1、一、序音巖質邊坡穩定性分析方法有許多，但無論是平而滑動的單一楔形斷而滑體、單滑塊和多滑塊分 析法，還是楔體滑動的仿平面分析法、楔體分割法、立體分析法、霍克分析法以及巖土工程勘察規 范（GB50021-94）推薦法等，在計算邊坡穩定性系數時，需要知道滑體控制平面（包括結構面和 坡而、坡頂面）或直線（包括平而的法線的地質產狀，以及平而與平而、直線與直線、直線與平而 間夾角等。其中平面和直線的產狀可以通過現場測雖獲取，除此之外的幾何參數，在沒有發明極射赤 平投影之前，都是用計算法求得，不僅它們的計算公式復雜，而且計算過程繁瑣，也很容易出錯。如 果采用極射赤平投彤求解邊坡穩定性分析所需的幾何參數，那就

2、可以簡化這些幾何參數的計算過程， 而且一般情況卜只需要在現場測雖出各個控制平而的地質產狀即可。二、極射赤平投彩的基木原理（一）投形要素極射赤平投彫（以卜簡稱赤平投影）以圓球作為投影工具，其進行投彤的各個組成部分稱為投 影要索，包括：1. 投影球（也稱投射球）：以任總長為半徑的球。2. 球面：投影球的表面稱為球面。3. 赤平面（也稱赤平投影而：過投形球球心的水平面。4. 大圓：通過球心的平面與球而相交而成的圓，統稱為大圓（如圖一（a）中ASBN、PSFN、NESW）, 所有大圓的直徑相等，且都等丁投球的直徑。當平面直立時，與球而相交成的大圓稱為直立大圓（如 圖一（a）中PSFN）:當平而水平時，

3、與球面相交成的大圓稱為赤平大圓或基圓（如圖一（a）中NESW）； 當平面傾斜時，與球而相交成的大圓稱為傾斜大圓（如圖一（a）中ASBN）。5. 小圓：不過球心的平面與球面相而成的圓，統稱為小圓（如圖一（b）、（C）中AB、CD、FG、 PACB） o當平面直立時，與球而相交成的小圓稱為直立小圓（如圖一（b中DC）；當平而水平時， 與球面相交成的小圓稱為水平小圓（如圖一（b）中AB）；當平面傾斜時，與球面相交成的小圓稱為 傾斜小圓（如圖一（b）中FG或圖一（C）中PACB） 6. 極射點：投影球上兩極的發射點（如圖一），分上極射點（P）和卞極射點（F）。山上極射 點（P）把卜半球的幾何要索投影到

4、赤平而上的投影稱為卜半球投影：Ifl卜極射點（F）把上半球的幾 何要索投影到赤平而上圖一：極射赤平投影要素（a）基圓NESW、傾斜大圓ANBS、上極射點P、下極射點比（b）水平小圓 AB、直立小圓CD、傾斜小圓FG;c）過極射點的傾斜平面小圓FACB的投影稱為上半球設購。一般采用卜半球投影。7. 極點：通過球心的直線與球而的交點稱為極點，一條直線有兩個極點。鉛直線交球面上、F 兩個點（也就是極射點）；水平直線交基圓上兩點：傾斜直線交球而上兩點（如圖五中A、B）。（二）平面的赤平投膨平面與球面相交成大圓或小圓，我們把大圓或小圓上各點和上極射點（P）的連線與赤平面相交 各點連線稱為相應平面的赤平投

5、影。1. 過球心平面的赤平投影隨平而的傾斜而變化：傾斜平面的赤平投為大圓弧（如圖二中的 NB，S）：直立平面的赤平投彤是基圓的一條直徑（如圖一 （a）中的NS）：水平而的赤平投彤就是基 圓（如圖一中的NESW）。2. 不過球心平而的赤平投影也隨平面傾斜而變化：直立平而的赤平投影是基圓內的一條圓弧（如 圖三KDZH）:傾斜平而的赤平投影有以F三種情況：當傾斜小圓在赤平而以卜時，投影是一個圓， 且全部在基圓之內（如圖三FG） ： （2）當傾斜小圓全部位于上半球時，投彤也是一個圓，但全部在基 圓之外：當傾斜小圓一部分在上半球，另一部分在卜半球時，赤平面以卜部分的投影任基圓之內， 以上部分的投影在基圓

6、之外。當球面小圓通過上極射點時，其赤平投影為一條直線（如圖一（C）中 PACB的投影為AB）：水平小圓的赤平投影在基圓內（如圖四中AZB9 , 是一個與基圓同心的圓。（三）直線的赤平投膨直線AB的投彤點就是其極點A、B和極射點P的連線與赤平而的交點A* B鉛直線的投彤點 位丁基圓中心：過球心的水平直線的投影點就是基圓上兩個極點，兩點間距離等于基圓直徑：傾斜直 線的投影點有兩個，一點在基圓內，另一個在基圓外，兩點呈對蹊點，在赤平投影圖上兩點的角距相 差180 （如圖五）。（四）吳氏網及其CAD制作口前廣泛使用的極射赤平投影有等角距投影網和等面積投形網。等角距投網是111吳爾福發明 的，簡稱吳氏網

7、：等面積投彤網是由施密特發明的，簡稱施氏網。兩者的上耍區別在于：球而上大小 相等的小圓在吳氏網上的投影仍然是圓，投影圓的直徑角距相等，但由丁在赤平面上所處位且不同， 投影圓的大小不等，其直徑隨著投形圓圓心與基圓圓心的距離增大而增大。而在施氏網上的投購則呈 四級曲線，不成圓，但四級曲線所構成的圖形而枳是相等的，且等T球面小圓面枳的一半。使用吳氏 網求解面、線間的角距關系時，旋轉操作顯示其優越性，不僅作圖方便，而且較為精確。而使用施氏 網時，可以作出而、線的極點圖或等密度圖，能夠真實反映球面上極點分布的疏密，有助丁對而、線 群進行統計分析，但其存在作圖麻煩等缺點。1. 吳氏網的結構及成圖原理吳氏網

8、(圖六)由基圓、南北經向大圓弧(NGS、東西緯向小圓弧(ACB)等經緯線組成。標 準吳氏網的基圓3E圖二：傾斜平面的極射赤平投影(a)透視圖；(b)赤面投影圖圖三：傾斜和直立球面小圓的極射赤平投影(a)透視圖；(b)赤面投影圖圖四：水平球面小圓的赤平投影圖五：過球心的傾斜直線的赤平投影直徑為20cm.經、緯線間的角距為2。基圓，由指北方向（N）為0。,順時針方向刻出360。，這些刻度起著雖度方位角的作用：（2）經向大圓弧是山一系列通過球心，走向南北，分別向西和向東傾斜，傾角由0。到90 （角距 間隔為2。的許多赤平投影大圓弧所組成。這些大圓弧與東西直徑線EW的交點到端點（E點和W 點）的距離分

9、別代表各平面的傾角。如圖六中GW表示的大圓弧NGS所代表的平而向西傾斜，傾角 為30J（3）緯向線是ih系列走向東西的直立平面的赤平投彤小圓弧所組成。這些小圓弧離基圓的圓心 o愈遠，其所代表的球面小圓的半徑角距就愈小，反之離圖心o愈近，則半徑角距就愈大。相鄰緯向 小圓弧間的角距也是2。，它分割南北直徑線的距離，與經向大圓弧分割東西徑線的距離是相等的。 如圖六所示，ED = SH=WG = NF,角距都為30。2. 吳氏網的CAD圖解繪制吳氏網，其實質就是在赤平大圓上畫出經向大圓弧和緯向小圓弧=那么這些大圓弧和小圓 弧都是怎樣是繪制出來的呢？在沒有CAD制圖系統軟件以前，人們通過平面幾何關系利用

10、圓規、直 尺等原始工具繪制，其繪制過程很復雜。而在CAD制圖系統軟件卜，繪制大圓弧和小圓弧是非常簡 的，下面就介紹它們的原理和繪制過程。（1）繪制大圓弧的原理與步驟要繪制大圓弧，應至少知道大圓弧上的三個點N、S、B，（如圖二所示），其中N、S點是每條 大圓弧都必須經過的，是己知點。現在只要能確定經向大圓弧與東西徑線EW的交點BX問題就迎刃 而解。 計算OB，長度根據傾斜平而的傾角、基圓的直徑，可按卜式計算點O與點B，之間的距離OBr = R45-a）2 （公式一）式中r基圓的半徑；a大圓弧所代表平面的傾角（）- 以基圓的圓心為圓心，OB，長為半徑畫一個圓，該圓與基圓的東西徑向線EW交丁點。 過

11、N、S、B，三個點畫一個圓，并剪掉基圓外部分，大圓弧也就繪制完成。（2）繪制小圓弧的原理與步驟要繪制半徑角距為的小圓弧，同樣也應至少知逍小圓弧上的三個點（如圖六所示的A、C、B 三個點）。根搖吳氏網的結構與原理，町以通過CAD制圖確定A、C、B三個點的位亙. 確定點C,首先用公式一計算點0與點C間距離，但其中為小圓弧的半徑角距：然后以基圓 的圓心為圓心，OC長為半徑畫圓，該圓與基圓的南北徑向線NS交丁C點。 以基圓的圓心為基點，將南北徑線ON分別逆時針和順時針旋轉角度，得兩條直線，分別與 基圓交于A、B點。 過A、C、B三個點畫一個圓，并剪掉基圓外部分，小圓弧也就繪制完成。三、赤平投購網CAD

12、圖解的應用利用傳統標準吳氏網對平面、直線進行投影時，一般步驟是：把透明紙(或透明膠片等)蒙在 吳氏網上，畫基圓及十字網心，并用針固定丁網心上，使透明紙能夠繞網心旋轉。然后在透明紙上 標出E、S、W、N.以正北(N)為0。，順時針數到360。東西直徑EW確定傾角，一般是圓周為0。, 至圓心為90。.這樣做具有以卜缺點：一是較麻煩，二是當旋轉透明紙時，容易從針孔處發生破裂而 移位：三就是準確性不高；四是效率低。如果用CAD制圖，則可避免上述不足，且使作圖更簡化， 用不著吳氏網中的那么多的經、緯線，只需要畫出基圓及其南北徑線和東西徑線。1. 平面赤平投影的CAD圖解(如圖七)例1： 一平而產狀126

13、Z30.繪制其赤平投影圖。(1) 繪制一直徑為20cm的基圓，同時畫出鉛直和水平兩條直徑，并標出E、S、W、No后面的 例子均需耍這一步，畫法與之相同，所以不再重復。(2) 平而的傾向是126。則其走向為36。將南北徑線繞基圓的圓心O順時針旋轉36。到達AB 位迓，與基圓交丁 A、B兩點,則AB就是平而的走向線。(3)在事先畫好的赤平大圓上畫出平面的走向線鉅和傾斜線；(“也赤平大圓的圓心0為圓心，以R為半徑畫圓，該圓交(D于點C； (c)畫過人B. C三點的大圓弧(3) 以基圓的圓心O為基點，將射線ON順時針旋轉126。到達OD位邏，與基圓相交丁點D, 則OD即為該平而的傾向線。(4) 用公式

14、一計算線段OC長度。以基圓的圓心O為圓心，OC為半徑畫圓，交OD T C點。(5) 采用三點法，即過A、C、B三點畫圓，并切掉基圓外部分，所得大圓弧ACB即為該平面的 赤平投形。2. 直線赤平投影的CAD圖解(如圖八)例2： 直線產狀330Z40,繪制其赤平投影圖=將ON繞圓心0順時針旋轉330。后到達OA位亂 與基圓交丁點A,則OA即為該直線的 傾伏向。(2)用公式一計算O值。以基圓的圓心0為圓心，0A，為半徑畫圓，交OA T Az點，則點 即為該直線的赤平投彤。圖八：直線的赤平投影CAD圖解步驟炳在事先LSJ好的赤平大圓上回出直線OA； (bJ以赤平大圓的圓心0為圓心，以R為半徑畫圓，該圓

15、交泌于點圖九：平面法線的赤平投影C如圖解(Q透視圖；(b)赤平圖3. 平而法線赤平投彤的CAD圖解(如圖九例3： 平面產狀為105Z40.繪制其法線的赤平投影。(1) 按例1所述方法，繪制產狀為105Z40平而的赤平投影大圓弧NB，S(2) 平而法線的傾角與平而的傾角之和等T- 90,因此平面法線的傾角為50=用公式一計算 OA，。以基圓的圓心0為圓心，OA，為半徑畫圓，交B9的延長線丁 A，點，則A，點為該平而法線的赤 而投形，也稱其為平而的極點。111 丁平面法線傾向與平面傾向相反，相差180,平面法線的傾角與平面的傾角之和等丁 90。， 因此也町根據平面法線產狀與平面產狀間的這種關系，首

16、先計算法線的產狀為285Z50.然后再按 例2方法繪制法線的赤平投影。4 相交兩條直線所構成平面的產狀例4：己知兩直線180。/20。和90。/323。相交，用赤平投彤法求解這兩條直線所構成平而的產狀（如圖十（a） . （b） ） o透視圖；兩相交直線確定平面的赤平圖;（c）兩相交直線夾角平分線的赤平圖為很好地利用CAD制圖解決這個問題，引入兩條直線傾角與平而傾角間的關系式： tan2Psin2y=tan2a 1+tana2-2tana ltana2cosy 公式二） 式中B兩條相交直線所構成平而的傾角（）:al、a2分別為兩條直線的傾伏角（。）：Y兩條直線傾向夾角（）o用公式二計算兩條直線所

17、構成平面的傾角為3=36.13%（2）確定投影大圓弧的圓心0，,點0,應在線段UF的垂直平分線上。要確定點0,的位邏，需要 用卜列公式計算平而的赤平投購大圓弧的半徑。計算出赤平投彤大圓弧的半徑后,再以點C，或者點1+伽（4亍“）R =2 R2Lan（45-Z?）F為圓心畫圓.與二.UF的匝譏平分線相交丁點0S21 （公式：）式中R赤平投影大圓弧的半徑；R基圓的半徑。（3）確定平面的走向AB：以0,為圓心，以為半徑畫圓，與基圓相交丁兩點A、B,則AB即為 所求平面的走向，為30。曲此算出該平面的傾向為120%因此所求平而產狀為120Z36c此外，兩條直線所構所平面的傾向，也可由卜式計算確定：呼

18、=i_2（嗨伽巧+（鳴ycos 4tanqtan a.111（公式四）式中平面傾向與直線1傾向之差：其余符號意義同公式二。5. 相交兩條直線的夾角及其角平分線例5：用赤平投影法求解例4兩條直線的夾角及其角平分線（圖十（C） ） o（1）按例4作法，確定兩條直線所構成平面的赤平投彤，即大圓弧AFUB.其產狀約為120。/ 36 o（2）雖取大圓弧上C，與F，間的角距為54。，即相交兩條直線的夾角為54。該圓弧UF，段的角 距平分點&（27）就是相交兩條直線夾角平分線的赤平投彤，由此可以確定兩條相交直線夾角平分 線的產狀為139.67。上34.51。除上述作圖法外，還可用卜式計算兩條相交直線的夾角

19、：cos人cos/1= 1sin 7, sin 徨tang tan冬（公式五）式中一兩條相交直線的夾角（。：其余符號的意義同前。6. 平面上一直線的傾伏和側伏（如圖十一）例6：己知平而產狀180Za （ a = 36），平面上一條直線AC的側伏向巳側伏角B（ P=44, 是指該平而走向線與該直線所夾的銳角），用赤平投形法求解該直線的傾伏向和傾伏角。（1）按例1做法，繪制平而的赤平投影大圓弧ED0V。（2）以EW為南北向徑線（假定），作半徑角距等丁 0 （ B=44。）的緯向小圓弧GDK （應為 兩條，另一條未畫出），與平而的赤平投影大圓弧EDW相交丁C點。連接點O與點C,并延長， 與基圓相交T

20、U點。3）點C即所求直線的赤平投形。圖上雖得線段OC的長度，然后用公式一求得直線的傾伏 角 24.713（4）點U對應的角度為127.64。，即為所求直線的傾伏向。因此該直線的產狀為127.64。/24.713平面上一條直線的傾伏或側伏，可以相互換算.除采用上而的CAD制圖十一：平面上一直線的赤平投影CAD圖解（小立體圖；（b）透視圏；（J赤平圖圖方法外，也可用卜列公式計算：= sin./?sina （公式六） tan刃=cos5tana（公式式中一平面傾角（）:平而上直線的側伏角（。）：直線的傾伏角（。）：平面傾向與直線傾向之差（） O7. 兩個平面交線的產狀（如圖十二（a）例7：已知兩個平

21、而70Z40和290。/30。.用赤平投形法求解這兩個平面交線產狀。（1）按例1做法，分別繪制出兩個平面的赤而投影大圓弧APB和CPD,兩條大圓弧相交丁P 點，該點即為兩個平而交線的赤平投影。（2）連結0P,并雖得0P的長度。然后用公式一求得交線的傾伏角為P=13.14O： 0P所在徑 線方向即為交線的傾伏向，雖得交線的傾伏向為365.15%即兩個平面交線產狀為365.15OZ13.14。,8. 兩個平面的夾角及其夾角的等分面（如圖十二（b）例8：己知條件同例7,用赤平投影法求解兩個平面的夾角及其夾角的等分面。（1）繪制兩個平面的公垂面，由丁以點P為投影的直線就是公垂而的法線，因此公垂而的產狀

22、 為176.15Z76.86,按例1做法繪制公垂面的赤平投影大圓弧FIHG,與兩個已知平而的赤平投影 大圓弧分別相交于點H、點1這兩點所代表的直線產狀分為：直線 H 為 96.27OZ36.96；直線 I 為 259.48Z26.44。圖十二：相交平面的赤平投影C如圖解步驟平面交線產狀求解赤平圖；（b）兩平面夾角及其等分面求解赤平圖（2）點H、點I所代表的兩條直線的夾角就是兩個平而的夾角，可根據兩條直線的產狀，山公 式五計算求得，結果為114.66%也可先用公式六分別求出兩條直線在公垂面上的側伏角，分別為： 直線H的側伏角為38.128；直線I的側伏角為27.209o則兩條直線的夾角為 180

23、- （3& 128+27.209） =114.66。（3）公垂面的投影大圓弧上點H、點I間弧段的中點K在兩個平而的等分而的投影大圓弧上， 投影點K的直線產狀204.74。乂75.11。點P也在等分面的投彤大圓弧上，其產狀也己求得（例7）。 己知投影大圓弧上的兩個點，就町按例4做法計算出等分平而的傾角和其赤平投購大圓弧的半徑，并 繪制出經過這兩點的大圓弧QKM。該大圓弧對應的平而即為已知兩個平而夾角的等分而，其產狀為 267.76Z83.12=9. 一條直線與一個平而的夾角（如圖十三）圖十三；直線與平面夾角的赤平投影CAD圖解步驟例9： 一平面產狀120Z50, 一直線產狀320Z20,用赤平投

24、影法求解直線與平而的夾角。（1）按例1做法繪制已知平而的赤平投影大圓弧ADB。2）按例2做法繪制已知直線的赤平投影，即投形點C。（3）按例3做法繪制已知平面法線的投影極點P。（4）按例4做法繪制經過點C、P的大圓弧CPD.其所代表的平而與已知平面垂直，其產狀為 244.06Z56.28o用公式六分別求出直線C和克線P在平面CPD上的側伏角，直線C的側伏角為24.280.直線 P的側伏角為50.606。，也就是平而法線與已知直線的夾角為50.606。一24.280。= 26.33。，因此已知 直線與平而的夾角為90.00。一26.33。= 63.67。四、用赤平投影求解邊坡穩定問題在巖質邊坡穩定

25、性分析與計算中，赤平投購町用來初步判定邊坡穩定性，求解邊坡穩定性系數 計算所需的幾何參數。（一）邊坡穩定性初步判別圖十四所示的邊坡楔體，假定只有摩擦力抵抗滑動，且兩個結構而的摩擦角相同，且都等于， 則楔體町能滑動的條件是兩個結構面交線的赤平投影，即它的投點應落在坡面大圓呱與摩擦圓所甬 成的范圍內（圖十四（b）中陰形部分），即（其中為在正交交線視圖上的坡面傾角：為結構面交線 傾角：為結構面內摩擦角。據此可以迅速判別楔體是否會產生滑動。圖十四：不考慮粘聚力的邊坡穩定性分析的赤平投影CAD圖解 （韻楔體立體圖；（b）赤平圖；（c）沿滑動方向的剖面圖（二）求解邊坡穩定性系數計算所需的幾何參數邊坡穩定性

26、系數計算所需的幾何參數包括平面和直線的產狀，以及平面與平而、直線與直線、 直線與平而夾角等。除平面和直線的產狀可現場雖測外（平而和平面交線、平而法線也可用赤平投影 法求解），其余幾何參數都可用赤平投形法求解。前而已經介紹過這些幾何參數的赤平投影求解方法， 卜面舉例說明赤平投彤在邊坡穩定性系數計算中的具體應用。如圖十五所示的邊坡楔體，坡面、坡頂 而、結構而A和B等產狀及其它技術參數如表1。圖十五：考慮粘橐力和水壓影響的邊坡穩定性分析的赤睪投影CAD圖解（R楔體立體圖；（b）沿滑動方向的剖面圖表1邊坡楔體穩定性計算己知參數平面名稱平面嚴狀其它己知參數傾角（ ）傾向 ）A45105他=30，c” =

27、25kPaB70235陶二20 ,J=50kPa坡面65185勸坡巖石重度/=25kN/m3.水的重度 nr =10kN/m3；楔體總高度刃=45坡頂面12195注：楔體穩定性分析時，應將傾角較緩的平面做為A平血。圖十六:楔體穩定分析所需參數的赤平投影CAD圖解計算楔體穩定系數之前，首先應繪制四個平面的赤平投彤大圓弧以及兩個結構面的法線投影極 點（如圖十六），并求得各交線及法線的產狀如2法線 PA： 285Z45：法線 PB： 55Z20：交線 121.55Z43.79：交線 2： 195.19Z64.65：交線 3： 183.00Z11.75：交線 4： 148.03Z&25。；交線 5： 157.73Z31.20o然后，再用公式五計算楔體穩定分析所需的備角度參數值，計算結果如卜：兩個結構面交線的傾角：31.20。