1、從集合的觀點理解充分條件和必要條件命題“若p則q”為真，記為“ p = q”，這時p是q的充分條件，q是p的 必要條件。由前面關于集合A,B的定義知,p =q,當且僅當A B,這就是說,A I匚B時,p是q的充分條件,q是p的必要條件。為使p,q有意義,一般我們僅討論 A,B非空的情況.p是q的充分條件,q是p的必要條件,即若對象x滿足p,則x也一定滿足q, 這等價于x A時，必有x B,即A J B,但是可能存在對象y B但y菸A, 即y滿足q卻不滿足p。若A=B時，即A B且B A,就是說，滿足p的對象滿足q,反之，滿足 q的對象滿足p。因此p q，當且僅當A= B,這時p是q的充要條件。

2、換句話 說，A, B的描述表示雖然不同，但若它們的元素完全相同，則p與q等價（圖1）若AH BM 0但AH Bm A且AH Bm B,即滿足p的對象不完全滿足q；反之, 滿足q的對象也不完全滿足p,就是說p, q不能互相完全推出，這時p, q是既 不充分也不必要條件（圖2）。例：“ x是4的倍數”是“ x是6的倍數”的既 不充分也不必要條件。若AH B=,即滿足p的對象都不滿足q,反之，滿足q的對象也都不滿足p,就是說p,q不能互相推出，這時也可表示為：，相當于p是q的既不充分也不必要條件（圖3）尸匚 5 是 q : x 3 的.(3) p : 0vxV 5 是 q ：| x-2 |v 3 的

3、.(4) p : x 5 *q= x | x3，：填 A.p= x | 0xv 5= p q= x | | x-2 | V 3，：填 A.(4)p= x | x0的解集為R,結論B： 0vav4；條件p : A非B,結論q : AU B=B.錯誤分析：此類題的易錯點是在用定義判斷時，忽略了無論是 A = B，還是 B =A均要認真考慮是否有反例，這一點往往是判斷充分性和必要性的關鍵，也 是難點.如(1)題中，往往根據二次不等式的解去考慮此題，而忽略了 a=0時原不等式變為10這一絕對不等式的情況在題中同樣容易忽略A=B這一特殊情 況.解： =a2-4a v0，即卩 0v av 4:當 0v a

4、v 4 時，ax2+ax+1 0 恒成立.故 B = A.而當 a=0 時，ax2+ax+1 0 恒成立，：A /B.故A為B的必要不充分條件 A 卄 B = AU B=B而當 A=B時，AU B=B 即 q /p,練習：探討下列生活中名言名句的充要關系.（1）水滴石穿（2）驕兵必敗（3）有志者事竟成（4）頭發長，見識短（5）名師出高徒（6）放下屠刀，立地成佛。（7）兔子尾巴長不了（ 8）不到長城非好漢（9）春回大地，萬物復蘇（10）海內存知己（11）蠟炬成灰淚始干（12）玉不琢，不成器考慮到充要條件既是一個數學概念也是一個邏輯概念，它與人們日常生活中的推理判斷密切相關，再讓學生看下面的例題，讓學生淘汰其中的充要條件，并踴躍發表自己的觀點。 當然，生活語言不可能象數學命題一樣準確，因此學生不同觀點的碰撞在所難免， 作為教師,只要學生的推斷能在某種前提或某個角度下合乎情理，就應該肯定，在這里答案應該是開放的，不同的觀點應允許共存，關鍵是只要學生能學會