1、 古代埃及數(shù)學(xué)古代埃及數(shù)學(xué) n數(shù)學(xué)的發(fā)源地?cái)?shù)學(xué)的發(fā)源地 非洲的尼羅河非洲的尼羅河 西亞的底格里斯河和幼發(fā)拉底河西亞的底格里斯河和幼發(fā)拉底河 中南亞的印度河和恒河中南亞的印度河和恒河 東亞的黃河和長(zhǎng)江東亞的黃河和長(zhǎng)江 n“河谷文明河谷文明” n這些地區(qū)的先民由于從事這些地區(qū)的先民由于從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的需的需 要，從控制洪水和灌溉，測(cè)量田地的面要，從控制洪水和灌溉，測(cè)量田地的面 積、計(jì)算倉(cāng)庫(kù)的容積、推算適合農(nóng)業(yè)生積、計(jì)算倉(cāng)庫(kù)的容積、推算適合農(nóng)業(yè)生 產(chǎn)的歷法以及相關(guān)的財(cái)富計(jì)算、產(chǎn)品交產(chǎn)的歷法以及相關(guān)的財(cái)富計(jì)算、產(chǎn)品交 換等等長(zhǎng)期換等等長(zhǎng)期實(shí)踐活動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)中積累了豐富的中積累了豐富的經(jīng)經(jīng) 驗(yàn)驗(yàn)，并

2、逐漸形成了相應(yīng)的技術(shù)知識(shí)和有，并逐漸形成了相應(yīng)的技術(shù)知識(shí)和有 關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)知識(shí)。 n數(shù)概念的形成可能與火的使用一樣古老，數(shù)概念的形成可能與火的使用一樣古老， 大約是在大約是在30萬(wàn)年以前，它對(duì)于人類(lèi)文明萬(wàn)年以前，它對(duì)于人類(lèi)文明 的意義也決不亞于火的使用。的意義也決不亞于火的使用。 n記數(shù)記數(shù) 計(jì)數(shù)計(jì)數(shù) n手指計(jì)數(shù)、石子計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)、刻痕計(jì)手指計(jì)數(shù)、石子計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)、刻痕計(jì) 數(shù)等。數(shù)等。 n周易周易：“上古結(jié)繩而治，后世圣人，上古結(jié)繩而治，后世圣人， 易之以書(shū)契。易之以書(shū)契?！?n荷馬史詩(shī)荷馬史詩(shī)奧德賽奧德賽 n當(dāng)主人公奧德修斯刺瞎了當(dāng)主人公奧德修斯刺瞎了 獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯僅有獨(dú)眼

3、巨人波呂斐摩斯僅有 的一只眼睛以后，那個(gè)不的一只眼睛以后，那個(gè)不 幸的盲老人每天都坐在自幸的盲老人每天都坐在自 己的山洞里照料他的羊群。己的山洞里照料他的羊群。 早晨羊兒外出吃草，每出早晨羊兒外出吃草，每出 來(lái)一只，他就從一堆石子來(lái)一只，他就從一堆石子 里撿出一顆。晚上羊兒返里撿出一顆。晚上羊兒返 回山洞，每進(jìn)去一只，他回山洞，每進(jìn)去一只，他 就扔掉一顆石子。當(dāng)他把就扔掉一顆石子。當(dāng)他把 早晨撿起的石子全都扔光早晨撿起的石子全都扔光 時(shí)，他就確信所有的羊兒時(shí)，他就確信所有的羊兒 返回了山洞。返回了山洞。 n大約五千多年前，書(shū)寫(xiě)記數(shù)以及相應(yīng)的大約五千多年前，書(shū)寫(xiě)記數(shù)以及相應(yīng)的 記數(shù)系統(tǒng)。記數(shù)系統(tǒng)

4、。 n與算術(shù)的產(chǎn)生相仿，最初的幾何知識(shí)則與算術(shù)的產(chǎn)生相仿，最初的幾何知識(shí)則 從人們對(duì)形的直覺(jué)中萌發(fā)出來(lái)。從人們對(duì)形的直覺(jué)中萌發(fā)出來(lái)。 1 古埃及的數(shù)學(xué)古埃及的數(shù)學(xué) n尼羅河谷尼羅河谷 “世界最大沙漠中的最大綠洲世界最大沙漠中的最大綠洲” n象形文字象形文字 巨大的金字塔巨大的金字塔 n公元前公元前3100年左右起，到公元前年左右起，到公元前332年年 止止 n紙草紙草 紙草書(shū)紙草書(shū) 1 古埃及的數(shù)學(xué)古埃及的數(shù)學(xué) n兩卷古埃及數(shù)學(xué)資料兩卷古埃及數(shù)學(xué)資料 公元前公元前1700年左右年左右 n莫斯科紙草莫斯科紙草 25個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題 1893年年 莫斯科美莫斯科美 術(shù)博物館術(shù)博物館 n萊茵德紙

5、草萊茵德紙草 85個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題 1858年年 英國(guó)博物英國(guó)博物 館館 阿姆士阿姆士 公元前公元前3000年年 阿默士紙草阿默士紙草 “萬(wàn)物的詳盡研究，洞察一切存在及所有晦澀萬(wàn)物的詳盡研究，洞察一切存在及所有晦澀 奧秘的知識(shí)奧秘的知識(shí)”。 2 古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及的記數(shù)制與算術(shù) n十進(jìn)記數(shù)制十進(jìn)記數(shù)制 有數(shù)字的專(zhuān)門(mén)符號(hào)有數(shù)字的專(zhuān)門(mén)符號(hào) 2 古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及的記數(shù)制與算術(shù) n古埃及人的記數(shù)系統(tǒng)是古埃及人的記數(shù)系統(tǒng)是疊加制疊加制而不是位而不是位 值制值制 n加減法運(yùn)算加減法運(yùn)算 n乘法或除法運(yùn)算時(shí)，則需要利用連續(xù)加乘法或除法運(yùn)算時(shí)，則需要利用連續(xù)加 倍的運(yùn)算來(lái)完成。倍的運(yùn)算來(lái)

6、完成。 2731 74526 2 古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及的記數(shù)制與算術(shù) n分?jǐn)?shù)的記法和計(jì)算分?jǐn)?shù)的記法和計(jì)算 2 古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及的記數(shù)制與算術(shù) n通常用通常用單位分?jǐn)?shù)的和單位分?jǐn)?shù)的和來(lái)表示分?jǐn)?shù)來(lái)表示分?jǐn)?shù) n萊茵德紙草里有個(gè)萊茵德紙草里有個(gè)數(shù)表數(shù)表，它把分子為，它把分子為2而而 分母為分母為5到到100的奇數(shù)的這類(lèi)分?jǐn)?shù)，表示的奇數(shù)的這類(lèi)分?jǐn)?shù)，表示 成為單位分?jǐn)?shù)的和。成為單位分?jǐn)?shù)的和。 5/21=1/21+2/21+2/21=1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42=1/21+1/7+1/21=1/7+2/21 =1/7+1/14+1/42 n

7、由于整數(shù)與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算都較為繁復(fù)，古由于整數(shù)與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算都較為繁復(fù)，古 埃及算術(shù)難以發(fā)展到更高的水平。埃及算術(shù)難以發(fā)展到更高的水平。 2 古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及的記數(shù)制與算術(shù) n體積的測(cè)量有其自己的符號(hào)體系：體積的測(cè)量有其自己的符號(hào)體系： 由象征由象征何露斯的眼睛何露斯的眼睛的象形文字的的象形文字的 部分組成。部分組成。 n何露斯是鷹神，他的眼睛半人半鷹。何露斯是鷹神，他的眼睛半人半鷹。 n象征他的眼睛的象形文字的每一個(gè)元素象征他的眼睛的象形文字的每一個(gè)元素 分別表示分別表示1/2、1/4、1/8、1/16、 1/32、1/64，將它們組合起來(lái)可以表，將它們組合起來(lái)可以表 示分母為示分母為6

8、4的任何分?jǐn)?shù)。的任何分?jǐn)?shù)。 2 古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及的記數(shù)制與算術(shù) n何露斯的眼睛本身還帶有何露斯的眼睛本身還帶有神秘色彩神秘色彩 n伊希斯和歐西里斯伊希斯和歐西里斯 塞斯塞斯 n何露斯為埃及國(guó)王以及法老的守護(hù)神何露斯為埃及國(guó)王以及法老的守護(hù)神 n掌管學(xué)習(xí)和魔法的月神透特掌管學(xué)習(xí)和魔法的月神透特 n何露斯的眼睛成為了健康、洞察力和富何露斯的眼睛成為了健康、洞察力和富 饒的象征饒的象征 n“透特將剩下的透特將剩下的1/64給予所有進(jìn)行了探給予所有進(jìn)行了探 索并接受了他的保護(hù)的書(shū)記們。索并接受了他的保護(hù)的書(shū)記們。” 3 古埃及的代數(shù)古埃及的代數(shù) n“計(jì)算若干計(jì)算若干”的問(wèn)題的問(wèn)題 方程問(wèn)題方

9、程問(wèn)題 試位法試位法 x+x/7=24 n公元前公元前1950年：將給定的年：將給定的100單位的面積分單位的面積分 為兩個(gè)正方形，使二者的邊長(zhǎng)之比為為兩個(gè)正方形，使二者的邊長(zhǎng)之比為4：3。 x2+y2=100。 n萊因德紙草（等差數(shù)列問(wèn)題）：今將萊因德紙草（等差數(shù)列問(wèn)題）：今將10斗麥子斗麥子 分給分給10給人，每人依次遞降給人，每人依次遞降1/8斗，問(wèn)各得多斗，問(wèn)各得多 少？少？ 3 古埃及的代數(shù)古埃及的代數(shù) n?？怂魉辜埐菹？怂魉辜埐?等比數(shù)列等比數(shù)列 n一位婦人的家里有一位婦人的家里有7間儲(chǔ)藏間儲(chǔ)藏 室，每間儲(chǔ)藏室里有室，每間儲(chǔ)藏室里有7只貓，只貓， 每只貓捉了每只貓捉了7只老鼠，每只

10、只老鼠，每只 老鼠吃了老鼠吃了7棵麥穗，每棵麥棵麥穗，每棵麥 穗可以長(zhǎng)出穗可以長(zhǎng)出7升麥粒。升麥粒。 n這個(gè)問(wèn)題的作者是用逐項(xiàng)這個(gè)問(wèn)題的作者是用逐項(xiàng) 相加這一簡(jiǎn)單方法得到解相加這一簡(jiǎn)單方法得到解 答的。沒(méi)有證據(jù)說(shuō)明作者答的。沒(méi)有證據(jù)說(shuō)明作者 使用了求和公式，抑或確使用了求和公式，抑或確 實(shí)是用到幾何級(jí)數(shù)的什么實(shí)是用到幾何級(jí)數(shù)的什么 性質(zhì)。性質(zhì)。 1 2 4 房屋 貓 老鼠 麥穗 容積 總數(shù) 7 49 343 2401 16807 19607 2801 5602 11204 19607 4 古埃及的幾何學(xué)古埃及的幾何學(xué) n埃及幾何學(xué)是尼羅河的贈(zèng)禮。埃及幾何學(xué)是尼羅河的贈(zèng)禮。 n尼羅河周期性泛濫之

11、后為了重劃地界，需要有尼羅河周期性泛濫之后為了重劃地界，需要有 高度發(fā)達(dá)的土地測(cè)量技術(shù)。高度發(fā)達(dá)的土地測(cè)量技術(shù)。 n希羅多德希羅多德 公元公元5世紀(jì)世紀(jì) 歷史歷史 n“大王（法老拉美西斯二世，約公元前大王（法老拉美西斯二世，約公元前1300年）年） 把土地分成大小相同的小正方形，然后分給每把土地分成大小相同的小正方形，然后分給每 一個(gè)埃及人，同時(shí)，指定年稅的支付并以此作一個(gè)埃及人，同時(shí)，指定年稅的支付并以此作 為國(guó)家收入的來(lái)源。如果一個(gè)人的土地被河水為國(guó)家收入的來(lái)源。如果一個(gè)人的土地被河水 沖走，他可以找大王申報(bào)所發(fā)生的事情，然后沖走，他可以找大王申報(bào)所發(fā)生的事情，然后 大王會(huì)派人去調(diào)查并測(cè)量

12、減少的土地?cái)?shù)量。這大王會(huì)派人去調(diào)查并測(cè)量減少的土地?cái)?shù)量。這 樣以后就按剩下土地的比例繳稅。我認(rèn)為，希樣以后就按剩下土地的比例繳稅。我認(rèn)為，希 臘人從埃及人那里學(xué)會(huì)了幾何技術(shù)。臘人從埃及人那里學(xué)會(huì)了幾何技術(shù)?！?4 古埃及的幾何學(xué)古埃及的幾何學(xué) n一些紙草表明，埃及人在一些紙草表明，埃及人在幾何幾何方面也能解決某方面也能解決某 些有實(shí)用價(jià)值的問(wèn)題。他們提出了計(jì)算土地面些有實(shí)用價(jià)值的問(wèn)題。他們提出了計(jì)算土地面 積、倉(cāng)庫(kù)容積、糧食堆的體積、石料和其他建積、倉(cāng)庫(kù)容積、糧食堆的體積、石料和其他建 筑材料多寡等的法則。筑材料多寡等的法則。 n等腰梯形面積等腰梯形面積 三角形的面積三角形的面積 n任意四邊形

13、面積的公式任意四邊形面積的公式 ： n他們沒(méi)有給出理論結(jié)果，也沒(méi)有給出計(jì)算程序他們沒(méi)有給出理論結(jié)果，也沒(méi)有給出計(jì)算程序 的一般法則。的一般法則。 n埃及人只要自己的數(shù)學(xué)知識(shí)能應(yīng)付日常生活中埃及人只要自己的數(shù)學(xué)知識(shí)能應(yīng)付日常生活中 的問(wèn)題，就已感到很滿(mǎn)足了。的問(wèn)題，就已感到很滿(mǎn)足了。 4 古埃及的幾何學(xué)古埃及的幾何學(xué) n和上古時(shí)代的許多民族一樣，埃及人似乎也已和上古時(shí)代的許多民族一樣，埃及人似乎也已 熟悉這樣的事實(shí)：如果三角形三邊的邊長(zhǎng)與熟悉這樣的事實(shí)：如果三角形三邊的邊長(zhǎng)與3， 4，5三個(gè)數(shù)成正比，則此三角形是直角三角形。三個(gè)數(shù)成正比，則此三角形是直角三角形。 但沒(méi)有可靠的證據(jù)說(shuō)明他們?cè)诮ㄖ?/p>

14、動(dòng)中曾用但沒(méi)有可靠的證據(jù)說(shuō)明他們?cè)诮ㄖ顒?dòng)中曾用 過(guò)這個(gè)事實(shí)。過(guò)這個(gè)事實(shí)。 n關(guān)于圓面積的計(jì)算，埃及人認(rèn)為它等于一個(gè)邊關(guān)于圓面積的計(jì)算，埃及人認(rèn)為它等于一個(gè)邊 長(zhǎng)為此圓直徑的長(zhǎng)為此圓直徑的8/9的正方形面積，這個(gè)結(jié)果的正方形面積，這個(gè)結(jié)果 導(dǎo)致圓周長(zhǎng)與其直徑之比是導(dǎo)致圓周長(zhǎng)與其直徑之比是3.16。 n新加坡數(shù)學(xué)教科書(shū)新加坡數(shù)學(xué)教科書(shū)New Mathematics Counts “勾股定理勾股定理”這一章的一幅插這一章的一幅插 圖圖 4 古埃及的幾何學(xué)古埃及的幾何學(xué) n埃及人在埃及人在體積計(jì)算體積計(jì)算中達(dá)到了很高的水平。中達(dá)到了很高的水平。 n莫斯科紙草：莫斯科紙草：“你這樣說(shuō)，一個(gè)正四棱臺(tái)你這

15、樣說(shuō)，一個(gè)正四棱臺(tái)6腕尺高，頂腕尺高，頂 面每邊面每邊4腕尺，底面每邊腕尺，底面每邊2腕尺。你這樣做：將腕尺。你這樣做：將4自乘，自乘， 得得16。再將。再將4乘以乘以2，得，得8，它就是底邊乘以頂邊。再，它就是底邊乘以頂邊。再 將將2自乘，得自乘，得4。將。將16加加8再加再加4，得，得28。再取。再取6的的1/3 得得2。再取。再取28的兩倍，得的兩倍，得56。看，這個(gè)。看，這個(gè)56正好就是你正好就是你 要求的體積。要求的體積?！?n這個(gè)驚人的結(jié)果表明，埃及人早在公元前這個(gè)驚人的結(jié)果表明，埃及人早在公元前 1850年就已熟悉確定年就已熟悉確定 正四棱臺(tái)體積的方法了。正四棱臺(tái)體積的方法了。

16、n“最偉大的埃及金字塔最偉大的埃及金字塔” 4 古埃及的幾何學(xué)古埃及的幾何學(xué) n埃及人究竟懂不懂證明，或著懂不懂他們的算埃及人究竟懂不懂證明，或著懂不懂他們的算 法和公式需要與根據(jù)？有一種說(shuō)法認(rèn)為萊茵德法和公式需要與根據(jù)？有一種說(shuō)法認(rèn)為萊茵德 紙草是按紙草是按教科書(shū)格式教科書(shū)格式寫(xiě)給當(dāng)時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)用的，寫(xiě)給當(dāng)時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)用的， 因此雖然它在解一些類(lèi)型的方程時(shí)沒(méi)有敘述一因此雖然它在解一些類(lèi)型的方程時(shí)沒(méi)有敘述一 般法則，但很可能作者是懂得這些規(guī)則的，但般法則，但很可能作者是懂得這些規(guī)則的，但 想讓學(xué)生自己去體會(huì)出這些法則，或者想讓教想讓學(xué)生自己去體會(huì)出這些法則，或者想讓教 師教給他們。不過(guò)可以肯定的是，紙草中所載師教給他們。不過(guò)可以肯定的是，紙草中所載 的問(wèn)題是當(dāng)時(shí)的商業(yè)人員和行政管理人員應(yīng)該的問(wèn)題是當(dāng)時(shí)的商業(yè)人員和行政管理人員應(yīng)該 解決的那類(lèi)問(wèn)題，而求解的方法則是從工作經(jīng)解決的那類(lèi)問(wèn)題，而求解的方法則是從工作經(jīng) 驗(yàn)中得出的驗(yàn)中得出的實(shí)用法則實(shí)用法則。 4 古