1、第一章 概率論的基本概念在大量重復試驗中其結果又具確定性現象： 在一定條件下必然發生的現象 隨機現象：在個別試驗中其結果呈現出不確定性， 有統計規律性的現象 隨機試驗： 具有下述三個特點的試驗：1. 可以在相同的條件下重復地進行2. 每次試驗的可能結果不止一個，且能事先明確試驗的所有可能結果3. 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現 樣本空間：將隨機試驗 E 的所有可能出現的結果組成的集合稱為 E 的樣本空間，記為 S 樣本點：樣本空間的元素，即 E 的每個結果，稱為樣本點 樣本空間的元素是由試驗的目的所確定的。隨機事件：一般，我們稱試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件，簡稱事件 在每次

2、試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現時，稱這一事件發生。 基本事件：由一個樣本點組成的單點集，稱為基本事件。必然事件：樣本空間S包含所有的樣本點，它是S自身的子集，在每次試驗中它總是發生的， 稱為必然事件。不可能事件：空集 不包含任何樣本點， 它也作為樣本空間的子集， 在每次試驗中， 稱為不可 能事件。事件間的關系與運算：設試驗E的樣本空間為S,而A,B, Ak (k=1,2,)是S的子集。1. 若A B ,則稱事件B包含事件A,這指的是事件A發生必然導致事件B發生。 若A B且B A,即A=B則稱事件A與事件B相等。2. 事件A B x | x A或x B稱為事件A與事件B的和事件。當

3、且僅當 A,B 中至少有一個發生時，事件 A B 發生。n類似地，稱U Ak為事件An A2,An的和事件；稱U Ak為可列個事件人，人， k1k1的和事件。3. 事件A B=x | x A且x B稱為事件A與事件B的積事件。當且僅當A,B同時發生時，事件 A B 發生。 A B 記作 AB。類似地，稱| Ak為n個事件AiA，,An的積事件；稱| Ak為可列個事件k 1k 1AA,的積事件。4. 事件A B x I x A且 x B稱為事件A與事件B的差事件。當且僅當A發 生、B不發生時事件A B發生。5. 若A B ，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的。這指的是事件 A與 事件B不能同時

4、發生。基本事件是兩兩互不相容的。6. 若A B S且A B ,則稱事件A與事件B互為逆事件。又稱事件A與事件 B互為對立事件。這指的是對每次試驗而言，事件 A,B中必有一個發生。A的對 立事件A. A S A.設代B,C為事件，則有交換律：A BBA; ABBA.結合律:A (BC)(AB)C；A (BC)(AB)C.分配律:A (BC)(AB)(AC)；A (BC)(AB)(AC).德摩根律：A B A B;A B A B.頻率與概率頻率：在相同的條件下，進行了 n次試驗，在這n次試驗中，事件A發生的次數nA，稱為事件A發生的頻數，比值nA/n稱為事件A發生的頻率，并記成 仁A頻率的基本性質

5、：1.0 三 fn A 三 12. fn S =13. 若Ai, A2,Ak是兩兩互不相容的事件，則fn( A1 A Ak ) = fn ( A1 )+ + fn ( Ak )概率：設E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個實數，記為 P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數P( )滿足下列條件：1. 非負性2. 規范性：對于必然事件S,有P(S)=13. 可列可加性：P(A A2 )=P ( A1) +P(AJ+概率的性質：1. P( )=02. (有限可加性)若A，A，A是兩兩互不相容的事件，則有P ( AA2 An) =P(A)+P(A2)+ +P(An)3. 設A,B

6、是兩個事件，若A B，則有P(B-A)=P(B)-P(A),P(B) P(A)4. 對于任一事件 A, P(A) 0，稱P(B | A)=P(AB)/P(A)為在事件A發生的條件 下事件 B 發生的條件概率 .條件概率P( | A)的性質：1. 非負性:P(B | A) 02. 規范性：對于必然事件S,有P(S | A)=13. 可列可加性：設BB是兩兩互不相容的事件，則有P(UBi I A)P(Bi | A)i1 i1對于任意事件 B,C, 有P(BU C| A)=P(B | A)+P(C | A)-P(BC | A)乘法定理：設 P(A)0，則有 P(AB)=P(B | A)P(A)一般，

7、設AA，,An為n個事件，n2,且P(AA?a代J 0,則有P(A!A2AAn) P(An | 人人2八代 JP(An ! | 人入八代 2)八 P(A? | A)P(A)劃分：設S為試驗E的樣本空間，Bi, B2, A Bn為E的一組事件，若1. BiBj,i j,i, j 1,2,a ,n2. B1 B2 ABn S,則稱Bi, B2,ABn為樣本空間S的一個劃分全概率公式：設試驗 E 的樣本空間為 S， A 為 E 的事件， B1,B2,ABn 為 S 的一個劃分，且P(Bi)0(i1,2,a,n)，貝UP(A) P(AB1)P(B1) P(AB2)P(B2) A P(ABn)P(Bn)

8、貝葉斯公式：設試驗E的樣本空間為S,A為E的事件，Bi,B2Bn為S的一個劃分，且P(A)0 ,P(Bi) 0(i 1,2,n),則nP(Bi | A) P(A | Bi)P(Bi)/P(A | Bj)P(Bj)j i先驗概率：根據以往數據分析得到的概率后驗概率：在得到信息之后再重新加以修正的概率 獨立性: 設A,B是兩事件，如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A,B相互獨立，簡稱 A,B獨立定理一： 設A,B是兩事件，且P(A)0，若A,B相互獨立，則P(B | A)=P(B),反之亦然。 定理二：若事件A與B相互獨立，則下列各對事件也相互獨立：A與B, A與B, A與B設A,B,C是三個事件，如果滿足等式:P(AB) P(A)P(B)P(AC) P(A)P(C)P( BC) P(B)P(C)P(ABC) P(A)P(B)P(C)則稱事件A,B,C相互獨立。一般，設A, A?,，An是n(n 2)個事件，如果對于其中任意2