b 正面投影反映實長及傾角，水平投影及側面投影垂直于正面投影反映實長及傾角，水平投影及側面投影垂直于OY軸軸 X a b a b b a O Z YH YW V W H X Y Z O A B 側平線側平線（平行（平行W面，同時傾斜于面，同時傾斜于H、V面的直線）面的直線） a a b a b b 側面投影反映實長及傾角，水平投影及正面投影垂直于側面投影反映實長及傾角，水平投影及正面投影垂直于OX軸軸 b X Z a b b a O YH YW a 投影面平行線的投影特性投影面平行線的投

15、影特性 投影面平行線的投影特性可概括如下：投影面平行線的投影特性可概括如下： （1）直線在它所平行的投影面上的投影反映實長，）直線在它所平行的投影面上的投影反映實長， 且反映對其他兩個投影面傾角的實形；且反映對其他兩個投影面傾角的實形； （2）該直線在其他兩個投影面上的投影分別平行于）該直線在其他兩個投影面上的投影分別平行于 相應的投影軸，且小于實長。相應的投影軸，且小于實長。 事實上，在直線的三面投影中，若有兩面投影垂事實上，在直線的三面投影中，若有兩面投影垂 直于同一投影軸，而另一投影處于傾斜狀態，則該直直于同一投影軸，而另一投影處于傾斜狀態，則該直 線必平行于傾斜投影所在的投影面，且反映

16、與其他兩線必平行于傾斜投影所在的投影面，且反映與其他兩 投影面夾角的實形。投影面夾角的實形。 A B V W H X Y Z O 三、一般位置直線三、一般位置直線 對三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。對三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。 Z X a b a O YH YW a b b b b a b a a 一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性 一般位置直線的投影特性：一般位置直線的投影特性： 1）三面投影均不反映直線的實長（均小于實長）；）三面投影均不反映直線的實長（均小于實長）； 2）直線與投影面之間的傾角在投影圖中均不反映實形。）直線與投影面之間的傾角在投影圖中均不反

17、映實形。 事實上，只要空間直線的任意兩個投影都呈傾斜狀事實上，只要空間直線的任意兩個投影都呈傾斜狀 態，則該直線一定是一條一般位置直線。態，則該直線一定是一條一般位置直線。 直線上點的投影特性直線上點的投影特性 點在直線上，則點的各個投影必定在該直線 的同面投影上，并且符合點的投影規律，如 圖3.29中的K點。 若直線上的點分線段成比例，則該點的各投 影也相應分線段的同面投影成相同的比例。 在圖3.29中，K點把直線AB分為AK、KB 兩段，則有： AKa kaka k KBk bkbk b 圖3.29 直線上的點 例3.6 已知直線AB的投影ab及ab，如圖3.30(a)， 求作直線上一點C

18、的投影，使 AC CB=3 2。 解 圖3.30 利用定比性作直線上點的投影 例3.7已知側平線AB的V、H投影及線上一點K 的V面投影k，試求點K的H投影，如圖 3.31(a)。 解 圖3.31 求作直線上點的投影 例3.8已知側平線CD和點E的H、V面投影，試 判斷點E是否在直線CD上，如圖3.32。 解 圖3.32 判斷點是否在直線上 求解一般位置直線的實長及傾角求解一般位置直線的實長及傾角 根據一般位置直線的投影求解其實長及根據一般位置直線的投影求解其實長及 傾角是畫法幾何綜合習題中的常遇見的基本傾角是畫法幾何綜合習題中的常遇見的基本 問題之一，也是工程實際中經常需要解決的問題之一，也

19、是工程實際中經常需要解決的 問題。而用問題。而用直角三角形法直角三角形法求解實長及傾角最求解實長及傾角最 為簡便、快捷。為簡便、快捷。 XO a b a b A B a b a b X O B0 直角三角形法直角三角形法 (求直線的實長及對水平投影面的夾角求直線的實長及對水平投影面的夾角) m m AB AB m AB0=ab BB0=AB兩點的高度差 m ab A B a b a b XO XO a b a b 直角三角形法直角三角形法 （求直線的實長及對正立投影面的夾角（求直線的實長及對正立投影面的夾角） nn n A0 BA0=ab AA0=AB兩點的寬度差 n AB ab AB 直角三

20、角形法直角三角形法 直角三角形法的四要素：直角三角形法的四要素：投影長、坐投影長、坐 標差、實長、傾角標差、實長、傾角。已知四要素中的任意。已知四要素中的任意 兩個，便可確定另外兩個。兩個，便可確定另外兩個。 解題時，直角三角形畫在任何位置都不解題時，直角三角形畫在任何位置都不 影響解題結果，但用哪個長度來作直角邊不影響解題結果，但用哪個長度來作直角邊不 能搞錯。能搞錯。 課堂練習：課堂練習： 3.2.5 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 n空間兩直線有三種不同的相對位置，即空間兩直線有三種不同的相對位置，即相交相交、 平行平行和和交叉交叉。 n兩相交直線或兩平行直線都在同一平面上，所兩相交直

21、線或兩平行直線都在同一平面上，所 以它們都稱為以它們都稱為共面線共面線。 n兩交叉直線不在同一平面上，所以稱為兩交叉直線不在同一平面上，所以稱為異面線異面線。 兩直線相交時，兩直線相交時，如圖如圖3.33的的AB和和CD，它，它 們的交點們的交點E既是既是AB線上的一點，又是線上的一點，又是CD線上的線上的 一點。一點。 3.2.5.1 兩相交直線 圖3.33 兩相交直線的投影 例例3.9給出平面四邊形給出平面四邊形ABCD的的V投影及其兩條邊的投影及其兩條邊的H投投 影，試完成整個影，試完成整個H投影。投影。 解解 作圖步聚作圖步聚如圖如圖3.34。 圖3.34 求四邊形的H投影 根據平行投

22、影的特性可知，兩平行直線在同根據平行投影的特性可知，兩平行直線在同 一投影面上的投影相互平行。一投影面上的投影相互平行。如圖如圖3.35所示所示。 3.2.5.2 兩平行直線 圖3.35 兩平行直線的投影 例例3.10給出平行四邊形給出平行四邊形ABCD的兩邊的兩邊AB和和AC的投影，的投影， 試完成試完成ABCD的投影。的投影。 解解作圖步驟作圖步驟如圖如圖3.36所示所示。 圖3.36 作平行四邊形的投影 n兩交叉直線既不平行，也不相交。兩交叉直線既不平行，也不相交。 n雖然兩交叉直線的某一同面投影有時可能平行，雖然兩交叉直線的某一同面投影有時可能平行， 但所有同面投影不可能同時都相互平行

23、。但所有同面投影不可能同時都相互平行。 n兩交叉直線的同面投影也可能相交，但這個交兩交叉直線的同面投影也可能相交，但這個交 點只不過是兩直線的一對重影點的重合投影。點只不過是兩直線的一對重影點的重合投影。 n例如圖例如圖3.37。 n兩交叉直線有一個可見性問題。兩交叉直線有一個可見性問題。 3.2.5.3 兩交叉直線 圖3.37 兩交叉直線 n兩直線的夾角，其投影有下列兩直線的夾角，其投影有下列三種情況三種情況： v當兩直線都平行于某投影面時，其夾角在該投影面當兩直線都平行于某投影面時，其夾角在該投影面 上的投影反映實形。上的投影反映實形。 v當兩直線都不平行于某投影面時，其夾角在該投影當兩直

24、線都不平行于某投影面時，其夾角在該投影 面上的投影一般不反映實形。面上的投影一般不反映實形。 v當兩直線中有一直線平行于某投影面時，如果夾角當兩直線中有一直線平行于某投影面時，如果夾角 是直角，則它在該投影面上的投影仍然是直角。是直角，則它在該投影面上的投影仍然是直角。 n如圖如圖3.39所示所示，直線，直線AB垂直于垂直于BC，其中，其中AB是是 水平線。水平線。 n兩交叉直線也有相互垂直的。兩交叉直線也有相互垂直的。 3.2.5.4 兩相互垂直直線 圖3.39 兩相互垂直的直線 例例3.12求點求點A到水平線到水平線BC的距離的距離（圖（圖3.40）。 解解 圖3.40 求一點到水平線的距

25、離 第三節第三節 平面的投影平面的投影 n一、平面的表示方法一、平面的表示方法 n二、各類平面的投影特性二、各類平面的投影特性 基本要求 一、平面的表示法一、平面的表示法 1 1、用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面 用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點； 一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖 形。形。 2 2、平面的跡線表示法平面的跡線表示法 平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以用平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以用 在它們所垂直

26、的投影面上的跡線來表示。在它們所垂直的投影面上的跡線來表示。 一、平面的表示方法一、平面的表示方法 下列五種方式可表達一平面：下列五種方式可表達一平面： （1）不在同一直線上的三個點；）不在同一直線上的三個點； （2）一直線和直線外一點；）一直線和直線外一點； （3）兩相交直線；）兩相交直線； （4）兩平行直線；）兩平行直線； （5）任意平面圖形。）任意平面圖形。 V X W H Y Z A C B 1、用幾何元素表示平面、用幾何元素表示平面 b a a c b c b a a c b c a a b c b c a bc a b c d d X X XXXO O OOO 二、各類平面的投影特

27、性二、各類平面的投影特性 空間平面空間平面 特殊位置平面特殊位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面 一般位置平面一般位置平面 1.投影面平行面投影面平行面 對一個投影面平行，同時垂直于其它兩個投對一個投影面平行，同時垂直于其它兩個投 影面的平面。影面的平面。 水平面水平面平行于平行于H面，同時垂直于面，同時垂直于V、W的平面的平面 正平面正平面平行于平行于V面，同時垂直于面，同時垂直于H、W的平面的平面 側平面側平面平行于平行于W面，同時垂直于面，同時垂直于H、V的平面的平面 V X H W Y Z O 水平面的投影特性水平面的投影特性 p p p 水平投影反映實形；水平

28、投影反映實形； 正面投影和側面投影正面投影和側面投影 積聚為一條直線并平積聚為一條直線并平 行于相應的投影軸。行于相應的投影軸。 X YW Z O YH pp p P V X H W Y Z O 正平面的投影特性正平面的投影特性 正面投影反映實形；正面投影反映實形； 水平投影和側面投影水平投影和側面投影 積聚為一條直線并平積聚為一條直線并平 行于相應的投影軸。行于相應的投影軸。 p p p X YW Z O YH p pp P V X H W Z O Y 側平面的投影特性側平面的投影特性 p p p 側面投影反映實形；側面投影反映實形； 水平投影和正面投影水平投影和正面投影 積聚為一條直線并平

29、積聚為一條直線并平 行于相應的投影軸。行于相應的投影軸。 X YW Z YH O p pp P 總結總結 投影面平行面的投影特性可概括如下：投影面平行面的投影特性可概括如下： （1）平面在它所平行的投影面上的投影反映實形；）平面在它所平行的投影面上的投影反映實形； （2）平面在另外兩個投影面上的投影積聚成直線，）平面在另外兩個投影面上的投影積聚成直線， 且分別平行于相應的投影軸。且分別平行于相應的投影軸。 事實上，在平面的兩面投影中，若有一面投影積事實上，在平面的兩面投影中，若有一面投影積 聚為平行于某投影軸的直線，則此平面必為該投影軸聚為平行于某投影軸的直線，則此平面必為該投影軸 相鄰的投影

30、面的平行面。相鄰的投影面的平行面。 2.投影面垂直面投影面垂直面 垂直于一個投影面，同時傾斜于其它兩個投垂直于一個投影面，同時傾斜于其它兩個投 影面的平面。影面的平面。 鉛垂面鉛垂面垂直于垂直于H面，同時傾斜于面，同時傾斜于V、W的平面的平面 正垂面正垂面垂直于垂直于V面，同時傾斜于面，同時傾斜于H、W的平面的平面 側垂面側垂面垂直于垂直于W面，同時傾斜于面，同時傾斜于H、V的平面的平面 V X H W Z O Y X Z O YH YW 鉛垂面的投影特性鉛垂面的投影特性 水平投影積聚為直線，水平投影積聚為直線， 并反映傾角并反映傾角、的實形；的實形； 正面投影和側面投影均不正面投影和側面投影

31、均不 反映實形且變小。反映實形且變小。 V X H W Z O Y 正垂面的投影特性正垂面的投影特性 正面投影積聚為直線，正面投影積聚為直線， 并反映傾角并反映傾角、的實形；的實形； 水平投影和側面投影均不水平投影和側面投影均不 反映實形且變小。反映實形且變小。 X Z O YH YW V X H W Z O Y 側垂面的投影特性側垂面的投影特性 側面投影積聚為直線，側面投影積聚為直線， 并反映傾角并反映傾角、的實形；的實形； 水平投影和正面投影均不水平投影和正面投影均不 反映實形且變小。反映實形且變小。 X Z O YH YW 總結總結 投影面垂直面的投影特性可概括如下：投影面垂直面的投影特

32、性可概括如下： （1）平面在它所垂直的投影面上的投影積聚為一）平面在它所垂直的投影面上的投影積聚為一 條斜線，該斜線與投影軸的夾角反映該平面與相應條斜線，該斜線與投影軸的夾角反映該平面與相應 投影面的夾角；投影面的夾角； （2）平面在另外兩個投影面上的投影不反映實形，）平面在另外兩個投影面上的投影不反映實形， 且變小。且變小。 事實上，在平面的投影中，若某一投影面上的投影積事實上，在平面的投影中，若某一投影面上的投影積 聚為一條斜線，則該平面必為該投影面的垂直面。聚為一條斜線，則該平面必為該投影面的垂直面。 3.一般位置平面一般位置平面 對三個投影面都傾斜的平面。對三個投影面都傾斜的平面。 V

33、 X H W Z O Y X Z O YH YW 三個投影均為類似形，不反三個投影均為類似形，不反 映實形和傾角，也不積聚。映實形和傾角，也不積聚。 【例【例3-4】 如圖如圖3-14a所示，已知正方形平面所示，已知正方形平面ABCD垂直于垂直于V面以及面以及AB的兩的兩 面投影，求作此正方形的三面投影圖。面投影，求作此正方形的三面投影圖。 解：解：(1)作圖分析作圖分析 (2)作圖步驟作圖步驟 3.3.5 平面上的直線與點平面上的直線與點 n平面上的直線平面上的直線 一直線若通過平面內的兩點，則此直線必位于一直線若通過平面內的兩點，則此直線必位于 該平面上，由此可知，平面上直線的投影，必定是

34、過該平面上，由此可知，平面上直線的投影，必定是過 平面上兩已知點的同面投影的連線。平面上兩已知點的同面投影的連線。 n平面上的點平面上的點 若點在直線上，直線在平面上，則點必定在平若點在直線上，直線在平面上，則點必定在平 面上。面上。 n在平面上取點、取線在平面上取點、取線 在平面上取點，首先要在平面上取線。而在平在平面上取點，首先要在平面上取線。而在平 面上取線，又離不開在平面上取點。面上取線，又離不開在平面上取點。 例例3.14已知一平行四邊形已知一平行四邊形ABCD和和K點的兩面投影，試點的兩面投影，試 判斷判斷K點是否在平面上，點是否在平面上，如圖如圖3.45(a)。 解解 圖3.45

35、 點和平面相對位置判斷 例例3.15已知四邊形已知四邊形ABCD，求作過，求作過A點且在該平面上的點且在該平面上的 一條水平線。一條水平線。 解解 如圖如圖3.46所示所示。 圖3.46 求作平面上水平線的投影 例例3.16已知三角形已知三角形ABC及其上一點及其上一點K的正面投影的正面投影k，如如 圖圖3.47（a），求作，求作K點的水平投影點的水平投影k。 解解 圖3.47 作平面上點的投影 例例3.17已知五邊形已知五邊形ABCDE的面投影及一邊的面投影及一邊AB的的H面面 投影，并知投影，并知AC為正平線，試完成其面投影為正平線，試完成其面投影 （如圖如圖3.48(a)）。）。 解解

36、圖3.48 作平面的投影 3.3.6 平面上的特殊直線平面上的特殊直線 n常用的有平面上的常用的有平面上的正平線正平線和和水平線水平線。 n要在一般面要在一般面ABC上作一條上作一條正平線正平線，可根據正平，可根據正平 線的線的H投影是水平的這個投影特點，先在投影是水平的這個投影特點，先在ABC 的水平投影上作一任意水平線，作為所求正平的水平投影上作一任意水平線，作為所求正平 線的線的H投影，然后作出它的投影，然后作出它的V投影，投影，如圖如圖3.49所所 示示。 n在在ABC上作上作水平線水平線，也要抓住它的，也要抓住它的V投影一定投影一定 水平的投影特點，作圖步驟水平的投影特點，作圖步驟如

37、圖如圖3.49所示所示。 3.4.6.1 平面上的投影面平行線 圖3.49 面上作正平線和水平線 直線與平面及兩平面的相對位置 5-1 5-1 直線與平面平行直線與平面平行 兩平面平行兩平面平行 5-2 5-2 直線與平面的交點直線與平面的交點 兩平面的交線兩平面的交線 5-3 5-3 直線與平面垂直直線與平面垂直 兩平面垂直兩平面垂直 基本要求基本要求 直線與平面平行、兩平面平行直線與平面平行、兩平面平行 一直線與平面平行 幾何條件：若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與 該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據。 有關線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直

38、線與 已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。 例題1 例題2 二平面與平面平行 幾何條件：若一個平面內的相交二直線與另一個平面內的相交二直線對 應平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據。 兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點作 一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的投影。 例題3 例題4 例題5 一、直線與平面平行 若一直線平行于屬于給定平面的一直線，則該直線與平面平行 P C DB A 例題1 試判斷直線AB是否平行于定平面 f g f g b a a b c e d e d c 結論：直線AB不平行于定平面 例題2 試過點K作水平線

39、AB平行于CDE平面 ba a f f b c e d e d k k c 二、兩平面平行 若屬于一平面的相交兩直線對應平行于屬于另一平面的相交兩 直線，則此兩平面平行 P S E F D A C B 例題3 試判斷兩平面是否平行 f e d e d f c a a c b b m n m n r r s s 結論：兩平面平行 例題4 已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過 點K作一平面平行于已知平面 。 e m n m n fe f s r s r d d c a a c b b k k 例題5 試判斷兩平面是否平行。 結論：兩平面平行(鉛垂面） e f e f s r s d d c

40、a a c b b r PH SH 直線與平面的交點直線與平面的交點 兩平面的交線兩平面的交線 直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相 交有交點，交點既在直線上又在平面上，因而交點是直線與 平面的共有點。兩平面的交線是直線，它是兩個平面的共有 線。求線面交點、面面交線的實質是求共有點、共有線的投 影。 一、直線與平面相交只有一個交點 二、兩平面的交線是直線 三、直線與特殊位置平面相交 四、一般位置平面與特殊位置平面相交 五、直線與一般位置平面相交 六、兩一般位置平面相交 一、直線與平面相交 P 直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。 B K A M B C A 二、平

41、面與平面相交 F K N L 兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有 三、特殊位置線面相交三、特殊位置線面相交 特殊位置線面相交，其交點的投影可利用直線或平面的積 聚性投影直接求出。 （l）當直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時，交 點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影可 在直線的另一個投影上找到。 （2）當直線的某個投影具有積聚性，平面為一般位置時，交 點的一個投影與直線的積聚性投影重合，另一個投影可利用在 平面上找點的方法在平面的另一個投影上得到。 直線與特殊位置平面相交 判斷直線的可見性 b b a a c c m m n n 直線與特殊位置平面相交 由于特

42、殊位置平面的某些投影有積聚性，交點可直接求出。 V H PH P A B C a c b k N K M k k 判斷直線的可見性 V H PH P A B C a c b k N K M b b a a c c m m n k k n 特殊位置線面相交，根據平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。 四、一般位置平面與四、一般位置平面與特殊位置特殊位置平面相交平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩求兩平面交線的問題可以看作是求兩 個共有點的問題個共有點的問題, ,由于由于特殊位置特殊位置平面的平面的 某些投影有積聚性某些投影有積聚性，交線可直接求出。交線可直接求出。 一般位置平面與一般位

43、置平面與特殊位置特殊位置平面相交平面相交 判斷平面的可見性判斷平面的可見性 一般位置平面與一般位置平面與特殊位置特殊位置平面相交平面相交 n l m m l n b a c c a b f k f k V H M m n l P B C a c b PH k f F K N L 判斷平面的可見性 V H M m n l B C a c k f F K N L b b a c n l m c m a l n f k f k 判斷平面的可見性 b b a c n l m c m a l n f k f k V H M m n l B C a c k f F K N L III 五、直線與一般五、直

44、線與一般位置位置平面相交平面相交 一般位置線面相交由于直線和平面的投影都沒有積聚性 ，求交點時無積聚性投影可以利用，因此通常要采用輔助 平面法求一般位置線面的交點。一般位置線、面相交求交 點的步驟： （l）過已知直線作一特殊位置輔助平面（投影面垂直面） （2）求輔助平面與已知平面的交線； （3）求交線與已知直線的交點，交點即為所求。 以正垂面為輔助平面求線面交點 示意圖 以鉛垂面為輔助平面求線面交點 示意圖 判別可見性 示意圖 f e e f b a a c b c 1 2 以正垂面為輔助平面求線面交點 QV 2 1 k k 步驟： 1、 過EF作正 垂平面Q。 2、求Q平面與 ABC的交線

45、。 3、求交線 與EF的交 點K。 A B C Q 過MN作平面Q垂直于V投影面 M N 以正垂面為輔助平面求線面交點 示意圖 1 2 以鉛垂面為輔助平面求線面交點 。 PH 1 f e e f b c a a c b 步驟： 1、 過EF作鉛 垂平面P。 2、求P平面與 ABC的交線 。 3、求交線 與EF的交 點K。 k k 2 C A B 過MN作平面P垂直于H投影面 N M P E FK 以鉛垂面為輔助平面求線面交點 示意圖 直線EF與平面 ABC相交，判別可見性。 利 用 重 影 點。 判 別 可 見 性 ( ) f e e f b a a c b c 1 2 4 3 2 1 3 4

46、 （ ） k k H V a b c c e a A B b C F E f f k K k e 直線直線EFEF與平面與平面ABCABC相交，判別可見性示意圖相交，判別可見性示意圖 1 (2) (4) 3 利 用 重 影 點。 判 別 可 見 性 六、兩一般位置平面相交六、兩一般位置平面相交 .用一般位置線面交點的方法作兩平用一般位置線面交點的方法作兩平 面的交線面的交線 .用三面共點法作兩平面的交線。用三面共點法作兩平面的交線。 兩一般位置平面相交求交線 有三種方法：線面交點法；輔助平面法；輔助 平面法。示意圖 判別可見性 例題6 兩一般位置平面的交線兩一般位置平面的交線 兩一般 位置平面相 交，求交線 步驟： 1、用直線與 平面求交點 的方法求出 兩平面的兩 個共有點K、 E。 求兩平面的交線 b a c c b a l l n m m n PV QV 1 2 2 1 k k e e 2、連接兩個 共有點，畫 出交線KE。 兩一般位置平面相交求交線的方法 利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其 連線即為兩平面的交線。 M B C A F K N L 利 用 重 影 點 判 別