1、8.2空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積 考點探究考點探究挑戰高考挑戰高考 考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考 8.2 空空 間間 幾幾 何何 體體 的的 表表 面面 積積 與與 體體 積積 雙基研習雙基研習面對高考面對高考 柱、錐、臺與球的側面積和體積柱、錐、臺與球的側面積和體積 雙基研習雙基研習面對高考面對高考 2rh r2h rl (r1r2)l ch Sh 思考感悟思考感悟 對不規則的幾何體應如何求體積？對不規則的幾何體應如何求體積？ 提示：提示：對于求一些不規則的幾何體的體積常用割對于求一些不規則的幾何體的體積常用割 補的方法，轉化為已知體積公式的幾何體進行解補的方法，轉

2、化為已知體積公式的幾何體進行解 決決 1(教材習題改編教材習題改編)一個圓柱形的玻璃瓶的內半徑一個圓柱形的玻璃瓶的內半徑 為為3 cm，瓶里所裝的水深為，瓶里所裝的水深為8 cm，將一個鋼球完，將一個鋼球完 全浸入水中，瓶中水的高度上升到全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，則鋼球，則鋼球 的半徑為的半徑為() A1 cm B1.2 cm C1.5 cm D2 cm 答案：答案：C 答案：答案：B 3(2011年蚌埠質檢年蚌埠質檢)如圖，一個空間幾何體的主如圖，一個空間幾何體的主 視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形， 如果直角三角形的直

3、角邊長為如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體，那么這個幾何體 的表面積為的表面積為() 答案：答案：A 5(2009年高考上海卷年高考上海卷)若等腰直角三角形的直若等腰直角三角形的直 角邊長為角邊長為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋，則以一直角邊所在的直線為軸旋 轉一周所成的幾何體體積是轉一周所成的幾何體體積是_ 考點探究考點探究挑戰高考挑戰高考 幾何體的表面積幾何體的表面積 求解有關多面體表面積的問題，關鍵是找到其特征求解有關多面體表面積的問題，關鍵是找到其特征 幾何圖形，如棱柱中的矩形，棱臺中的直角梯形，幾何圖形，如棱柱中的矩形，棱臺中的直角梯形， 棱錐中的直角三角形，它們是聯系高

4、與斜高、邊長棱錐中的直角三角形，它們是聯系高與斜高、邊長 等幾何元素間的橋梁，從而架起求側面積公式中的等幾何元素間的橋梁，從而架起求側面積公式中的 未知量與條件中已知幾何元素間的聯系；求球的表未知量與條件中已知幾何元素間的聯系；求球的表 面積關鍵是求其半徑；旋轉體的側面積就是它們側面積關鍵是求其半徑；旋轉體的側面積就是它們側 面展開圖的面積面展開圖的面積 【思路點撥】【思路點撥】根據圖形特征，球心為三棱柱上、根據圖形特征，球心為三棱柱上、 下底面的中心連線的中點，構造三角形可求得球下底面的中心連線的中點，構造三角形可求得球 的半徑，代入公式可求得表面積的半徑，代入公式可求得表面積 【解析解析】

5、三棱柱如圖所示，三棱柱如圖所示， 【答案答案】B 【名師點評】【名師點評】求幾何體的表面積要抓住關鍵量，求幾何體的表面積要抓住關鍵量， 如多面體的高，底面邊長及幾何體特征，旋轉體的如多面體的高，底面邊長及幾何體特征，旋轉體的 高、底面半徑及幾何特征，球的半徑，同時注意整高、底面半徑及幾何特征，球的半徑，同時注意整 體思維的運用，以減少計算量體思維的運用，以減少計算量 變式訓練變式訓練1(2009年高考海南、寧夏卷年高考海南、寧夏卷)一個棱一個棱 錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積(單位：單位：cm2) 為為() 解析：解析：選選A.由三視圖可知原棱錐為三棱錐，記由

6、三視圖可知原棱錐為三棱錐，記 為為P-ABC(如圖如圖)，且底面為直角三角形，頂點，且底面為直角三角形，頂點P 在底面的射影為底邊在底面的射影為底邊AC的中點，的中點， 幾何體的體積幾何體的體積 計算柱、錐、臺體的體積，關鍵是根據條件找出計算柱、錐、臺體的體積，關鍵是根據條件找出 相應的底面面積和高，應注意充分利用多面體的相應的底面面積和高，應注意充分利用多面體的 截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面 問題求解問題求解 (2010年高考陜西卷年高考陜西卷)如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，PA平面平

7、面ABCD， APAB，BPBC2，E，F分別是分別是PB，PC的中的中 點點 (1)證明：證明：EF平面平面PAD； (2)求三棱錐求三棱錐E-ABC的體積的體積V. 變式訓練變式訓練2有一根木料，形狀為直三棱柱形，有一根木料，形狀為直三棱柱形， 高為高為6 cm，橫截面三角形的三邊長分別為，橫截面三角形的三邊長分別為3 cm、 4 cm、5 cm，將其削成一個圓柱形積木，求該木，將其削成一個圓柱形積木，求該木 料被削去部分體積的最小值料被削去部分體積的最小值 解：如圖所示，只有當圓柱的底面圓為直三棱解：如圖所示，只有當圓柱的底面圓為直三棱 柱的底面三角形的內切圓時，圓柱的體積最大，柱的底面

8、三角形的內切圓時，圓柱的體積最大， 削去部分體積才能最小，設此時圓柱的底面半削去部分體積才能最小，設此時圓柱的底面半 徑為徑為R，圓柱的高即為直三棱柱的高，圓柱的高即為直三棱柱的高 幾何體的折疊與展開幾何體的折疊與展開 幾何體的表面積，除球以外，都是利用展開圖求得幾何體的表面積，除球以外，都是利用展開圖求得 的，利用了空間問題平面化的思想把一個平面圖的，利用了空間問題平面化的思想把一個平面圖 形折疊成一個幾何體，再研究其性質，是考查空間形折疊成一個幾何體，再研究其性質，是考查空間 想象能力的常用方法，所以幾何體的展開與折疊是想象能力的常用方法，所以幾何體的展開與折疊是 高考的一個熱點高考的一個

9、熱點 (1)有一根長為有一根長為3 cm、底面半徑為、底面半徑為1 cm的圓的圓 柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵圈，并使鐵 絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲 的最短長度為多少？的最短長度為多少？ (2)把長、寬分別為把長、寬分別為4 cm和和3 cm的矩形卷成圓柱，的矩形卷成圓柱， 如何卷能使體積最大？如何卷能使體積最大？ 【思路點撥思路點撥】把圓柱沿著鐵絲的兩個端點落在的把圓柱沿著鐵絲的兩個端點落在的 那條母線展開，將問題轉化為平面上兩點間的最短那條母線展開，將問題轉化為平面上兩點間的最短

10、距離距離 【解解】(1)把圓柱側面及纏繞其上的鐵絲展開，把圓柱側面及纏繞其上的鐵絲展開， 在平面上得到矩形在平面上得到矩形ABCD(如圖如圖)，由題意知，由題意知BC 3 cm，AB4 cm，點，點A與點與點C分別是鐵絲的起、分別是鐵絲的起、 止位置，故線段止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長的長度即為鐵絲的最短長 度度 【規律小結】【規律小結】幾何體的展開圖幾何體的展開圖 方法技巧方法技巧 1對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、 棱臺與球的表面積的問題，要結合它們的結構特棱臺與球的表面積的問題，要結合它們的結構特 點與平面幾何知識來解決點與

11、平面幾何知識來解決(如例如例1) 2當給出的幾何體比較復雜，有關的計算公式無當給出的幾何體比較復雜，有關的計算公式無 法運用，或者雖然幾何體并不復雜，但條件中的法運用，或者雖然幾何體并不復雜，但條件中的 已知元素彼此離散時，我們可采用已知元素彼此離散時，我們可采用“割割”、“補補”的的 技巧，化復雜幾何體為簡單幾何體技巧，化復雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺柱、錐、臺)， 或化離散為集中，給解題提供便利或化離散為集中，給解題提供便利(如例如例2) 3有關柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，有關柱、錐、臺、球的面積和體積的計算， 應以公式為基礎，充分利用幾何體中的直角三應以公式為基礎，充分利用幾何

12、體中的直角三 角形、直角梯形求有關的幾何元素角形、直角梯形求有關的幾何元素 失誤防范失誤防范 1面積、體積的計算中應注意的問題面積、體積的計算中應注意的問題 (1)柱、錐、臺體的側面積分別是某側面展開圖的柱、錐、臺體的側面積分別是某側面展開圖的 面積，因此，弄清側面展開圖的形狀及各線段的面積，因此，弄清側面展開圖的形狀及各線段的 位置關系，是求側面積及解決有關問題的關鍵位置關系，是求側面積及解決有關問題的關鍵 (2)計算柱、錐、臺體的體積關鍵是找到相應的底計算柱、錐、臺體的體積關鍵是找到相應的底 面積和高充分運用多面體的截面及旋轉體的軸面積和高充分運用多面體的截面及旋轉體的軸 截面，將空間問題

13、轉化成平面問題截面，將空間問題轉化成平面問題 (3)球的有關問題，注意球半徑與截面圓半徑，球的有關問題，注意球半徑與截面圓半徑， 球心到截面距離構成直角三角形球心到截面距離構成直角三角形 (4)有關幾何體展開圖與平面圖形折成幾何體有關幾何體展開圖與平面圖形折成幾何體 問題，在解決的過程中注意按什么線作軸來展問題，在解決的過程中注意按什么線作軸來展 或折，還要堅持被展或被折的平面，變換前、或折，還要堅持被展或被折的平面，變換前、 后在該面內的大小關系與位置關系不變在完后在該面內的大小關系與位置關系不變在完 成展或折后，要注意條件的轉化對解題也很重成展或折后，要注意條件的轉化對解題也很重 要要 2

14、與球有關的組合體問題與球有關的組合體問題 與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外 接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的 位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適 的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各 個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外 接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體 的體對角線長等于球的直徑球與旋轉體的組合，的體

15、對角線長等于球的直徑球與旋轉體的組合， 通常作它們的軸截面進行解題，球與多面體的組通常作它們的軸截面進行解題，球與多面體的組 合，通過多面體的一條側棱和球心，或合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點切點”、 “接點接點”作出截面圖作出截面圖 考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考 空間幾何體的表面積、體積是高考的必考知識點空間幾何體的表面積、體積是高考的必考知識點 之一題型既有選擇題、填空題，又有解答題，之一題型既有選擇題、填空題，又有解答題， 難度為中、低檔客觀題主要考查由三視圖得出難度為中、低檔客觀題主要考查由三視圖得出 幾何體的直觀圖，求其表面積、體積或由幾何體幾何體的直觀圖，求其表面積、體

16、積或由幾何體 的表面積、體積得出某些量；主觀題考查比較全的表面積、體積得出某些量；主觀題考查比較全 面，其中一步往往設置為表面積、體積問題，無面，其中一步往往設置為表面積、體積問題，無 論是何種題型都考查學生的空間想象能力論是何種題型都考查學生的空間想象能力 預測預測2012年高考仍將以空間幾何體的表面積、年高考仍將以空間幾何體的表面積、 體積為主要考查點，重點考查學生的空間想體積為主要考查點，重點考查學生的空間想 象能力、運算能力及邏輯推理能力象能力、運算能力及邏輯推理能力 (本題滿分本題滿分12分分)(2010年高考課標全國卷年高考課標全國卷)如如 圖，已知四棱錐圖，已知四棱錐P-ABCD

17、的底面為等腰梯形，的底面為等腰梯形， ABCD，ACBD，垂足為，垂足為H，PH是四棱錐的是四棱錐的 高高 【解解】(1)證明：因為證明：因為PH是四棱錐是四棱錐P-ABCD的的 高，高， 所以所以ACPH.又又ACBD，PH、BD都在平面都在平面 PBD內，且內，且PHBDH， 所以所以AC平面平面PBD，又，又AC平面平面PAC， 故平面故平面PAC平面平面PBD.6分分 【名師點評名師點評】(1)本題易失誤的是：不會轉化思本題易失誤的是：不會轉化思 想的應用，一看到梯形就定向思維以致求不出底面想的應用，一看到梯形就定向思維以致求不出底面 積；用錯錐體體積的計算公式積；用錯錐體體積的計算公式 (2)計算空間幾何體的體積時要注意：分析清楚空計算空間幾何體的體積時要注意：分析清楚空 間幾何體的結構，搞清楚該幾何體的各個部分的構間幾何體的結構，搞清楚該幾何體的各個部分的構 成特點；進行合理的轉化和一些必要的等積變換，成特點；進行合理的轉化和一些必要的等積變換， 如三棱錐的體積計算就可以通過如三棱錐的體積計算就可以通