1、1 彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程 A Concise Course in Elasticity 武漢科技大學理學院武漢科技大學理學院 工程力學系工程力學系 韓芳韓芳 2014.92014.9 2 課程簡介課程簡介 總學時總學時3232學時學時 學時安排：學時安排： 教材：教材： 徐芝綸，徐芝綸，彈性力學簡明教程彈性力學簡明教程第四版第四版 高等教育出版社，高等教育出版社，20022002 考核方式：考核方式： 總成績總成績=30%=30%平時成績平時成績+70%+70%卷面成績卷面成績 平時成績平時成績= =出勤出勤+ +平時作業平時作業 3 徐芝綸(1911-1999) 江蘇江都人。中國

2、科學 院資深院士，我國著名力學家、教育家， 1934年畢業于清華大學，1936年獲美國麻省 理工學院土木工程碩士學位，1937年獲哈佛 大學工程科學碩士學位。1980年當選為中國 科學院院士。 u1974年編著出版了我國第一部關于有限元法的專著彈 性力學問題的有限單元法。 u80高齡撰寫的英文版專著應用彈性力學，在國外出 版發行，是我國向國外推薦的第一本英文版工科教材。 4 p 彈性力學彈性力學定義？定義？ 彈性力學是固體力學的一個分支，研 究彈性體由于外力作用、邊界約束或溫度 改變等原因而發生的應力、形變和位移。 p 彈性力學彈性力學特點？特點？ 本課程較為完整的表現了力學問題的數 學建模過

3、程，建立了彈性力學的基本方程 和邊值條件，并對一些問題進行求解。 p 為什么學為什么學彈性力學彈性力學？ 彈性力學基本方程的建立為進一步的數 值方法奠定了基礎，是學習塑性力學、斷 裂力學、有限元方法的基礎。 5 本書結構 第一章 緒論 第二章 平面問題基本理論 第三章 平面問題的直角坐標解答 第四章 平面問題的極坐標解答 第五章 差分法 變分法（自學） 第六章 有限元法解平面問題 第七、八章 空間問題的解答（自學） 第九章 薄板彎曲問題 （自學） 6 第一章第一章 緒緒 論論 1-3 1-3 彈性力學中的基本假定彈性力學中的基本假定 1-2 1-2 彈性力學中的幾個基本概念彈性力學中的幾個基本

4、概念 1-1 1-1 彈性力學的內容彈性力學的內容 7 研究彈性體由于受外力、邊界約束或溫度改研究彈性體由于受外力、邊界約束或溫度改 變等原因而發生的應力、形變和位移變等原因而發生的應力、形變和位移。 1、彈力定義、彈力定義 1-1 1-1 彈性力學的內容彈性力學的內容 2、彈力與材力、結力的區別與聯系、彈力與材力、結力的區別與聯系 研究對象研究方法 數理基礎 8 研究彈性體由于受外力、邊界約束或溫度改研究彈性體由于受外力、邊界約束或溫度改 變等原因而發生的應力、形變和位移變等原因而發生的應力、形變和位移。 1、彈力定義、彈力定義 1-1 1-1 彈性力學的內容彈性力學的內容 2、彈力與材力、

5、結力的區別與聯系、彈力與材力、結力的區別與聯系 研究對象研究方法 數理基礎 9 材料力學材料力學 結構力學結構力學 10 11 12 13 材料力學材料力學-研究桿件（如梁、柱和軸）研究桿件（如梁、柱和軸） 的拉壓、彎曲、剪切、扭轉和組的拉壓、彎曲、剪切、扭轉和組 合變形等問題。合變形等問題。 彈性力學彈性力學-研究各種形狀的彈性體，如桿研究各種形狀的彈性體，如桿 件、平面體、空間體、板殼、薄壁件、平面體、空間體、板殼、薄壁 結構等問題。結構等問題。 結構力學結構力學-在材料力學基礎上研究桿系結構在材料力學基礎上研究桿系結構 （如（如 桁架、剛架等）。桁架、剛架等）。 研究對象 14 材料力學

6、材料力學借助于直觀和實驗現象作一些假定，如借助于直觀和實驗現象作一些假定，如 平面假設等，然后由靜力學、幾何學、物理學三方平面假設等，然后由靜力學、幾何學、物理學三方 面進行分析。面進行分析。 結構力學結構力學與材料力學類同。與材料力學類同。 彈性力學彈性力學僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程 三方面分析，三方面分析，放棄了材力中的大部分假定放棄了材力中的大部分假定。 研究方法 15 彎曲正應力彎曲正應力與與彈性力學彈性力學解析解對比：解析解對比： 各應力分量沿鉛直方向的變化大致如下圖所示。 ql q ql ll ox y 2 h 2 h 圖3-4 彈性力學 bI

7、 QS y I M xy y x 0 材料力學 橫力彎曲實例 bI QS h y h yq h y h y qy I M xy y x 2 2 2 ) 2 1)(1 ( 2 ) 5 3 4( x y xy 圖3-5 2 h 2 h 16 材料力學，結構力學材料力學，結構力學常微分方程，一個變量常微分方程，一個變量 彈性力學彈性力學偏微分方程，高階，二三個變量偏微分方程，高階，二三個變量 數理基礎 數值解法：數值解法：能量法（變分法）（第五章）能量法（變分法）（第五章） 有限單元法（第六章）有限單元法（第六章） 17 1-2 1-2 彈性力學中的幾個基本概念彈性力學中的幾個基本概念 按照外力作用

8、的不同分布方式，可分為按照外力作用的不同分布方式，可分為體積力體積力和和表面力表面力， 分別簡稱體力和面力。分別簡稱體力和面力。 （2）性質：體力隨點的位置不同 而不同；體力是連續分布的。 （一）外力（一）外力 1.體力 （1）定義：所謂體力是分布在物 體體積內的力，如重力和慣性力。 如圖12所示 。Q 圖圖1-21-2 z x y V O P X Y Q F Z 18 （3 3）集度：）集度： （4 4）體力分量：）體力分量： 將F沿三個坐標軸分解，可得到三個正交的分力： kZjYiXF X、Y、Z稱為物體在P點的體力分量，正負號視分 力指向而定，因次是力長度-3。 體力的平均集度為： V

9、Q P點所受體力的集度為： V Q F V lim 0 F Q的方向就是 的極限方向。 19 2. 2. 面面 力力 S 上面力的平均集度為： S Q （3）面力集度： P點所受面力的集度為： S Q F S 0 lim （4）面力分量： P點的面力分量為 、 、， 因次是力長度-2。 XYZ x y z P S X Y Z F Q 圖1-3 （2）性質：面力一般是物體表面點的位置坐標的函數。 （1）定義：分布在物體表面上的力。如流體壓力和接觸力 。如圖13所示 。 Q 20 （二）應力（二）應力 3.應力集度： 上的內力的平均集度為： A Q A P點的應力為： A Q s A 0 lim

10、-正應力-切應力 因次是力長度-2。 P點的應力分量為 、 2.性質：在物體內的同一點，不同截面上的應力是不同的。 1.定義：物體承受外力作用，物體內部各截面之間產生附加內 力，為了顯示出這些內力，我們用一截面截開物體，并取出其 中一部分，其中一部分對另一部分的作用，表現為內力，它們 是分布在截面上分布力的合力。當截面面積趨于零時截面上的 分布力。如圖14所示 。s x y z A B P o A s Q n m 圖圖1-41-4 21 4.4.應力分量應力分量 應力不僅和點的位置有關，和截面的方位也有關，不是 一般的矢量，而是二階張量。 相對平面上的應力分量，在 略去高階小量的意義上大小相等

11、， 方向相反。 （1）為了分析一點的應力狀 態，在這一點從物體內取出一個 微小的正平行六面體，各面上的 應力沿坐標軸的分量稱為應力分 量。 x y z o 圖圖1-51-5 A B C P 22 圖示單元體面的法線為y,稱 為y面，應力分量垂直于單元體 面的應力稱為正應力。 正應力記為y,沿y軸的正 向為正,其下標表示所沿坐標軸 的方向。 y x y z o yx 圖圖1-61-6 （2 2）符號規定：）符號規定： yz 平行于單元體面的應力稱為 切應力，用 、 表示，其第 一下標y表示所在的平面，第二下 標x、z分別表示沿坐標軸的方向。 如圖16所示的 、 。 yx yx yz yz 23

12、其它x、z正面上的 應力分量的表示如圖1 7所示。 凡正面上的應力沿坐 標正向為正，逆坐標正向 為負。 圖圖1-71-7 x y z o 24 平行于單元體面 的應力如圖示的yx、 yz，沿x軸、z軸的 負向為正。 圖圖1-81-8 圖18所示單元體 面的法線為y的負向，正 應力記為 ,沿y軸負向 為正。 y x y z o 25 彈性力學彈性力學 材料力學材料力學 （3）注意彈性力學 切應力符號和材料力學 是有區別的，圖19中， 彈性力學里，切應力都 為正，而材料力學中相 鄰兩面的的符號是不同 的。 注意：注意：在畫應力圓時， 應按材料力學的符號規 定。 圖圖1-91-9 26 2.切應變：

13、圖1-5中線段PA、 PB、PC之間的直角的改變， 用弧度表示，稱為切應變。分 別用 、 、 表示。 yz zx xy （三）形變（三）形變 形變就是形狀的改變。物體的形變可以歸結為長度的改變 和角度的改變。 x y 1.正應變：圖1-5中線段PA、PB、PC每單位長度的伸縮，即 單位伸縮或相對伸縮，稱為正應變。分別用 、 、 表示。 z P 圖圖1-51-5 A B C P 1.正應變：圖1-5中線段PA、PB、PC每單位長度的伸縮，即 單位伸縮或相對伸縮，稱為正應變。分別用 、 、 表示。 z x y z o 線應變以伸長為正，縮短為負； 切應變以直角變小為正，變大為負； 27 （2）物體

14、的各點間有相對位移，因而物體產生了變形。 彈性力學中主要研究物體由變形而引起的位移。 （1）整個物體象一個剛體一樣進行的運動所引起的位移， 一般包括平移和轉動。這樣位移并不使物體的形狀、質點間 的相對距離發生變化。（物體只有外效應而無內效應）。 1.當物體各點發生位置改變時，一般認為是由 兩種性質的位移組成： （四）位移（四）位移 位移：物體變形時，各點位置的改變量稱為位移。 2.位移的表示方法 x yz uvw 物體內任意一點的位移，用它在 、 、 軸上的投 影 、 、 來表示，以沿坐標軸正向為正，沿坐標軸負向為 負。這三個投影稱為該點的位移分量。 28 位移位移 形變形變 應力應力 體力體

15、力 面力面力 邊界條件邊界條件 圖圖1-101-10 （五）各物理量之間的關系（五）各物理量之間的關系 幾何方程幾何方程物理方程物理方程 外力外力 平衡方程平衡方程 29 1-3 1-3 彈性力學的基本假設彈性力學的基本假設 任何學科的研究，都要略去影響很 小的次要因素，抓住主要因素,從而建立 計算模型,并歸納為學科的基本假定。 為什么要提出基本假定基本假定？ 30 （1）連續性連續性-假定物體是連續的。 因此，各物理量可用連續函數表示。 彈性力學中的五個基本假定彈性力學中的五個基本假定： 關于材料性質的假定材料性質的假定及其在建立彈 性力學理論中的作用： 31 （2）完全彈性完全彈性 - 假

16、定物體是以下兩種情 況： 因此，即應力與應變關系可用胡克定律表示 （物理線性）。 a.完全彈性外力取消，變形恢復，無 殘余變形。 b.線性彈性應力與應變成正比。 32 （3）均勻性均勻性-假定物體由同種材料組成。 因此， E、等與位置 無關。 （4）各向同性各向同性-假定物體各向同性。 因此， E、等與方向無關。 符合（1）-（4）假定的稱為理想彈性體理想彈性體。 由（3）,（4）知E、等為常數 ),(zyx 33 （5）小變形假定小變形假定-假定位移和形變為很小。 b. , 1. 變形狀態假定：變形狀態假定： 例：梁的 103 1, 1弧度（57.3）. a.位移物體尺寸, 例：梁的撓度v梁

17、高h. 34 小變形假定的應用：小變形假定的應用： a.簡化平衡條件：簡化平衡條件：考慮微分體的平衡 條件時，可以用變形前的尺寸代替變形后 的尺寸。 b.簡化幾何方程：簡化幾何方程：在幾何方程中，由于 可略去 等項,使幾何方程成為線性方程。 ,),(),(),( 32 2 ),( 35 彈性力學基本假定，確定了彈性 力學的研究范圍: 理想彈性體的小變形問題。理想彈性體的小變形問題。 36 記憶：記憶：不要過分拘泥于細節，不要過分拘泥于細節，應著眼于推導的應著眼于推導的 主要過程主要過程，公式的推導和記憶，最好通過矩陣形式，公式的推導和記憶，最好通過矩陣形式 和張量。和張量。 1-4 1-4 彈

18、性力學的學習方法彈性力學的學習方法 理解：理解：偏微分方程組的直接求解是十分困難的，偏微分方程組的直接求解是十分困難的， 理解理解基本方程基本方程的意義。的意義。 化簡：化簡：善于利用小變形略去高階小量，要分清善于利用小變形略去高階小量，要分清 主要邊界和次要邊界主要邊界和次要邊界。 做題：做題：適當做題。適當做題。 37 緒論緒論習題課習題課 練習練習1 1彈性力學的研究對象、內容是什么？與材料 力學比較有何異同？ 答：答：彈性力學研究物體在外界因素影 響下處于彈性階段的應力、應變和位 移，其研究對象為一般及復雜形狀的 構件、實體結構、板殼等。而材料力 學是研究桿件在拉、壓、剪、彎、扭 狀態下的應力和位移。 38 練習練習22彈性力學中基本假設是什么？ 答：答：為了簡化計算，彈性力學中采用如下基本假設： （1）連續性假設，（2）完全彈