1、正四面體本身的對稱性，內切球和外接球的球心同為0.此時，CO = OS= R, OE = r, SER2-=|CE|2=書，解得R =喘,12a.For pers onal use only in study and research; not forcommercial use與球有關的切、接問題(2) 正方體與球： 正方體的內切球：截面圖為正方形EFHG的內切圓，如圖所示.設正方體的棱長為 a,則QJ|=r =餉 為內切球半徑). 與正方體各棱相切的球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，則 |GO|= R= 21. 球的表面積公式： s= 4 nR ；球的體積公式 v= 3 tR3 .與球有

2、關的切、接問題中常見的組合：a.正方體的外接球：截面圖為正方形ACCA的外接圓，則|A1O|= Ra.(3) 三條側棱互相垂直的三棱錐的外接球：如果三棱錐的三條側棱互相垂直并且相等，則可以補形為一個正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.即三棱錐A1-AB1D1的外接球的球心和正方體ABCD-A1BQ1D1的外接球的球心重合.如圖，設AA1= a,則 R= a.如果三棱錐的三條側棱互相垂直但不相等，則可以補形為一個長方體，長方體的外2 | 匕2 + 22接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.r2= -一4一c=4（ 1為長方體的體對角線長 ）.角度一：正四面體的內切球1 . （20

3、15長春模擬）若一個正四面體的表面積為Si,其內切球的表面積為S2,則S1 =解析：設正四面體棱長為 a,則正四面體表面積為Si= 4 j3 = -J 3,其內切球半徑n 26a為正四面體高的4,即r=4唸=if-，因此內切球表面積為*=4/=青,則詈-亠6、3n角度二：直三棱柱的外接球B. IC. ,2D.2. （2015唐山統考）如圖，直三棱柱 ABC-AiBiCi的六個頂點都在半徑 為I的半球面上，AB= AC,側面BCCiBi是半球底面圓的內接正方形，則 側面ABBiAi的面積為（）解析：選C 由題意知，球心在側面BCCiBi的中心O上，BC為截面圓的直徑，ZBAC = 90 KBC的

4、外接圓圓心 N是BC的中點，同理AiBiCi的外心 M是BiCi的中心.設正方形 BCCiBi的邊長為x, RtOMCi中，xxiX |儀 俯視圖OM = 2， MCi= , OCi= R= i（R為球的半徑）, 2 + 2 = i，即 x =.2，則 AB= AC = I,.S矩形 ABBiAi= .2X i = 2.角度三：正方體的外接球3 一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如圖所示（圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形），則該幾何體外接球的體積為解析：依題意可知，新的幾何體的外接球也就是原正方體的外接球，要求的直徑就是正方體的體對角線； 2R= 2.3（R為球的半徑）， R= .

5、3, 球的體積 V= fn3= 4 3 n.答案：4 3n角度四：四棱錐的外接球4.（2014大綱卷）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為（）81 nA.B. 16 n C. 9 n4解析：選A如圖所示，設球半徑為 正四棱錐 P-ABCD 中 AB = 2,.AO = 2.PO = 4,.在 RtKOO 中，AO2= AO 2+ OO 2,aR2= ( 2)2+ (4- R)2，解得 R929 281 n=4，.該球的表面積為 4 nR = 4 %x 4 = 4，故選A.類題通法切”“接”問題的處理規律1.“切”的處理解決與球的內切問題主要是指球內切多

6、面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過 作截面來解決如果內切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.2 “接”的處理把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題解決這類問題的關鍵是抓住 外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.牛刀小試1 . （2015云南一檢）如果一個空間幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖都是半徑等于5的圓，那么這個空間幾何體的表面積等于（）A . 100 nB.100 n3C. 25 n25 nD.V1，側棱長為.2的正四棱柱的各頂點均在同一個D2解析：選A 易知該幾何體為球，其半徑為5,則表面積為S= 4 uR2= 100 n.2. （201

7、4陜西高考）已知底面邊長為 球面上，則該球的體積為（）32 nA. 3B . 4 n C. 2 n解析：選D 因為該正四棱柱的外接球的半徑是四棱柱體對角線的一半，所以半徑=12+ 12+(邁 2 = 1，所以 v 球=4n 13 = 故選 D.3 .已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱的底面邊長為.6時，其高的值為（）A . 3 ,3B. ,3 C. 2 6 D. 2 ,3h2解析：選D 設正六棱柱的高為h，則可得（，6）2+卷=32,解得h= 2 3.4. （2015山西四校聯考）將長、寬分別為 4和3的長方形ABCD沿對角線AC折起, 得到四面體A-BCD，則四面體

8、A-BCD的外接球的體積為.|,從而體積解析：設AC與BD相交于O,折起來后仍然有 OA= OB = OC = OD ,外接球的半徑4 nv = 4x5一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球 O的體積的比值為 .解析：設等邊三角形的邊長為2a,則V圓錐=3 n 3a =中掃3;又R2 = a2 + （ 3aR）2,所以R=，故32 . 3n 327 a，則其體積比為_932.高考全國課標卷真題追蹤1. （15課標1理）已知A, B是球O的球面上兩點，/AOB =90, C為該球面上的動點,若O - ABC三棱錐體積的最大值為 36,則球O的表面積為

9、（C ）（A） 36 二（B）64 二 （C）144 二 （D）256 二2. （13課標1理）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器容器高8cm,將一個球放在容器口 ，再向容器注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如不計容器的厚度，則球的體積為(A)500 n 3 cm(B)866 n 3 cm(C)1372 n 3cm(D)2048 n 3cm3. （12課標理）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球 0的球面上，UABC是邊長為1的 正三角形,SC為球0的直徑,且SC = 2 ,則此棱錐的體積為（A）(A)(B)(C)(D)4. （ 12課標文）平面：截球0的球面所得圓的半徑為

10、1,球心0到平面的距離為.2則此球的體積為（B ）（A） 6 n（B） 4 3n（C） 4 6 n（D） 6 3n5. （10新課標理）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為a,頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（B ）2721 122（A）二 a（B） a（C）a（D） 5二 a336. （10新課標文）設長方體的長、寬、高分別為 2a,a,a,其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（B ）（A） 3 二 a2（ B） 6 - a2（C） 12二 a2（D） 24二 a27. （07新課標文）已知三棱錐 S - ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心0在AB上，S0 _底面ABC ,

11、 AC =2r ,則球的體積與三棱錐體積之比是（D）A . nB . 2 nC . 3 nD . 4 n8. （13新課標2文）已知正四棱錐 0-ABCD的體積為 生2,底面邊長為 3,則以0為2球心，0A為半徑的球的表面積為 24二。9. （13新課標1文）已知H是球0的直徑AB上一點，AH : HB =1: 2 , AB _平面:,H為垂足，o（截球0所得截面的面積為 兀，則球0的表面積為_。亍10. （ 11新課標理）已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球0的球面上，且AB = 6, BC = 2、. 3 ,則棱錐 0 - ABCD 的體積為 &、3.11. （11新課標文）已知兩個圓錐

12、有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一球3面上.若圓錐底面面積是這個球面面積的,則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較161大者的高的比值為312. （ 08新課標理）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面已知該六棱柱的頂點94都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為-，底面周長為3,那么這個球的體積為 一二83僅供個人用于學習、研究；不得用于商業用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung

13、, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to員bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 員 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 貝 ex.以下無正文僅供個人用于學習、研究；不得用于商業用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquement des fins&personnelles; pasa des fins commercial