1、12.4一元二次方程的根與系數的關系中考考點1 .理解一元二次方程的根與系數的關系(韋達定理)。2 會運用根與系數的關系，由已知的一元二次方程的一個根求岀另一個根與未知系數。3 .會求一元二次方程兩個根的倒數和與平方和。考點講解1 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a 工 的兩根為 X1,X2,則 X1+X2=-住,X1 X2=2 以X1,X2為根的一元二次方程是(X-X1)(X-X 2)=0，展開代入兩根和與兩根積，仍得到方程ax2+bx+c=0 (a 工 0)3 對二次項系數為1的方程X2+px+q=O的兩根為xi,x2時，那么xi+x2=-p, xi X2=q。反之,以X1,X2為根的

2、一元二次方程是：(x-x 1)(x-x 2)=0，展開代入兩根和與兩根積，仍得到方程：2x +Px+q=0 。4 一元二次方程的根與系數關系的應用主要有以下幾方面：(1) 已知一元二次方程的一個根，求另一個根，可用兩根和或兩根積的關系求另一個根。(2) 已知含有字母系數的一元二次方程的一個根，求另一個根及字母系數的值。可用根與 系數關系式，一個關系式求得另一個根，再用另一個關系式求得字母系數的值。的值。(3) 已知一元二次方程，不解方程，可求與所給方程兩根和、兩根積的某些代數式的值。 如，方程2X2-3x+1=0的兩根為X1,X2,不解方程，求 X12+X223212 X1+X2= , X1

3、X2= X12+X22 = (X1+X2)2-2X1X2=( )2-2 丸 = (4)(5)(6)驗根、求根、確定根的符號。已知兩根，求作一元二次方程(注意最后結果要化為整系數方程)。 已知兩數和與積，求這兩個數。(7)解特殊的方程或方程組?？碱}評析分別為(1 (北京市東城區)如果一元二次方程x2+3x-2=0的兩個根為X1 , X2，那么X1+X2與X1 X2的值)(A)(B) -3 , -2(C) 3,-2(D) -3, 2考點:元二次方程的根與系數關系。評析：答案為B。&C 由一元二次方程ax2+bx+c=0 (a工的兩根X1,X2,滿足X1+X2=丘,x1X2=d可直接計算,2.（杭州

4、市）若可花是方程=0的兩個根,則hl +1）0/1）的值為（(A )-7( B) 1(D)-1-729答案：A考點：一元二次方程根與系數的關系十 x評析思路：由韋達定理知，先求岀X1+X2 , X1 X2的值，然后將代數式（Xl+1）（X2 + 1）展開，最后將X1+X2,X1 X2的值代入即可。3 .（遼寧?。┫铝蟹匠讨校瑑筛謩e為-1 + 75,-1-75 的是()(D)答案：B考點：一元二次方程根與系數的關系評析思路：因給岀了二根, 確答案為B。所以好求二根和二根積，再根據Xl+X2=-p X 1 X2= q，即可確定正4 .（遼寧?。┮阎?a，2亠I _乃又十二 +i X巾，黑丄 “

5、=4， 4k2-5k-9=0.9解這個方程，得k1=-1， k2= (不合題意，舍去) 當k=-1時，原方程的判別式 =b2-4ac=-(5k+1) 2-4(k2-2)=(-4) 2-4(1-2)=200.所以存在滿足條件的負數k，k=-1.考點：一元二次方程根的判別式的應用，根與系數的應用。評析：此題是存在型的試題，一般結論都是在存在成立的條件下，按照給岀的條件進行討論,6 .(福州市)以 2, -3為兩個根的一元二次方程是(A)x2-x-6=0(B) x2+x-6=0(C) x2-x+6=0).2(D) X +x+6=0因此題是關于兩個實根的關系，所以在討論時必注意0。答案:考點:元二次方

6、程根與系數關系。評析:利用一元二次方程 X2+px+q=0的根xi,X2與系數關系:電 +X3 -p毗F直接計算即得答案。7 (廣州市)已知 2是關于X的方程x2+3mx-10=0的一個根，則 m=考點：一元二次方程的根與系數關系評析：根據方程解的概念， 將未知數的值代入方程求岀m，或利用根與系數的關系解方程組求岀。T =2，貝U m=答案：1 .(貴陽市)若 Xi,X2是方程x2-2x+m=0的兩個根，且考點：一元二次方程根與系數關系評析：由一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a工0的兩根X1、X2與系數的關系包，丘H得x1+X2=2X1X2=m，求場 X】的值，代入已知的等式求岀m。答案

7、：19 .（河北?。┰?Rt ABC中，/ C=9O0, a、b、c分別是/ A、/ B、/ C的對邊，a、b是關于X的方程X?=0的兩根，那么AB邊上的中線長是（5(B)(C)(D) 2考點：直角三角形三邊關系勾股定理、根與系數的關系a+b=7a b=c+7，由勾股定斜邊上的中線為斜邊的一半，故選B。J丄10 .（北京市海淀區） 已知：關于x的方程亠時洸7的兩個實數根的倒數和等于3,關于X的方程41）八女-加=0有實數根且A-1k為正整數，求代數式上2的值。評析思路：因直角三角形兩直角邊a、b是方程的二根，.有 理知c2=a2+b2，聯立組成方程組求得c=5，考點：根的判別式，根與系數的關系

8、。評析：先根據根與系數的關系求得a值，再將a代入到第二個方程。因第二個方程只證有實根，所以k可以等于1,然后再根據 的范圍再確定k值，分別代入所求代數式就可以了。答案：0說明學生往往忽略 k=1的這種情況：認為一元二次方程有實根，必是兩個，這是不全面的, 也有的不考慮 的范圍。11.（河北?。┤鬤i、x2是一元二次方程 3x2+x-1=0的兩個根，則1 +勺 的值是（）(A)-1(B)0(C)1(D)2考點：一元二次方程根與系數的關系評析：根據一元二次方程根與系數的關系，先求岀X1+X2, X1 X2的值，然后將求的代數式11H嚴耳11 _心兀i變形為 W，最后將X1+X2=-3X1 X2=-

9、3代入即可，故選Co12 .(哈爾濱市)已知： ABC的兩邊 x2-(2k+3)x+k 2+3k+2=0的兩個實數根，第三邊ABC是以BC為斜邊的直角三角形. ABC是等腰三角形，并求岀 ABC的周長.AB、AC的長是關于X的一元二次方程BC的長為5.(1)(2)k為何值時， k為何值時，考點:Rt 三邊關系,等腰三角形底與腰的關系，一元二次方程根與系數關系評析:已知一元二次方程的兩根，首先想到不解方程，而是利用根與系數的關系達到目的，又根據Rt三邊的關系 AB2+AC 2=BC2可知，通過 AB 2+AC 2=(AB+AC) 2- 2AB- AC可實現。(1)答案：k=2或k= -5注：如果

10、利用根與系數關系不能求解，再利用解方程求根的方法。(2)首先利用判斷式判斷 AB與AC是否相等，再考慮其它情況，即 當AB=BC或AC=BC時，BC=5是一元二次方程的一個根，故可求 三角形的周長可求。k的值,AB=BC 或 AC=BC，也就可求另一個根，答案：14或16.注：在求周長時，應判斷是否能構成三角形。13 .(安徽)已知方程 x2 + (1-G)x-=0的兩根為X1、X2,3求 +X的值?？键c：一元二次方程根與系數的關系評析：根據根與系數的關系，先求岀X1+X2、X1 X2的值然后將X12+X22=(X 1 +X2)2-2X 1X2 變為以上形式，再將 X1+x2=J，-1，X1

11、X2=-J*代入即可。解：由根與系數關系,X1+X2=-1+ rhX1X2=-=(龐-1)2+2 近=3-2+2=3.1 2說明：如果先解岀根 xi、X2,再求岀x】+x2的正確值可以。14 (北京市東城區)已知關于 x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的兩個實數根的平方和等于4，求實數k的值?？键c：一元二次方程根與系數的關系評析：先設方程二根為X1、X2，分別求岀X1+X2，X1岀k值，但必須保證方程有兩個實根，所以還必須保證 略 0的隱含條件的。X2的值，再根據兩根的平方和是4,求0才能確定k的值，此題一些考生忽解：設方程 x2-(k-1)x+k+1=0的兩個實數根是 X1, X2, X

12、1+X2=k-1, X 1 X2 = k+1.2 2xl +x 2 =4,(X1+X 2)2-2X1X2=4. (k-1)2-2(k+1)=4得即2k -4k-5=0解這個方程，得k=5 或 k=-1.當 k=5 時， =(51)2-4(5+1)0,原方程無實數根，故x=5舍去.當 k=-1 時， =0, 因此，k=-1為所求。那么真題實戰1 .(常州市)已知關于x的方程x2+mx - 6=0的一個根是2，則另一個根是答案：-3; 1,m=2 (天門市)若方程X? - 2 3 = 0的兩根是X1、X2，則代數式* +對-2疋-込的值答案：63 .已知Xi、X2是方程B、一 1C、 1D、0答案

13、：B4 .（石家莊市）設方程J，則m等于（）B. 4答案：C5 .（濰坊市）下列方程中，兩實數根的和等于A. 2x2 4x+3=0C . 2x +4X 3=0B . 2x2 2x 3=0D . 2x2 4x 3=0答案：D的方程是（）6 .（山西?。┤舴匠蘕2-2X-1=0 的二根為 X1, X2,則代數式込它的值是（）D . -2答案：A7 .（南昌市）已知方程2x2+kx 10=0 的一個根是2,求它的另一根及k的值。解：設方程的另一根為X1，那么-2x1=-5 ,5盜，=一2(-2)十詐又丿k=-1 。答：方程的另一根是,k的值是-1。HX2 X 1=0的兩個根，則蠱1兀2的值是（X 的

14、方程 x2+(m 2)x+ 2 m 3=0。A = (pzE - 2) - 4(陽-R(1)證明：-2無論m取什么實數，這個方程總有兩個不相等的實數根解 X1,X2是這個方程的兩個實數根刊十(1)觀勺=-r?j - 3(2).一 2又 2x1+X2=m+1,(3)-(1),得 X1=2m-1把代入(1),得x2=3- 3m (5)把、(5) 111-2 代入(2),得(2m-1)(3-3m)=)-ITL = 03n 179 .(南通市)設X1、X2是關于X的方程X2 - (k+2)+2k+1=0的兩個實數根，且 X12+X22=11.(1) 求k的值；(2) 利用根與系數的關系求一個一元二次方

15、程，使它的一個根是原方程兩個根的和，另一根是原方程兩根差的平方。解：(1)由題意得 xi+x2=k+2 , X1 X2=2k+1X； +S：=(爸1+ ；嚴-2XiZj+ 2又當：十站.B+bll，解得k=3。又 =-(k+2) 2-4(2k+1)=k 2-4k，當k=3時，=3v 0，原方程無實數解； 當k=-3時， =21 0,原方程有實數解。故 k=-3 。(2)當k=-3時，原方程為 x2+x-5=0。 設所求方程為y2+py+q=O，兩根為yi、y2, 則 yi=xi+X2=-1，a 2y2=(x 1-X2)2= L T -2X1X2 = 11+10=21。二 yi+y 2=20 , yi y2=-21 所求方程是 y2-20y-21=010.（昆明）已知一元二次方程x2-2x-1=0的兩根是XI、X2,則*1 +七 的值是（C、-)D、-2答案:11 .（沈陽）設Xi、X2是方程2x2-4x-3=0 的兩個根，則 *1 +2答案:4-32B是方程 宀 鮎-50的兩個實數根，則a十00 + 2反的值為?？键c：一元二次方程根與系數的關系評析思路：由根與系數的關系可知a+b=-2，a b