1、 古代埃及數學古代埃及數學 n數學的發源地數學的發源地 非洲的尼羅河非洲的尼羅河 西亞的底格里斯河和幼發拉底河西亞的底格里斯河和幼發拉底河 中南亞的印度河和恒河中南亞的印度河和恒河 東亞的黃河和長江東亞的黃河和長江 n“河谷文明河谷文明” n這些地區的先民由于從事這些地區的先民由于從事農業生產農業生產的需的需 要，從控制洪水和灌溉，測量田地的面要，從控制洪水和灌溉，測量田地的面 積、計算倉庫的容積、推算適合農業生積、計算倉庫的容積、推算適合農業生 產的歷法以及相關的財富計算、產品交產的歷法以及相關的財富計算、產品交 換等等長期換等等長期實踐活動實踐活動中積累了豐富的中積累了豐富的經經 驗驗，并

2、逐漸形成了相應的技術知識和有，并逐漸形成了相應的技術知識和有 關的數學關的數學知識知識。 n數概念的形成可能與火的使用一樣古老，數概念的形成可能與火的使用一樣古老， 大約是在大約是在30萬年以前，它對于人類文明萬年以前，它對于人類文明 的意義也決不亞于火的使用。的意義也決不亞于火的使用。 n記數記數 計數計數 n手指計數、石子計數、結繩計數、刻痕計手指計數、石子計數、結繩計數、刻痕計 數等。數等。 n周易周易：“上古結繩而治，后世圣人，上古結繩而治，后世圣人， 易之以書契。易之以書契。” n荷馬史詩荷馬史詩奧德賽奧德賽 n當主人公奧德修斯刺瞎了當主人公奧德修斯刺瞎了 獨眼巨人波呂斐摩斯僅有獨眼

3、巨人波呂斐摩斯僅有 的一只眼睛以后，那個不的一只眼睛以后，那個不 幸的盲老人每天都坐在自幸的盲老人每天都坐在自 己的山洞里照料他的羊群。己的山洞里照料他的羊群。 早晨羊兒外出吃草，每出早晨羊兒外出吃草，每出 來一只，他就從一堆石子來一只，他就從一堆石子 里撿出一顆。晚上羊兒返里撿出一顆。晚上羊兒返 回山洞，每進去一只，他回山洞，每進去一只，他 就扔掉一顆石子。當他把就扔掉一顆石子。當他把 早晨撿起的石子全都扔光早晨撿起的石子全都扔光 時，他就確信所有的羊兒時，他就確信所有的羊兒 返回了山洞。返回了山洞。 n大約五千多年前，書寫記數以及相應的大約五千多年前，書寫記數以及相應的 記數系統。記數系統

4、。 n與算術的產生相仿，最初的幾何知識則與算術的產生相仿，最初的幾何知識則 從人們對形的直覺中萌發出來。從人們對形的直覺中萌發出來。 1 古埃及的數學古埃及的數學 n尼羅河谷尼羅河谷 “世界最大沙漠中的最大綠洲世界最大沙漠中的最大綠洲” n象形文字象形文字 巨大的金字塔巨大的金字塔 n公元前公元前3100年左右起，到公元前年左右起，到公元前332年年 止止 n紙草紙草 紙草書紙草書 1 古埃及的數學古埃及的數學 n兩卷古埃及數學資料兩卷古埃及數學資料 公元前公元前1700年左右年左右 n莫斯科紙草莫斯科紙草 25個數學問題個數學問題 1893年年 莫斯科美莫斯科美 術博物館術博物館 n萊茵德紙

5、草萊茵德紙草 85個數學問題個數學問題 1858年年 英國博物英國博物 館館 阿姆士阿姆士 公元前公元前3000年年 阿默士紙草阿默士紙草 “萬物的詳盡研究，洞察一切存在及所有晦澀萬物的詳盡研究，洞察一切存在及所有晦澀 奧秘的知識奧秘的知識”。 2 古埃及的記數制與算術古埃及的記數制與算術 n十進記數制十進記數制 有數字的專門符號有數字的專門符號 2 古埃及的記數制與算術古埃及的記數制與算術 n古埃及人的記數系統是古埃及人的記數系統是疊加制疊加制而不是位而不是位 值制值制 n加減法運算加減法運算 n乘法或除法運算時，則需要利用連續加乘法或除法運算時，則需要利用連續加 倍的運算來完成。倍的運算來

6、完成。 2731 74526 2 古埃及的記數制與算術古埃及的記數制與算術 n分數的記法和計算分數的記法和計算 2 古埃及的記數制與算術古埃及的記數制與算術 n通常用通常用單位分數的和單位分數的和來表示分數來表示分數 n萊茵德紙草里有個萊茵德紙草里有個數表數表，它把分子為，它把分子為2而而 分母為分母為5到到100的奇數的這類分數，表示的奇數的這類分數，表示 成為單位分數的和。成為單位分數的和。 5/21=1/21+2/21+2/21=1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42=1/21+1/7+1/21=1/7+2/21 =1/7+1/14+1/42 n

7、由于整數與分數的運算都較為繁復，古由于整數與分數的運算都較為繁復，古 埃及算術難以發展到更高的水平。埃及算術難以發展到更高的水平。 2 古埃及的記數制與算術古埃及的記數制與算術 n體積的測量有其自己的符號體系：體積的測量有其自己的符號體系： 由象征由象征何露斯的眼睛何露斯的眼睛的象形文字的的象形文字的 部分組成。部分組成。 n何露斯是鷹神，他的眼睛半人半鷹。何露斯是鷹神，他的眼睛半人半鷹。 n象征他的眼睛的象形文字的每一個元素象征他的眼睛的象形文字的每一個元素 分別表示分別表示1/2、1/4、1/8、1/16、 1/32、1/64，將它們組合起來可以表，將它們組合起來可以表 示分母為示分母為6

8、4的任何分數。的任何分數。 2 古埃及的記數制與算術古埃及的記數制與算術 n何露斯的眼睛本身還帶有何露斯的眼睛本身還帶有神秘色彩神秘色彩 n伊希斯和歐西里斯伊希斯和歐西里斯 塞斯塞斯 n何露斯為埃及國王以及法老的守護神何露斯為埃及國王以及法老的守護神 n掌管學習和魔法的月神透特掌管學習和魔法的月神透特 n何露斯的眼睛成為了健康、洞察力和富何露斯的眼睛成為了健康、洞察力和富 饒的象征饒的象征 n“透特將剩下的透特將剩下的1/64給予所有進行了探給予所有進行了探 索并接受了他的保護的書記們。索并接受了他的保護的書記們。” 3 古埃及的代數古埃及的代數 n“計算若干計算若干”的問題的問題 方程問題方

9、程問題 試位法試位法 x+x/7=24 n公元前公元前1950年：將給定的年：將給定的100單位的面積分單位的面積分 為兩個正方形，使二者的邊長之比為為兩個正方形，使二者的邊長之比為4：3。 x2+y2=100。 n萊因德紙草（等差數列問題）：今將萊因德紙草（等差數列問題）：今將10斗麥子斗麥子 分給分給10給人，每人依次遞降給人，每人依次遞降1/8斗，問各得多斗，問各得多 少？少？ 3 古埃及的代數古埃及的代數 n希克索斯紙草希克索斯紙草 等比數列等比數列 n一位婦人的家里有一位婦人的家里有7間儲藏間儲藏 室，每間儲藏室里有室，每間儲藏室里有7只貓，只貓， 每只貓捉了每只貓捉了7只老鼠，每只

10、只老鼠，每只 老鼠吃了老鼠吃了7棵麥穗，每棵麥棵麥穗，每棵麥 穗可以長出穗可以長出7升麥粒。升麥粒。 n這個問題的作者是用逐項這個問題的作者是用逐項 相加這一簡單方法得到解相加這一簡單方法得到解 答的。沒有證據說明作者答的。沒有證據說明作者 使用了求和公式，抑或確使用了求和公式，抑或確 實是用到幾何級數的什么實是用到幾何級數的什么 性質。性質。 1 2 4 房屋 貓 老鼠 麥穗 容積 總數 7 49 343 2401 16807 19607 2801 5602 11204 19607 4 古埃及的幾何學古埃及的幾何學 n埃及幾何學是尼羅河的贈禮。埃及幾何學是尼羅河的贈禮。 n尼羅河周期性泛濫之

11、后為了重劃地界，需要有尼羅河周期性泛濫之后為了重劃地界，需要有 高度發達的土地測量技術。高度發達的土地測量技術。 n希羅多德希羅多德 公元公元5世紀世紀 歷史歷史 n“大王（法老拉美西斯二世，約公元前大王（法老拉美西斯二世，約公元前1300年）年） 把土地分成大小相同的小正方形，然后分給每把土地分成大小相同的小正方形，然后分給每 一個埃及人，同時，指定年稅的支付并以此作一個埃及人，同時，指定年稅的支付并以此作 為國家收入的來源。如果一個人的土地被河水為國家收入的來源。如果一個人的土地被河水 沖走，他可以找大王申報所發生的事情，然后沖走，他可以找大王申報所發生的事情，然后 大王會派人去調查并測量

12、減少的土地數量。這大王會派人去調查并測量減少的土地數量。這 樣以后就按剩下土地的比例繳稅。我認為，希樣以后就按剩下土地的比例繳稅。我認為，希 臘人從埃及人那里學會了幾何技術。臘人從埃及人那里學會了幾何技術。” 4 古埃及的幾何學古埃及的幾何學 n一些紙草表明，埃及人在一些紙草表明，埃及人在幾何幾何方面也能解決某方面也能解決某 些有實用價值的問題。他們提出了計算土地面些有實用價值的問題。他們提出了計算土地面 積、倉庫容積、糧食堆的體積、石料和其他建積、倉庫容積、糧食堆的體積、石料和其他建 筑材料多寡等的法則。筑材料多寡等的法則。 n等腰梯形面積等腰梯形面積 三角形的面積三角形的面積 n任意四邊形

13、面積的公式任意四邊形面積的公式 ： n他們沒有給出理論結果，也沒有給出計算程序他們沒有給出理論結果，也沒有給出計算程序 的一般法則。的一般法則。 n埃及人只要自己的數學知識能應付日常生活中埃及人只要自己的數學知識能應付日常生活中 的問題，就已感到很滿足了。的問題，就已感到很滿足了。 4 古埃及的幾何學古埃及的幾何學 n和上古時代的許多民族一樣，埃及人似乎也已和上古時代的許多民族一樣，埃及人似乎也已 熟悉這樣的事實：如果三角形三邊的邊長與熟悉這樣的事實：如果三角形三邊的邊長與3， 4，5三個數成正比，則此三角形是直角三角形。三個數成正比，則此三角形是直角三角形。 但沒有可靠的證據說明他們在建筑活

14、動中曾用但沒有可靠的證據說明他們在建筑活動中曾用 過這個事實。過這個事實。 n關于圓面積的計算，埃及人認為它等于一個邊關于圓面積的計算，埃及人認為它等于一個邊 長為此圓直徑的長為此圓直徑的8/9的正方形面積，這個結果的正方形面積，這個結果 導致圓周長與其直徑之比是導致圓周長與其直徑之比是3.16。 n新加坡數學教科書新加坡數學教科書New Mathematics Counts “勾股定理勾股定理”這一章的一幅插這一章的一幅插 圖圖 4 古埃及的幾何學古埃及的幾何學 n埃及人在埃及人在體積計算體積計算中達到了很高的水平。中達到了很高的水平。 n莫斯科紙草：莫斯科紙草：“你這樣說，一個正四棱臺你這

15、樣說，一個正四棱臺6腕尺高，頂腕尺高，頂 面每邊面每邊4腕尺，底面每邊腕尺，底面每邊2腕尺。你這樣做：將腕尺。你這樣做：將4自乘，自乘， 得得16。再將。再將4乘以乘以2，得，得8，它就是底邊乘以頂邊。再，它就是底邊乘以頂邊。再 將將2自乘，得自乘，得4。將。將16加加8再加再加4，得，得28。再取。再取6的的1/3 得得2。再取。再取28的兩倍，得的兩倍，得56。看，這個。看，這個56正好就是你正好就是你 要求的體積。要求的體積。” n這個驚人的結果表明，埃及人早在公元前這個驚人的結果表明，埃及人早在公元前 1850年就已熟悉確定年就已熟悉確定 正四棱臺體積的方法了。正四棱臺體積的方法了。

16、n“最偉大的埃及金字塔最偉大的埃及金字塔” 4 古埃及的幾何學古埃及的幾何學 n埃及人究竟懂不懂證明，或著懂不懂他們的算埃及人究竟懂不懂證明，或著懂不懂他們的算 法和公式需要與根據？有一種說法認為萊茵德法和公式需要與根據？有一種說法認為萊茵德 紙草是按紙草是按教科書格式教科書格式寫給當時學生學習用的，寫給當時學生學習用的， 因此雖然它在解一些類型的方程時沒有敘述一因此雖然它在解一些類型的方程時沒有敘述一 般法則，但很可能作者是懂得這些規則的，但般法則，但很可能作者是懂得這些規則的，但 想讓學生自己去體會出這些法則，或者想讓教想讓學生自己去體會出這些法則，或者想讓教 師教給他們。不過可以肯定的是，紙草中所載師教給他們。不過可以肯定的是，紙草中所載 的問題是當時的商業人員和行政管理人員應該的問題是當時的商業人員和行政管理人員應該 解決的那類問題，而求解的方法則是從工作經解決的那類問題，而求解的方法則是從工作經 驗中得出的驗中得出的實用法則實用法則。 4 古