1、EXIT 1/67 5.1 5.1 邊界層近似及其特征邊界層近似及其特征 5.2 5.2 平面不可壓縮流體層流邊界層方程平面不可壓縮流體層流邊界層方程 5.3 5.3 平板層流邊界層的數(shù)值解平板層流邊界層的數(shù)值解 5.4 5.4 邊界層動(dòng)量積分方程邊界層動(dòng)量積分方程 5.5 5.5 邊界層的分離現(xiàn)象與速度分布特征邊界層的分離現(xiàn)象與速度分布特征 EXIT 2/67 1 1、邊界層概念的提出、邊界層概念的提出 我們我們已知道，流動(dòng)已知道，流動(dòng)ReRe數(shù)（數(shù)（O.ReynoldsO.Reynolds，18831883年，英國(guó)流體年，英國(guó)流體 力學(xué)家）是用以表征流體質(zhì)點(diǎn)的慣性力與粘性力對(duì)比關(guān)系的。根力

2、學(xué)家）是用以表征流體質(zhì)點(diǎn)的慣性力與粘性力對(duì)比關(guān)系的。根 據(jù)量級(jí)分析，作用于流體上的慣性力和粘性力可表示為據(jù)量級(jí)分析，作用于流體上的慣性力和粘性力可表示為: : 慣性力：慣性力： 粘性力：粘性力： 慣性力慣性力/ /粘性力：粘性力： 因此，在高因此，在高ReRe數(shù)下，流體運(yùn)動(dòng)的慣性力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于粘性力。數(shù)下，流體運(yùn)動(dòng)的慣性力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于粘性力。 這樣研究忽略粘性力的流動(dòng)問題是有實(shí)際意義的。這樣研究忽略粘性力的流動(dòng)問題是有實(shí)際意義的。 223 VL t V L dt dV mFJ VLA dy dV F Re 22 LV VL VL F FJ EXIT 3/67 5.1 邊界層近似及其特征 理想流體力學(xué)在

3、早期較成功地解決了與粘性關(guān)系不大的一系理想流體力學(xué)在早期較成功地解決了與粘性關(guān)系不大的一系 列流動(dòng)問題，諸如繞流物體的升力、波動(dòng)等問題，但對(duì)繞流物體列流動(dòng)問題，諸如繞流物體的升力、波動(dòng)等問題，但對(duì)繞流物體 阻力、渦的擴(kuò)散等問題，理想流體力學(xué)的解與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，且阻力、渦的擴(kuò)散等問題，理想流體力學(xué)的解與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，且 甚至得出完全相反的結(jié)論，圓柱繞流無阻力的甚至得出完全相反的結(jié)論，圓柱繞流無阻力的DAlembert疑題就疑題就 是一個(gè)典型的例子。（是一個(gè)典型的例子。（ DAlembert，法國(guó)力學(xué)家，法國(guó)力學(xué)家，1717-1783） 那么，如何考慮流體的粘性，怎樣解決擾流物體的阻力問題，這在那

4、么，如何考慮流體的粘性，怎樣解決擾流物體的阻力問題，這在 當(dāng)時(shí)確實(shí)是一個(gè)阻礙流體力學(xué)發(fā)展的難題，直到當(dāng)時(shí)確實(shí)是一個(gè)阻礙流體力學(xué)發(fā)展的難題，直到1904年國(guó)際流體力年國(guó)際流體力 學(xué)大師德國(guó)學(xué)者學(xué)大師德國(guó)學(xué)者 L.Prandtl 通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：雖然整體流動(dòng)的雖然整體流動(dòng)的Re 數(shù)很大，但在靠近物面的薄層流體內(nèi)，流場(chǎng)的特征與理想流動(dòng)相差數(shù)很大，但在靠近物面的薄層流體內(nèi)，流場(chǎng)的特征與理想流動(dòng)相差 甚遠(yuǎn)，沿著法向存在很大的速度梯度，粘性力無法忽略甚遠(yuǎn)，沿著法向存在很大的速度梯度，粘性力無法忽略。Prandtl 把這一物面近區(qū)粘性力起重要作用的薄層稱為把這一物面近區(qū)粘性力起重要作用的

5、薄層稱為邊界層邊界層（Boundary layer）。）。 EXIT 4/67 5.1、邊界層近似及其特征 PrandtlPrandtl邊界層概念的提出，為人們?nèi)绾斡?jì)入粘性的作用邊界層概念的提出，為人們?nèi)绾斡?jì)入粘性的作用 開辟了劃時(shí)代的途徑，開辟了劃時(shí)代的途徑，既挽救了理想流理論又挽救了粘流理論既挽救了理想流理論又挽救了粘流理論 ，因此稱其為近代流體力學(xué)的奠基人。，因此稱其為近代流體力學(xué)的奠基人。 對(duì)整個(gè)流場(chǎng)提出的基本分區(qū)是：對(duì)整個(gè)流場(chǎng)提出的基本分區(qū)是： （1 1）整個(gè)流動(dòng)區(qū)域可分成理想流體的流動(dòng)區(qū)域（勢(shì)流或）整個(gè)流動(dòng)區(qū)域可分成理想流體的流動(dòng)區(qū)域（勢(shì)流或 位流區(qū)位流區(qū)）和粘性流體的流動(dòng)區(qū)域（）

6、和粘性流體的流動(dòng)區(qū)域（粘流區(qū)粘流區(qū)）。）。 （2 2）在遠(yuǎn)離物體的理想流體流動(dòng)區(qū)域，可忽略粘性的影）在遠(yuǎn)離物體的理想流體流動(dòng)區(qū)域，可忽略粘性的影 響，按響，按位勢(shì)流位勢(shì)流理論處理。理論處理。 （3 3）在靠近物面的薄層內(nèi)粘性力的作用不能忽略，該薄）在靠近物面的薄層內(nèi)粘性力的作用不能忽略，該薄 層稱為邊界層。層稱為邊界層。邊界層內(nèi)粘性力與慣性力同量級(jí)邊界層內(nèi)粘性力與慣性力同量級(jí)，流體質(zhì)點(diǎn)作，流體質(zhì)點(diǎn)作 有旋有旋運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。 位流區(qū)位流區(qū) 粘流區(qū)粘流區(qū) EXIT 5/67 5.1、邊界層近似及其特征 （2 2）邊界層的有渦性）邊界層的有渦性 粘性流體運(yùn)動(dòng)總伴隨渦量的產(chǎn)生、擴(kuò)散、衰減。粘性流體運(yùn)動(dòng)總

7、伴隨渦量的產(chǎn)生、擴(kuò)散、衰減。邊界層就是渦層邊界層就是渦層，當(dāng)，當(dāng) 流體繞過物面時(shí)，無滑移邊界條件相當(dāng)于使物面成為具有一定強(qiáng)度的連續(xù)流體繞過物面時(shí)，無滑移邊界條件相當(dāng)于使物面成為具有一定強(qiáng)度的連續(xù) 分布的渦源。以二維流動(dòng)為例說明之。此時(shí)，物面上的渦源強(qiáng)度為：分布的渦源。以二維流動(dòng)為例說明之。此時(shí)，物面上的渦源強(qiáng)度為： o z y u y u x v 2、邊界層的特征、邊界層的特征 （1）邊界層厚度定義）邊界層厚度定義 嚴(yán)格而言，邊界層區(qū)與主流區(qū)之間無明顯界線，通常以速度達(dá)到主嚴(yán)格而言，邊界層區(qū)與主流區(qū)之間無明顯界線，通常以速度達(dá)到主 流區(qū)速度的流區(qū)速度的 0.99U 作為邊界層的外緣。由邊界層外

8、緣到物面的垂直距離作為邊界層的外緣。由邊界層外緣到物面的垂直距離 稱為邊界層名義厚度，用稱為邊界層名義厚度，用表示。表示。 位流區(qū)位流區(qū) 粘流區(qū)粘流區(qū) EXIT 6/67 5.1、邊界層近似及其特征 （3）邊界層厚度的量級(jí)估計(jì)邊界層厚度的量級(jí)估計(jì) 根據(jù)根據(jù)邊界層內(nèi)粘性力與慣性力同量級(jí)邊界層內(nèi)粘性力與慣性力同量級(jí)的條件，可估算邊界層的厚的條件，可估算邊界層的厚 度。以平板繞流為例說明。設(shè)來流的速度為度。以平板繞流為例說明。設(shè)來流的速度為U，在，在 x x 方向的長(zhǎng)度為方向的長(zhǎng)度為 L L ，邊界層厚度為，邊界層厚度為 。 慣性力：慣性力： 粘性力：粘性力： 由邊界層內(nèi)慣性力與粘性力同量級(jí)得到由邊

9、界層內(nèi)慣性力與粘性力同量級(jí)得到 由此可見由此可見在高在高Re數(shù)下，邊界層的厚度遠(yuǎn)小于被繞流物體的特征長(zhǎng)度數(shù)下，邊界層的厚度遠(yuǎn)小于被繞流物體的特征長(zhǎng)度。 22 UL t U L dt dV mFJ 2 L U A dy dV F Re 1 22 L L U ULFF J EXIT 7/67 而在而在 的范圍內(nèi)，以外流的理想速度的范圍內(nèi)，以外流的理想速度 流動(dòng)的理想流量是：流動(dòng)的理想流量是： 其中，其中， 為邊界層外緣速度。為邊界層外緣速度。 5.1、邊界層近似及其特征 （4）邊界層各種厚度定義）邊界層各種厚度定義 （a）邊界層位移厚度）邊界層位移厚度 假設(shè)某點(diǎn)假設(shè)某點(diǎn)P處的邊界層厚度是處的邊界層

10、厚度是 ， 實(shí)際流體通過的質(zhì)量流量為實(shí)際流體通過的質(zhì)量流量為: e u dyuu eeee 0 e u dyu 0 e u u 上述兩部份流量之差是：上述兩部份流量之差是： dyuue e )( 0 此處此處 u 是邊界層中距物面為是邊界層中距物面為 y 處的流速。處的流速。 EXIT 8/67 這部分主流區(qū)增加的流體厚度是由邊界層流體排擠入主流區(qū)造成這部分主流區(qū)增加的流體厚度是由邊界層流體排擠入主流區(qū)造成 的，稱為的，稱為排移厚度或位移厚度，排移厚度或位移厚度，作理想流場(chǎng)模型的外形修正時(shí)，作理想流場(chǎng)模型的外形修正時(shí)， 應(yīng)該加上這一位移厚度。應(yīng)該加上這一位移厚度。 5.1、邊界層近似及其特征

11、0 1 dyuuu eeee 0 1 1dy u u ee 這是設(shè)想各點(diǎn)均以外流速度流動(dòng)時(shí)比實(shí)際流量多出來的值這是設(shè)想各點(diǎn)均以外流速度流動(dòng)時(shí)比實(shí)際流量多出來的值, ,這些這些 多出來的流量必然要在主流中占據(jù)一定厚度多出來的流量必然要在主流中占據(jù)一定厚度 ，其流量寫，其流量寫 為為 ，從而，從而 1 1 eeu EXIT 9/67 5.1、邊界層近似及其特征 （b）邊界層動(dòng)量損失厚度）邊界層動(dòng)量損失厚度 在邊界層內(nèi)，實(shí)際流體通過的動(dòng)量為：在邊界層內(nèi)，實(shí)際流體通過的動(dòng)量為： 0 udyue 0 2 2 dyuuuuu eee 0 2 1dy u u u u eee 上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的

12、動(dòng)量，這部分動(dòng)量損失全部上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的動(dòng)量，這部分動(dòng)量損失全部 用理想的外流速度用理想的外流速度 ue 流動(dòng)時(shí)折算的流動(dòng)時(shí)折算的動(dòng)量損失厚度動(dòng)量損失厚度2為：為： 在邊界層內(nèi)，在邊界層內(nèi)，在質(zhì)量流量不變的條件下在質(zhì)量流量不變的條件下，以理想流速度，以理想流速度 ue 通過通過 的動(dòng)量為：的動(dòng)量為： 0 2 dyu EXIT 10/67 （c c）邊界層能量損失厚度）邊界層能量損失厚度 邊界層內(nèi)實(shí)際流體通過的動(dòng)能為：邊界層內(nèi)實(shí)際流體通過的動(dòng)能為： 在邊界層在邊界層內(nèi)內(nèi)，在質(zhì)量流量不變的條件下在質(zhì)量流量不變的條件下，以理想流速度，以理想流速度 u ue e 通過的通過的 動(dòng)能為：

13、動(dòng)能為： 0 2 2 1 udyu e 0 2 2 1 udyu 上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的動(dòng)能，這部分動(dòng)能損失全部上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的動(dòng)能，這部分動(dòng)能損失全部 用理想的外流速度用理想的外流速度 ue 流動(dòng)時(shí)折算的流動(dòng)時(shí)折算的動(dòng)能損失厚度動(dòng)能損失厚度 3為為: 0 32 3 2 2 1 2 1 dyuuuuu eeee 0 2 2 3 1dy u u u u eee EXIT 11/67 5.1、邊界層近似及其特征 對(duì)于不可壓縮流體而言對(duì)于不可壓縮流體而言，上述各種厚度的計(jì)算公式變?yōu)椋鲜龈鞣N厚度的計(jì)算公式變?yōu)? 0 1 1dy u u e 0 2 1dy u u u u e

14、e 0 2 2 3 1dy u u u u ee EXIT 12/67 5.1、邊界層近似及其特征 （5 5）幾點(diǎn)說明）幾點(diǎn)說明 （a a）實(shí)際流動(dòng)中，邊界層流動(dòng)與理想流動(dòng)是漸近過渡的，邊界層的外邊）實(shí)際流動(dòng)中，邊界層流動(dòng)與理想流動(dòng)是漸近過渡的，邊界層的外邊 界線實(shí)際上是不存在的，因此邊界層的外邊界線不是流線，而是被界線實(shí)際上是不存在的，因此邊界層的外邊界線不是流線，而是被 流體所通過的，允許流體穿過邊界層邊界線流動(dòng)。流體所通過的，允許流體穿過邊界層邊界線流動(dòng)。相對(duì)于物面而言相對(duì)于物面而言 ，流線是向外偏的，相對(duì)于邊界層邊界來說流線是向內(nèi)偏的，流線是向外偏的，相對(duì)于邊界層邊界來說流線是向內(nèi)偏的

15、。 此外在許多情況下對(duì)于此外在許多情況下對(duì)于u ue e 和和 U U 往往不加以嚴(yán)格區(qū)別 往往不加以嚴(yán)格區(qū)別 （b b）邊界層各種厚度的定義式，既適用于層流，也適用于湍流。）邊界層各種厚度的定義式，既適用于層流，也適用于湍流。 （c c）邊界層各種厚度的大小與邊界層內(nèi)流速分布有關(guān)。但各厚度的大小）邊界層各種厚度的大小與邊界層內(nèi)流速分布有關(guān)。但各厚度的大小 依次是依次是: : 1 1 2 2 U ue u EXIT 13/67 Prandtl Prandtl簡(jiǎn)介：簡(jiǎn)介： 1894年入年入Munich大學(xué)深造，大學(xué)深造，1900年獲博士學(xué)位，博士論文年獲博士學(xué)位，博士論文 方向是彎曲變形下的不穩(wěn)

16、定彈性平衡問題研究。畢業(yè)后負(fù)責(zé)為方向是彎曲變形下的不穩(wěn)定彈性平衡問題研究。畢業(yè)后負(fù)責(zé)為 一家新工廠設(shè)計(jì)吸塵器設(shè)備時(shí)，通過實(shí)驗(yàn)解決了管道流動(dòng)中一一家新工廠設(shè)計(jì)吸塵器設(shè)備時(shí)，通過實(shí)驗(yàn)解決了管道流動(dòng)中一 些基本的流體力學(xué)問題，他所設(shè)計(jì)的吸塵器僅需要原設(shè)計(jì)功率些基本的流體力學(xué)問題，他所設(shè)計(jì)的吸塵器僅需要原設(shè)計(jì)功率 的的1/3，從此對(duì)流體力學(xué)感興趣。，從此對(duì)流體力學(xué)感興趣。 Ludwig Prandtl 1875年年2月月4日出日出 生于德國(guó)弗賴津（生于德國(guó)弗賴津（Freising） 。其父親。其父親 是一位在是一位在Freising附近農(nóng)業(yè)大學(xué)的測(cè)量附近農(nóng)業(yè)大學(xué)的測(cè)量 學(xué)與工程教授，母親常年有病在家。

17、學(xué)與工程教授，母親常年有病在家。 從小受父親的影響，他對(duì)物理學(xué)、機(jī)從小受父親的影響，他對(duì)物理學(xué)、機(jī) 械和儀器特別感興趣。械和儀器特別感興趣。 EXIT 14/67 Ludwig Prandtl介紹 1901 1901年年P(guān)randtlPrandtl擔(dān)任漢諾威（擔(dān)任漢諾威（Hanover)Hanover)科技大學(xué)數(shù)學(xué)工程系科技大學(xué)數(shù)學(xué)工程系 的力學(xué)教授，在這里他提出邊界層理論（的力學(xué)教授，在這里他提出邊界層理論（Boundary layer Boundary layer theorytheory）并開始研究通過噴管的超音速流動(dòng)問題。）并開始研究通過噴管的超音速流動(dòng)問題。19041904年年 Pr

18、andtlPrandtl在德國(guó)海德堡（在德國(guó)海德堡（idelbergidelberg）第三次國(guó)際數(shù)學(xué)年會(huì)上發(fā)表）第三次國(guó)際數(shù)學(xué)年會(huì)上發(fā)表 了著名的關(guān)于邊界層概念的論文，這一理論為流體力學(xué)中物面摩了著名的關(guān)于邊界層概念的論文，這一理論為流體力學(xué)中物面摩 擦阻力、熱傳導(dǎo)、流動(dòng)分離的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，是現(xiàn)代流體力學(xué)擦阻力、熱傳導(dǎo)、流動(dòng)分離的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，是現(xiàn)代流體力學(xué) 的里程碑論文，從此的里程碑論文，從此PrandtlPrandtl成為流體力學(xué)界的知名學(xué)者。成為流體力學(xué)界的知名學(xué)者。 此后他出任德國(guó)著名的哥廷根（此后他出任德國(guó)著名的哥廷根（Gottingen）大學(xué)應(yīng)用力學(xué)）大學(xué)應(yīng)用力學(xué) 系主任、教授

19、，在這里他建造了系主任、教授，在這里他建造了1904-1930年期間世界上最大的年期間世界上最大的 空氣動(dòng)力學(xué)研究中心。在空氣動(dòng)力學(xué)研究中心。在1905-1908年期間，年期間，Prandtl進(jìn)行了大進(jìn)行了大 量的噴管中超音速流動(dòng)問題研究，發(fā)展了斜激波（量的噴管中超音速流動(dòng)問題研究，發(fā)展了斜激波（oblique shock wave)和膨脹波（和膨脹波（expansion wave）理論。）理論。 EXIT 15/67 Ludwig Prandtl介紹 在在19101910年年-1920-1920年期間，其主要精力轉(zhuǎn)到低速翼型和機(jī)翼繞年期間，其主要精力轉(zhuǎn)到低速翼型和機(jī)翼繞 流問題，提出著名的有

20、限展長(zhǎng)機(jī)翼的升力線理論（流問題，提出著名的有限展長(zhǎng)機(jī)翼的升力線理論（lifting lifting line theoryline theory）和升力面理論；從）和升力面理論；從19201920年以后年以后,Prandtl,Prandtl再次研究再次研究 高速流動(dòng)問題（高速流動(dòng)問題（high speed flowshigh speed flows），提出著名的），提出著名的Prandtl-Prandtl- GlauertGlauert壓縮性修正準(zhǔn)則壓縮性修正準(zhǔn)則(compressibility correction rule(compressibility correction rule ）

21、。）。19301930年以后，年以后，PrandtlPrandtl被認(rèn)為是國(guó)際著名的流體力學(xué)大師，被認(rèn)為是國(guó)際著名的流體力學(xué)大師， 19531953年在哥廷根病故。年在哥廷根病故。 PrandtlPrandtl畢生在流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)中的貢獻(xiàn)是矚目的，畢生在流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)中的貢獻(xiàn)是矚目的， 被認(rèn)為是現(xiàn)代流體力學(xué)之父（被認(rèn)為是現(xiàn)代流體力學(xué)之父（the father of modern fluid the father of modern fluid mechanicsmechanics）, ,他對(duì)流體力學(xué)的貢獻(xiàn)是可獲他對(duì)流體力學(xué)的貢獻(xiàn)是可獲NobelNobel獎(jiǎng)的。在第二次獎(jiǎng)的。在第二次

22、 世界大戰(zhàn)期間（世界大戰(zhàn)期間（19391939年年9 9月月1 1日日-1945-1945年年9 9月月2 2日），日），PrandtlPrandtl一直一直 在哥廷根工作，在哥廷根工作，NaziNazi德國(guó)空軍為德國(guó)空軍為PrandtlPrandtl實(shí)驗(yàn)室提供了新的實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)室提供了新的實(shí)驗(yàn) 設(shè)備和財(cái)政資助。設(shè)備和財(cái)政資助。 EXIT 16/67 Ludwig Prandtl介紹 普朗特重視觀察和分析力學(xué)現(xiàn)象，養(yǎng)成了非凡的直觀洞察能力，善普朗特重視觀察和分析力學(xué)現(xiàn)象，養(yǎng)成了非凡的直觀洞察能力，善 于抓住物理本質(zhì)，概括出數(shù)學(xué)方程。他曾說：于抓住物理本質(zhì)，概括出數(shù)學(xué)方程。他曾說：“我只是在相信自己

23、對(duì)物我只是在相信自己對(duì)物 理本質(zhì)已經(jīng)有深入了解以后，才想到數(shù)學(xué)方程。方程的用處是說出量的理本質(zhì)已經(jīng)有深入了解以后，才想到數(shù)學(xué)方程。方程的用處是說出量的 大小，這是直觀得不到的，同時(shí)它也證明結(jié)論是否正確。大小，這是直觀得不到的，同時(shí)它也證明結(jié)論是否正確。” 普朗特指導(dǎo)過普朗特指導(dǎo)過8181名博士生，著名學(xué)者名博士生，著名學(xué)者BlasiusBlasius、Von KarmanVon Karman是其學(xué)是其學(xué) 生之一。我國(guó)著名的空氣動(dòng)力學(xué)專家、北航流體力學(xué)教授陸士嘉先生（生之一。我國(guó)著名的空氣動(dòng)力學(xué)專家、北航流體力學(xué)教授陸士嘉先生（ 女，女，1911198619111986）是普朗特正式接受的唯一中

24、國(guó)學(xué)生，唯一的女學(xué)生。）是普朗特正式接受的唯一中國(guó)學(xué)生，唯一的女學(xué)生。 陸士嘉 EXIT 17/67 邊界層 位流區(qū) 1. 1. 邊界層流動(dòng)圖畫邊界層流動(dòng)圖畫 粘性流體流經(jīng)任一物體（例如機(jī)翼與機(jī)身）的問題，歸結(jié)粘性流體流經(jīng)任一物體（例如機(jī)翼與機(jī)身）的問題，歸結(jié) 為在相應(yīng)的邊界條件下解為在相應(yīng)的邊界條件下解N NS S方程的問題。由于方程的問題。由于N NS S方程太復(fù)方程太復(fù) 雜，對(duì)很多實(shí)際問題不能不作一些雜，對(duì)很多實(shí)際問題不能不作一些近似簡(jiǎn)化假設(shè)近似簡(jiǎn)化假設(shè)，為此考察空，為此考察空 氣流過翼型的物理圖畫：氣流過翼型的物理圖畫： 流動(dòng)分為流動(dòng)分為三個(gè)區(qū)域三個(gè)區(qū)域：1. 1. 邊界層：邊界層：N

25、 NS S化簡(jiǎn)為邊界層方程化簡(jiǎn)為邊界層方程 2. 2. 尾跡區(qū)：尾跡區(qū)：N NS S方程方程 3. 3. 位流區(qū)：理想流位流區(qū)：理想流EulerEuler方程方程 EXIT 18/67 5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 2. 2. 平壁面上邊界層方程平壁面上邊界層方程 對(duì)于二維不可壓縮流動(dòng)，連續(xù)方程和對(duì)于二維不可壓縮流動(dòng)，連續(xù)方程和N-SN-S方程為：方程為： 通過通過量級(jí)比較量級(jí)比較進(jìn)行簡(jiǎn)化，可得到邊界層近似方程。進(jìn)行簡(jiǎn)化，可得到邊界層近似方程。 選取選取長(zhǎng)度尺度長(zhǎng)度尺度L L，速度尺度，速度尺度u ue e，時(shí)間尺度，時(shí)間尺度t=L/ut=L/ue e，邊邊界層近似假界層近似假 定在

26、邊界層內(nèi)滿足下列關(guān)系：定在邊界層內(nèi)滿足下列關(guān)系： 0 y v x u 2 2 2 2 1 y u x u x p f y u v x u u t u x 2 2 2 2 1 y v x v y p f y v v x v u t v y L ue EXIT 19/67 5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 （1 1）法向尺度遠(yuǎn)小于縱向尺度，縱向?qū)?shù)遠(yuǎn)小于橫向?qū)?shù)法向尺度遠(yuǎn)小于縱向尺度，縱向?qū)?shù)遠(yuǎn)小于橫向?qū)?shù) （2 2）法向速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縱向速度法向速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縱向速度 （3 3）壓強(qiáng)與外流速度的平方成正比壓強(qiáng)與外流速度的平方成正比 將這些量級(jí)關(guān)系式代入到將這些量級(jí)關(guān)系式代入到N-SN-S方程中

27、，得到方程中，得到 yxyLx L L , 1 , 1 , Re 1 Re 1 , / , e e e e u v u LuLt vuvu t L u 2 e up EXIT 20/67 5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 N-SN-S方程組各項(xiàng)方程組各項(xiàng)量級(jí)比較量級(jí)比較: : L u L u L u y v x u eee 1 0 22 2222 2 2 2 2 1 eeeee e ee x u L u L u L uu u LL u L u y u x u x p f y u v x u u t u 1 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L u L u L u L u L u

28、y v x v y p f y v v x v u t v eeeee y 兩項(xiàng)為同一量級(jí)兩項(xiàng)為同一量級(jí) 邊界層內(nèi)邊界層內(nèi)粘性力與慣性力同量粘性力與慣性力同量 級(jí)級(jí)不可忽略，故不可忽略，故的量級(jí)為的量級(jí)為: : 2 2 e 2 , L u L uu ee 即： 考慮到考慮到 的量級(jí)為的量級(jí)為2 2，因，因 此右端的最大量級(jí)為此右端的最大量級(jí)為 右括號(hào)中第一項(xiàng)比第二項(xiàng)低右括號(hào)中第一項(xiàng)比第二項(xiàng)低2 個(gè)量級(jí)可略。個(gè)量級(jí)可略。 EXIT 21/67 5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 在高在高 ReRe 數(shù)情況下數(shù)情況下較小可以較小可以忽略，同時(shí)忽略質(zhì)量力，忽略，同時(shí)忽略質(zhì)量力，PrandtlPr

29、andtl 邊界層方程變?yōu)椋哼吔鐚臃匠套優(yōu)椋?0 y v x u 2 2 1 y u x p y u v x u u t u 0 y p )( 0 0 0 Uuuy vuy e 或 邊界條件：邊界條件： 第三式說明，第三式說明，在高在高Re數(shù)情況下較薄的邊界層內(nèi)，壓力沿法向不變。數(shù)情況下較薄的邊界層內(nèi)，壓力沿法向不變。 也就是，也就是，p 與與 y 無關(guān)，僅是無關(guān)，僅是 x 和和 t 的函數(shù)的函數(shù)。即：。即： ),(txpp e EXIT 22/67 對(duì)于曲率不大的彎曲物面，上述邊界層方程也近似成立。對(duì)于曲率不大的彎曲物面，上述邊界層方程也近似成立。當(dāng)然當(dāng)然 如果曲率過大，則沿法向壓強(qiáng)保持不變

30、的條件就很難滿足了。如果曲率過大，則沿法向壓強(qiáng)保持不變的條件就很難滿足了。 綜上所述，邊界層基本特性可歸納為：綜上所述，邊界層基本特性可歸納為： ),( , 0 , Re 1 , Re 1 txpp y p Lu v L e e 5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 EXIT 23/67 第一步，第一步，求位流解求位流解。 這時(shí)，略去邊界層與尾跡，利用第三章求解理想流體對(duì)物體這時(shí)，略去邊界層與尾跡，利用第三章求解理想流體對(duì)物體 繞流問題的方法，求得物體表面的速度分布（求解時(shí)可預(yù)先對(duì)表繞流問題的方法，求得物體表面的速度分布（求解時(shí)可預(yù)先對(duì)表 面作動(dòng)量厚度的修正）。由于邊界層較薄，求得的速度分布

31、可視面作動(dòng)量厚度的修正）。由于邊界層較薄，求得的速度分布可視 為邊界層外邊界上的切向速度分布。即在任一坐標(biāo)為邊界層外邊界上的切向速度分布。即在任一坐標(biāo) x x 處：處： 時(shí)時(shí) ，沿邊界層外邊界，伯努利方程成立：，沿邊界層外邊界，伯努利方程成立： 5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 x u u x p e e 1 3. 3. 定常層流邊界層問題解法概述定常層流邊界層問題解法概述 y ， )(xuu e 常數(shù) 2 2 1 e up 因此，邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)分布通過位流解得到了，即（因此，邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)分布通過位流解得到了，即（ ）是一）是一 個(gè)已知函數(shù)個(gè)已知函數(shù)。 dxdp (或非定常時(shí)有歐拉方程

32、成立) EXIT 24/67 第二步，第二步，考察邊界層方程與邊界條件考察邊界層方程與邊界條件 0 1 2 2 y v x u y u dx dp y u v x u u , 0, 0, 0vuy 0)(, n n e y u xuuy， 物面：物面： 邊界層外緣：邊界層外緣： 由于由于 是已知函數(shù)，所以這兩個(gè)方程式中只有兩個(gè)未知數(shù)是已知函數(shù)，所以這兩個(gè)方程式中只有兩個(gè)未知數(shù) dxdp ),(),(yxvyxu 故問題是可解的。求解的邊界條件是：故問題是可解的。求解的邊界條件是： 5.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 x uu y u ee y 0 2 2 EXIT 25/67 第三步，第三

33、步，解法思路解法思路。 我們的問題就是在上述邊界條件之下，求解邊界層方我們的問題就是在上述邊界條件之下，求解邊界層方 程組。后面的程組。后面的布拉休斯解布拉休斯解就是一個(gè)求解的范例。就是一個(gè)求解的范例。 假設(shè)已經(jīng)解出了邊界層內(nèi)速度分布：假設(shè)已經(jīng)解出了邊界層內(nèi)速度分布： ),(yxuu 那么，物體表面的摩擦應(yīng)力那么，物體表面的摩擦應(yīng)力 可自下式求出（層可自下式求出（層 流）：流）： 有了表面摩擦應(yīng)力分布有了表面摩擦應(yīng)力分布 之后，再通過積分就不難求之后，再通過積分就不難求 出物體所受的總的摩擦阻力了。出物體所受的總的摩擦阻力了。 )( 0 x 0 0 )( y y u x )( 0 x 5.2、

34、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 EXIT 26/67 1908年，年，Prandtl的學(xué)生的學(xué)生Blasius利用邊界層速度分布的相似利用邊界層速度分布的相似 性求解了平板層流邊界層方程。性求解了平板層流邊界層方程。對(duì)于零壓強(qiáng)梯度、定常、不可壓對(duì)于零壓強(qiáng)梯度、定常、不可壓 縮流體平板層流繞流，邊界層方程為縮流體平板層流繞流，邊界層方程為： 相應(yīng)的邊界條件為：相應(yīng)的邊界條件為： 由于上述方程為非線性偏微分方程，求解很難，勃拉休斯引由于上述方程為非線性偏微分方程，求解很難，勃拉休斯引 入流函數(shù)（由連續(xù)方程）入流函數(shù)（由連續(xù)方程） 以簡(jiǎn)化方程：以簡(jiǎn)化方程： 0 y v x u 2 2 y u y u

35、 v x u u Uuyvuy ; 0 0 0 ),(yx v x u y ; EXIT 27/67 流函數(shù)的量綱等于速度流函數(shù)的量綱等于速度長(zhǎng)度，那么流函數(shù)表為無量綱的長(zhǎng)度，那么流函數(shù)表為無量綱的 的函數(shù)的函數(shù) f() 時(shí)，應(yīng)該在時(shí)，應(yīng)該在 f() 之前將速度之前將速度長(zhǎng)度的量綱顯長(zhǎng)度的量綱顯 示出來，示出來， Blasius假設(shè)假設(shè)速度用層外的速度用層外的U（即ue） ，長(zhǎng)度用，長(zhǎng)度用的量的量 綱。綱。根據(jù)量級(jí)比較，邊界層厚度的量級(jí)為根據(jù)量級(jí)比較，邊界層厚度的量級(jí)為: 5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解 這樣這樣未知函數(shù)未知函數(shù) u, v 就從兩個(gè)減少為一個(gè)就從兩個(gè)減少為一個(gè) 。自變量本來自變

36、量本來 是兩個(gè)是兩個(gè)x,y , ,如果引用一個(gè)無如果引用一個(gè)無量綱量綱的變數(shù)的變數(shù)=y/, ,則則自變量也可自變量也可 以減為一個(gè)以減為一個(gè)，從而，從而的表達(dá)可作相應(yīng)改變的表達(dá)可作相應(yīng)改變。 U x xU xx x Re x U y y )()( fxUf U x U 式中式中 是是 的待定函數(shù)。的待定函數(shù)。 )(f 故流函數(shù)表為：故流函數(shù)表為： EXIT 28/67 5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解 x U fU y u )( )( 2 )( 2 )( f x Uf x U x y U x fU x u )( )( fU x U fxU yy u xU x f x f xUfxU xx v )

37、()( )( 2 1 ff x U )( 2 2 2 f x U x U f x U U y u 從而，從而，可將可將 u、v 及其相關(guān)導(dǎo)數(shù)化為函數(shù)及其相關(guān)導(dǎo)數(shù)化為函數(shù) f 關(guān)于關(guān)于 的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)： EXIT 29/67 5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解 代入邊界層微分方程，化簡(jiǎn)后變?yōu)椋捍脒吔鐚游⒎址匠蹋?jiǎn)后變?yōu)椋?邊界條件變?yōu)椋哼吔鐥l件變?yōu)椋?方程被簡(jiǎn)化成了常微分方程，但仍然是非線性的求解還是很難，方程被簡(jiǎn)化成了常微分方程，但仍然是非線性的求解還是很難， 只好只好設(shè)它的解為一個(gè)級(jí)數(shù)設(shè)它的解為一個(gè)級(jí)數(shù)。Blasius 假設(shè)：假設(shè)： 其中，其中， 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。 1.0 , ; 0

38、, 0, 0fff n n n AAA AAf ! 3! 2 )( 3 3 2 2 10 n AAAA, 210 用用 0 0 處邊界條件，立刻可以確定：處邊界條件，立刻可以確定：A A0 0 = A = A1 1= 0= 0 0 2 fff EXIT 30/67 23 32 ( ) 2!3! n n AAA f n 2 23 ( ) (2)! n n A fAA n 22 5 34 ( ) 2!(3)! n n AA fAA n 將以上諸式代入微分方程將以上諸式代入微分方程 得：得： 0 2 fff 223 532 34 2 2!2!3! AAA AA 0 ! 3! 2 5 2 4 32 A

39、A AA 5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解 從而：從而： EXIT 31/67 23 3425236 22242 2!3! AAAAA AA 246 ! 4 7342 4 AAAA 021511 ! 5 84352 5 AAAAA 因?yàn)樯鲜綄?duì)任何因?yàn)樯鲜綄?duì)任何 值均須滿足，故各系數(shù)必須分別等于零，即值均須滿足，故各系數(shù)必須分別等于零，即 2 , 0, 0 2 2 543 A AAA ., 4 11 2 11 , 0, 0 3 252876 AAAAAA 如此繼續(xù)做下去，所有諸不等于零之系數(shù)如此繼續(xù)做下去，所有諸不等于零之系數(shù) A 均可以均可以 A2 來表示。而來表示。而 A2 則是一個(gè)待定常數(shù)。

40、令則是一個(gè)待定常數(shù)。令 aA 2 5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解 整理后，得：整理后，得： EXIT 32/67 0 23 1 23 )!23(2 1 )( n n n n n n aC f 11, 1, 1 210 CCC .,137,817, 3,27897,375 543 CCC 則待求級(jí)數(shù)可表為一個(gè)所有系數(shù)都含則待求級(jí)數(shù)可表為一個(gè)所有系數(shù)都含 A2 a 的無窮級(jí)數(shù)：的無窮級(jí)數(shù)： 就是我們要求的解就是我們要求的解，但其中尚有一常數(shù)但其中尚有一常數(shù) 待定。此常數(shù)可待定。此常數(shù)可 用用: )(fa 1)(lim f 的邊界條件來確定，布拉休斯用數(shù)值方法定得：的邊界條件來確定，布拉休斯用數(shù)值方

41、法定得： 從而所求的解完全確定。從而所求的解完全確定。 332. 0a 5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解 EXIT 33/67 由所確定的級(jí)數(shù)解確定了流函數(shù)，也就確定了速度分布，從由所確定的級(jí)數(shù)解確定了流函數(shù)，也就確定了速度分布，從 而就確定了與此相關(guān)的其他量，如邊界層厚度、剪應(yīng)力、摩阻系而就確定了與此相關(guān)的其他量，如邊界層厚度、剪應(yīng)力、摩阻系 數(shù)等。數(shù)等。 數(shù)值結(jié)果表明盡管各個(gè)位置處的速度數(shù)值結(jié)果表明盡管各個(gè)位置處的速度 型是不同的，但若以型是不同的，但若以 作為自變量，則作為自變量，則 速度型是一樣的。我們稱這樣的速度分布速度型是一樣的。我們稱這樣的速度分布 是是相似相似的，這個(gè)解也被稱為的

42、，這個(gè)解也被稱為相似解相似解。 當(dāng)當(dāng) = 5.0 時(shí)，時(shí)，u /U =0.9916，已經(jīng)，已經(jīng) 十分接近于十分接近于1，從而可將此，從而可將此 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的 y 坐標(biāo)確定為邊界層厚度坐標(biāo)確定為邊界層厚度 。 5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解 1 2 3 4 5 6 7 8 0 00.20.40.60.81.01.2 )( f U u x U y 由上解確定的速度分布曲線如圖所示，由上解確定的速度分布曲線如圖所示， 可見實(shí)驗(yàn)值與數(shù)值解（實(shí)線）很符合。可見實(shí)驗(yàn)值與數(shù)值解（實(shí)線）很符合。 EXIT 34/67 5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解 由此由此 （1）邊界層厚度）邊界層厚度 （ ） （2）邊界層

43、位移厚度邊界層位移厚度 （3）邊界層動(dòng)量損失厚度邊界層動(dòng)量損失厚度 0 . 5,9916. 0/ Uu x x Re 5 x x df U x dy U u Re 7208. 111 00 1 x x dff U x dy U u U u Re 664. 011 00 2 11 83 得：由：, x U y EXIT 35/67 5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解 （4）壁面切應(yīng)力）壁面切應(yīng)力 （5）壁面摩擦阻力系數(shù)壁面摩擦阻力系數(shù) （6）平均壁面摩擦總阻力系數(shù)平均壁面摩擦總阻力系數(shù) 郭永懷（郭永懷（1953年）對(duì)平板前緣點(diǎn)的修正，得到年）對(duì)平板前緣點(diǎn)的修正，得到 適用范圍：適用范圍： 65 10

44、3103Re L xy U x U fU y u Re 1 332. 0)( 2 0 0 0 x f U C Re 1 664. 0 5 . 0 2 0 L f L fF LCdxC L C Re 1 328. 1)(2 1 0 L L F C Re 10. 4 Re 328. 1 EXIT 36/67 今在邊界層內(nèi)任取一控制體，控制體長(zhǎng)度為今在邊界層內(nèi)任取一控制體，控制體長(zhǎng)度為dx，控制面為，控制面為 Aab、Abc、Acd、Ada。現(xiàn)對(duì)控制體應(yīng)用動(dòng)量方程，可知由。現(xiàn)對(duì)控制體應(yīng)用動(dòng)量方程，可知由A Aab ab面流 面流 入控制體的質(zhì)量流量為：入控制體的質(zhì)量流量為： 由由Acd面流出控制體的

45、質(zhì)量流量為：面流出控制體的質(zhì)量流量為： )( 0 x ab udym dxudy x mm x abcd )( 0 邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式是由邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式是由Karman 1921年導(dǎo)出的，年導(dǎo)出的，對(duì)近似對(duì)近似 求解邊界層特性具有重要作用。對(duì)層流和湍流邊界層都適用。求解邊界層特性具有重要作用。對(duì)層流和湍流邊界層都適用。 0 1. 邊界層動(dòng)量積分方程邊界層動(dòng)量積分方程 EXIT 37/67 5.4、邊界層動(dòng)量積分方程 根據(jù)根據(jù)質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律，通過，通過Abc流入控制體的質(zhì)量流量為：流入控制體的質(zhì)量流量為： 由由Aab面流入控制體的動(dòng)量流量為：面流入控制體的動(dòng)量流量為： 由由Ac

46、d面流出控制體的動(dòng)量流量為：面流出控制體的動(dòng)量流量為： 通過通過Abc流入控制體的動(dòng)量流量在流入控制體的動(dòng)量流量在x方向的分量為：方向的分量為： dxudy x mmm x abcdbc )( 0 )( 0 2 x ab dyuK dxdyu x KK x abcd )( 0 2 dxudy x uK x ebc )( 0 0 EXIT 38/67 0 p dx dx dp p 在在Aab面上的作用力為（以下均指面上的作用力為（以下均指 x x 方向分量）：方向分量）： 在在A Acd cd面上的作用力為： 面上的作用力為： 在在A Abc bc面上的力為： 面上的力為： 在在A Aad ad

47、面上的切應(yīng)力為： 面上的切應(yīng)力為： )(xpFab )(ddx dx dp pFcd d dx dx dp pFbc 2 dxFad 0 5.4、邊界層動(dòng)量積分方程 EXIT 39/67 5.4、邊界層動(dòng)量積分方程 對(duì)控制體建立對(duì)控制體建立x方向的動(dòng)量方程為：方向的動(dòng)量方程為： 整理后，得：整理后，得： 由于上積分只是由于上積分只是 x 的函數(shù)，右端可得：的函數(shù)，右端可得： dxudy x uKdxdyu x K dxd dx dx dp pddx dx dp pp x eab x ab )( 0 )( 0 2 0 2 )( )( 0 2 )( 0 0 )( xx e dyu x udy x

48、ux dx dp dx d dx EXIT 40/67 )2.(. )( 0 )( 0 )( 0 x e x e x e udy dx du dyuu dx d udy dx d u 上式右邊第一項(xiàng)可寫為：上式右邊第一項(xiàng)可寫為： 左邊第一項(xiàng)由伯努利方程可得：左邊第一項(xiàng)由伯努利方程可得： 將（將（2）、（）、（3）代回（）代回（1）式得：）式得： )3.(.)( )( 0 )( 0 x e e x e e dyu dx du dy dx du ux dx dp )( 0 )( 0 2 )( 0 )( 0 0 x e e xx e x e dyu dx du dyu dx d udy dx du

49、dyuu dx d ) 1.(.)( )( 0 2 )( 0 0 xx e dyu dx d udy dx d ux dx dp EXIT 41/67 5.4、邊界層動(dòng)量積分方程 整理可得：整理可得： 或：或： 或：或： 這就是這就是邊界層動(dòng)量積分方程邊界層動(dòng)量積分方程。是一階常微分方程，。是一階常微分方程，既適用于層流既適用于層流 也適用于湍流邊界層也適用于湍流邊界層。該方程含三個(gè)未知數(shù)。該方程含三個(gè)未知數(shù) 0 0、1 1和和2 2 ，因，因 此需尋找兩個(gè)補(bǔ)充關(guān)系才能求解。此需尋找兩個(gè)補(bǔ)充關(guān)系才能求解。 dx du u dx d u e ee )2( 12 2 2 0 )( 0 )( 0 2

50、 0 1)1 ( x e e e x ee e dy u u dx du udy u u u u u dx d dx du uu dx d e ee12 2 0 EXIT 42/67 5.4、邊界層動(dòng)量積分方程 如果寫成無量綱形式，有：如果寫成無量綱形式，有： 其中其中 對(duì)于零壓強(qiáng)梯度的平板邊界層流動(dòng)，有：對(duì)于零壓強(qiáng)梯度的平板邊界層流動(dòng)，有： 從而：從而： 因?yàn)閯?dòng)量積分方程是個(gè)常微分方程，求解邊界層時(shí)相對(duì)簡(jiǎn)單，因?yàn)閯?dòng)量積分方程是個(gè)常微分方程，求解邊界層時(shí)相對(duì)簡(jiǎn)單， 只要知道只要知道剪應(yīng)力剪應(yīng)力0 0 與 與1 1、2 2 之間（或與速度 之間（或與速度 u u 分布之間）分布之間） 的的相關(guān)關(guān)

51、系，相關(guān)關(guān)系，即可求解即可求解。 0 0 . dx dp dx du constu e e )2( 2 22 dx du u H dx d C e e f 2 2 0 dx d ue 稱為形狀因子為當(dāng)?shù)啬Σ料禂?shù)， 2 1 2 2 1 0 H e f u C EXIT 43/67 動(dòng)量積分方程也可通過直接積分邊界層微分方程獲得動(dòng)量積分方程也可通過直接積分邊界層微分方程獲得 對(duì)于二維定常不可壓縮流體邊界層方程為（不計(jì)徹體力）：對(duì)于二維定常不可壓縮流體邊界層方程為（不計(jì)徹體力）： 0 y v x u 連續(xù)： 2 2 y u x u u y u v x u u e e 動(dòng)量： 用用 ue 乘以連續(xù)方程

52、（注意乘以連續(xù)方程（注意 ue=ue(x)）：）： 并利用連續(xù)方程把動(dòng)量方程改寫并利用連續(xù)方程把動(dòng)量方程改寫: x u u y vu x uu eee y u yx u u y uv x uu e e , 1 5.4、邊界層動(dòng)量積分方程 EXIT 44/67 5.4、邊界層動(dòng)量積分方程 兩式相減，得到：兩式相減，得到： 積分上式，有：積分上式，有： yx u uuuvvu y uuuu x e eee 1 )()()( 0000 1 )()()(dy y dyuu x u dyuvvu y dyuuuu x e e ee 0 整理后，得到：整理后，得到： 這與這與Karman方程完全一樣。方程

53、完全一樣。 0 21 2 x u uu x e ee EXIT 45/67 5.4、邊界層動(dòng)量積分方程 確定系數(shù)的條件為：確定系數(shù)的條件為： 上述邊界條件中除了璧面剪應(yīng)力確定的條件適合于層流邊界層之外上述邊界條件中除了璧面剪應(yīng)力確定的條件適合于層流邊界層之外 ，其余條件既適合與層流邊界層也適合于湍流邊界層。，其余條件既適合與層流邊界層也適合于湍流邊界層。 . 4 4 3 3 2 210 aaaaa u u e ,.3 , 2 , 1, 0, 0, 0, 0 3 3 2 2 0 n y u uuy y uuu y u y u vuy n n e ee 如前所述，動(dòng)量積分方程含有三個(gè)未知數(shù)：位移厚

54、度如前所述，動(dòng)量積分方程含有三個(gè)未知數(shù)：位移厚度*、動(dòng)量動(dòng)量 厚度厚度*和壁面切應(yīng)力和壁面切應(yīng)力0 , 因此，必須尋求補(bǔ)充關(guān)系才能求解。因此，必須尋求補(bǔ)充關(guān)系才能求解。 對(duì)于對(duì)于層流邊界層層流邊界層而言由于三個(gè)未知量都取決于邊界層的速度分而言由于三個(gè)未知量都取決于邊界層的速度分 布，因此布，因此只要給定速度分布，就可以求解只要給定速度分布，就可以求解。顯然，該方法的精度取。顯然，該方法的精度取 決于邊界層內(nèi)速度分布的合理性。對(duì)于決于邊界層內(nèi)速度分布的合理性。對(duì)于層流邊界層層流邊界層，通常假定速度，通常假定速度 分布為：分布為： 2. 利用動(dòng)量積分關(guān)系式解邊界層問題的利用動(dòng)量積分關(guān)系式解邊界層問

55、題的保爾豪森方法保爾豪森方法 EXIT 46/67 以平板層流邊界層為例，假設(shè)速度型如下：以平板層流邊界層為例，假設(shè)速度型如下： 式中待定系數(shù)由下述邊界條件確定。四個(gè)系數(shù)只需四個(gè)條件。式中待定系數(shù)由下述邊界條件確定。四個(gè)系數(shù)只需四個(gè)條件。 物面條件為：物面條件為： 3 3 2 210 )()( y A y A y AA u u e )C(0, 00 2 2 e u y u uy平板時(shí)以及時(shí)， 邊界層邊界處的條件為：邊界層邊界處的條件為： 0, y u uuy e 以及時(shí)， 由這四個(gè)條件，定得四個(gè)系數(shù)為：由這四個(gè)條件，定得四個(gè)系數(shù)為： 2/1, 0, 2/3, 0 3210 AAAA 5.4、邊

56、界層動(dòng)量積分方程 EXIT 47/67 于是，速度分布成為：于是，速度分布成為： 3 2 1 2 3 yy u u e 由牛頓粘性定律：由牛頓粘性定律： 0 0 y y u e u 2 3 0 下面求解積分關(guān)系式。對(duì)于平板邊界層，有下面求解積分關(guān)系式。對(duì)于平板邊界層，有 , 積分關(guān)系積分關(guān)系 式為比較簡(jiǎn)單的形式：式為比較簡(jiǎn)單的形式： 2 2 0 dx d ue 5.4、邊界層動(dòng)量積分方程 0 x ue EXIT 48/67 將速度分布將速度分布 代入動(dòng)量厚度表達(dá)可得：代入動(dòng)量厚度表達(dá)可得： 3 2 1 2 3 yy u u e )280/39( 2 將上述關(guān)系代入動(dòng)量積分關(guān)系式可得：將上述關(guān)系

57、代入動(dòng)量積分關(guān)系式可得： dx u d e 140 13 邊界條件為：邊界條件為：x = 0 時(shí)，時(shí)，= =0 0 ，積分上式，得平板邊界層的厚度積分上式，得平板邊界層的厚度 沿板長(zhǎng)的變化規(guī)律是：沿板長(zhǎng)的變化規(guī)律是： 4.64 Rex x 這個(gè)結(jié)果與勃拉休斯數(shù)值解結(jié)果這個(gè)結(jié)果與勃拉休斯數(shù)值解結(jié)果(常數(shù)為常數(shù)為5.0)相差不大。相差不大。 5.4、邊界層動(dòng)量積分方程 EXIT 49/67 作用在寬度為作用在寬度為 b（垂直于紙面的尺寸）、長(zhǎng)度為（垂直于紙面的尺寸）、長(zhǎng)度為 l 的單面平板的單面平板 上的摩擦力為：上的摩擦力為： 將將 及及 代入上式積分得：代入上式積分得： 單面平板的摩阻系數(shù)為單

58、面平板的摩阻系數(shù)為： 上述結(jié)果與勃拉休斯數(shù)值解結(jié)果上述結(jié)果與勃拉休斯數(shù)值解結(jié)果(常數(shù)為常數(shù)為1.328)相差也不大相差也不大 5.4、邊界層動(dòng)量積分方程 e u 2 3 0 4.64 Rex x 0 l fw Xb dx 0 F 2 1.296 2Re f l V XS F 2 1 2 1.296 Re f f l X C VS F C F EXIT 50/67 對(duì)于對(duì)于層流有壓力梯度層流有壓力梯度情況，多了一個(gè)情況，多了一個(gè) 的邊界條件，的邊界條件， 由于假設(shè)壓力梯度已知或外流速度已知，用上述同樣的方法可以解得由于假設(shè)壓力梯度已知或外流速度已知，用上述同樣的方法可以解得 邊界層的速度分布和剪

59、應(yīng)力等，可知結(jié)果都與壓力梯度有關(guān)。邊界層的速度分布和剪應(yīng)力等，可知結(jié)果都與壓力梯度有關(guān)。 對(duì)于對(duì)于平板湍流邊界層平板湍流邊界層情況，由于無壓強(qiáng)梯度，動(dòng)量積分方程仍然是：情況，由于無壓強(qiáng)梯度，動(dòng)量積分方程仍然是： 但對(duì)湍流而言但對(duì)湍流而言0 0 不能直接用璧面附近的速度梯度表達(dá)，而不能直接用璧面附近的速度梯度表達(dá)，而2 2與與u u 和和 有關(guān)，因此有三個(gè)未知數(shù)，還需找兩個(gè)補(bǔ)充關(guān)系，一個(gè)是速度分布有關(guān)，因此有三個(gè)未知數(shù)，還需找兩個(gè)補(bǔ)充關(guān)系，一個(gè)是速度分布 關(guān)系，一個(gè)是湍流剪應(yīng)力關(guān)系，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果：關(guān)系，一個(gè)是湍流剪應(yīng)力關(guān)系，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 代入代入2 2 的定義式和上述動(dòng)量積分方程即可解得平板湍

60、流邊界層的 的定義式和上述動(dòng)量積分方程即可解得平板湍流邊界層的、 當(dāng)?shù)啬Σ磷枇ο禂?shù)當(dāng)?shù)啬Σ磷枇ο禂?shù) C Cf f 、摩擦阻力、摩擦阻力 X Xf f 和摩阻系數(shù)和摩阻系數(shù) C CF F 等。 等。 x u u x p y u e e y 1 0 2 2 2 2 0 dx d ue 4 1 7 1 )(0225. 0 )( 2 0 U U y u u e 力符合規(guī)律：平板湍流邊界層摩擦阻 足七分之一冪規(guī)律：湍流邊界層速度分布滿 5.4、邊界層動(dòng)量積分方程 EXIT 51/67 1 1、邊界層分離現(xiàn)象、邊界層分離現(xiàn)象 邊界層中的流體質(zhì)點(diǎn)受邊界層中的流體質(zhì)點(diǎn)受慣性力、粘性力和壓力慣性力、粘性力和壓力