1、15 .兩條直線的交點張文濤學習目標1.能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標.2 能通過解方程組判斷兩條直線的位置關系.3 .了解過定點直線系的方程.一、夯實基礎基礎梳理1 .對于直線 li : Ax By Ci 0, I2 : Ax B2y C2 0,借助斜率的關系可以推導出：（1） li與I2平行或重合 .由（1）知（2）I1與I2相交 2 .兩條直線的交點兩條直線 l1:AxB1yC10 ,l2 :A,xB2yC10 ,如果兩直線相交，則交點的坐標一定是這兩個方程組成的方程組的 ;反之，如果這個方程組只有一個公共解，那么以這個解為坐標的點必是 l1和l2的,因此，h、I2是否有交點，就看

2、l1、I2構成的方程組是否有 3 .兩條直線的位置關系 我們可以通過求方程組的解來判斷兩條直線的位置關系Ax B1y C10方程組丨1 : 3x4y 20I2:2x y20 I1 : 3xy40I2:6x 2y102 .已知兩直線 I1 : m 1 x 3y m , J ： 3x m 1 y 2 3，則 當m時，兩直線相交； 當m時，兩直線平行； 當m時，兩直線重合.的解A2x 珥 C20一組無數組無解直線I1 , I2的公共點個數一個無數個0個直線I1 , I2的位置關系相交重合平行基礎達標1.判斷下類各對直線的位置關系.如果相交，求出交點的坐標.3.過點 2, 1作與直線3x 2y 5 0

3、垂直的直線，則垂足坐標為 A.1,1B.1,1C.1,1D.1,14 不論m取什么值，直線mx 3y 70與5x 2y 10都不能（）.A.平行B.相交C.垂直D.重合5 .直線l : y mx . 3與直線2x 3y 6 0的交點位于第一象限，求 m的值.二、學習指引自主探究1.探宄過兩直線交點的直線給出方程3x4y22xy 20 （為常數）.問題1：表示什么圖形？（直線，圓，還是？）問題2:當取何值時，表示直線 3x 4y20 ?能表示直線2x y 20嗎？問題3:可求得兩直線3x4y 20 , 2x y，20的交點是M2 , 2，點M滿足方程嗎？結論:表示過l1 :3x 4y 20 與

4、l2 : 2x4y20交點即定點M 2 , 2的直線可設為3x4y22xy 20 ,不含直線2xy2 0 .總結提高:若l1 :AxB1 yC10、 I2 :AxB2yC20 相交于 M x0 ,y，則方程表示過11與丨2交點的直線（不含直線 J ）.2 .點關于直線的對稱問題（1 ）點P a, b關于x軸的對稱點的坐標為 ;關于y軸的對稱點的坐標為;關于 y x的對稱點的坐標為 ;關于 y x的對稱點的坐標為思考：如何證明兩個已知點關于某直線對稱？（2）點P a, b關于直線Ax By C 0的對稱點的坐標的求法:設所求Px0,y0，則PP的中點甘，寧一定在直線Ax By C 0 上.1 .

5、（注意到分母不能為 0）直線PP與Ax By C 0垂直，即-x0 a B(3) 直線 Ax By C0關于直線ax by c0的對稱直線方程的求法:在已知直線上找兩點（若相交則其中一點可以是交點） 求這兩點關于對稱軸的對稱點， 再 求過這兩點的直線方程；軌跡法：在所求直線上任取一點A x, y，找到A關于對稱軸的對稱點并代入已知直線.思考：如何求兩條兩直線的對稱軸？3 直線關于點(或直線)的對稱問題 用軌跡的觀點求直線方程：(1)求直線I : Ax By C 0關于點a, b對稱的直線l的方程.設x, y為I上任意一點，則將該點關于a , b的對稱點為 ，這個點一定在直線I上，代入得 ，即為

6、I的方程，I與I的關系是 .(2)求直線I : Ax By C 0關于x軸對稱的直線I的方程.設x, y為I上任意一占為，則將該點關于x軸的對稱點為 ,這個點一定在直線I上，代入，即為I的方程.x對稱的直線I的方程.(3) 求直線Ax By C 0關于直線y設x, y為I上任意一點，則將該點關于y x的對稱點為,這個點一定在直線I上，代入案例分析，即為I的方程.1 .已知直線 I : a 2 y 3a 1 x 1 ,(1) 求證：無論a為何值時直線總經過第一象限;(2) 為使這直線不過第二象限，求a的范圍.【解析】(1)方程可化為a 3xx 2y 10,令 3x y 0, x 2y 10 可得

7、直線總經過第一象限內的定點135，y 5，35 (2)方法一：a 2時直線x1丄不過第二象限.52時直線方程化為：y3a 11xa 2 a 2，不過第二象限3a 10a 2 2時，直線不過第二象限.13方法二：由于直線過定點 P -,-，得kOP55旋轉直線可知，當a 2時，I丄x軸時且過點3a 15P，符合題意.當 a 2 時，k1 koP，即 3 0 a 2 .a 2a 2綜上所述，a 2時，直線不過第二象限.2 .直線I與直線x 3y 100, 2x y 8 0分別交于點M ,N，若MN的中點是0,1,求直線I的方程.【解析】設過 0,1的直線I的方程為y 1 kx或x 0 ,y kx

8、i7y kx i7xxx 3y i0 03k i2x y 80k 2由770，得ki.此時所求直線為x 4y 403k i k 24對于直線x 0,它和兩已知直線的交點分別是0, 和0,8，顯然不滿足中點是點30, 1的條件.綜上可知，所求直線方程為x 4y 4 0 .說明：本題只求了 M、N點的橫坐標，利用xM xN 0，如果是將M、N點的坐標都求出 來，則計算量太大本題還可以這樣做，設所截得的線段為AB , A的坐標為 xi , yi ,由中點公式得B xi , 2 yi ,將A、B的坐標分別代入直線方程可解得捲,yi，于是得直線AB .3 .三條直線4x y 4 , mx y 0 , 2

9、x 3my 4不能圍成三角形.【解析】三條直線不能圍成三角形其中兩條直線平行或重合，或三條直線交于同一點.若4x y4與mxy0平行,則m4 ；若4x y4與2x3my 4平行，貝Uim-;0與2xy 4平彳亍，則6右mx y3mm值不存在；若4x y4與mxy0及2x3my4共點，貝U mi或2 m.3綜上可知，m值為4,ii, 2634 .當直線y kx與曲線y xx 2有3個公共點時，實數k的取值范圍是（)A.0, iB.0, iC.i,D.i,2,x 0【解析】由y xx2得y2x2 , 0 w x w 22 , x 2畫出函數的圖象， 并將 x 軸繞著原點沿逆時針方向旋轉， 當旋轉到

10、直線恰好經過點 2, 2 的過程中， 相應的直線 (不包括過點 2, 2 的直線) 與該函數的圖象都有三個不同的交點， 再 進一步旋轉就沒有三個交點了，因此選A三、能力提升能力闖關1.直線I經過兩直線7x 5y 24 0和x y 0的交點，且過點5,1 .則I的方程是().A. 3x yD. x40B. 3x y 40C. x 3y 8 03y 402 .若直線I1 : ykx4與直線12關于點2, 1對稱，則直線 I2 恒過定點()A.0 , 4B.0,2C.2, 4D.4 ,23( 1)已知直線 l ： 3x y 3 0，求點 P 4, 5 關于 l 的對稱點(2)求直線li : y 2x

11、 3關于直線I : y x 1對稱的直線I2的方程.拓展遷移4入射光線在直線li : 2x y 30上，經過x軸反射到直線I2上，再經過y軸反射到直線I 3 上，則直線 I3 的方程為().A. x 2 y 3 0B. 2x y 3 0C. 2x y 3 0D. 2x y 6 05. (1)一條光線經過點 P 2, 3 ，射在直線 x y 1 0上，反射后，經過點 A 1, 1 ，求光 線的入射線和反射線所在的直線方程.(2)光線沿直線 I1： x 2y 50射入，遇直線 I ：3x 2y 70后反射，求反射光線所在的直線方程.挑戰極限6. 已知 ABC的兩條高線的在直線的方程為 2x 3y

12、10和x y 0 ,頂點A 1, 2，求:(1) BC邊所在直線的方程；(2) ABC的面積.課程小結 理解通過方程組的解研究兩條直線的公共點的思想.要會求點關于直線的對稱點的方法. 直線關于直線對稱可利用點關于直線對稱為解決， 直線 關于點對稱可利用中點公式解決.理解軌跡法求直線方程的思想.15 .兩條直線的交點一、夯實基礎基礎梳理1 .(】)A|B2 A2B1 .(2) AB2 A2Bi .2 解，交點，唯一解.基礎達標” r 3x 4y 20 /口 x 21. (1)解萬程組，得 li與12相交，交點是 M 2 , 22x y 20y 23x y 4 0.(2) 解方程組，得方程組無解，

13、所以兩直線無公共點，11 /126x 2y 10說明：本題考查學生是否會用解方程組的方法來解決兩直線位置關系問題.2 . (1)2; (2)=2,(3)=-2 .(3) (1 , 1)4 . D.5 .方法一：聯立方程求得交點x0 , y0，由xd 0 , y0 0可得m3 .3方法二：畫出直線2x 3y 60和直線1: y mx J3，由于I過定點0 , J3 ,旋轉直線l ,并觀察.二、學習指引1 問題1:表示直線.問題2:0 :不能表示直線 2x y 2 0 .問題3:點M滿足方程.總結提高：a , b , a , b ; b , a ; b , a .思考：如何證明兩個已知點關于某直線

14、對稱？答：從兩個方面：(1)證明兩個點的中點在直線上；(2)證明這兩點所確定的直線與對稱軸垂直.思考：如何求兩條直線的對稱軸？答：從兩個方面：(1)證明兩個點的中點在直線上；(2)證明這兩點所確定的直線與對稱軸垂直.思考：如何求兩條兩直線的對稱軸？答：可以用軌跡法，設對稱軸上任意一點P x , y，根據P到兩直線的距離相等得到方程.3 . (1) 2a x , 2b-y , A 2a x B 2b y C 0 ,平行且到 a , b 的距離相等.(2) x , y , Ax B y CO 即 Ax By C 0 .(3) y , x , Ay Bx C 0 即 Bx Ay C 0.三、能力提升

15、y 240，則1 . C .設I的方程為7x 5y 24 x y 0，即 72 . E.由于直線h ： y k x75 5240 .解得 4 . I的方程為x 3y 80 .4與直線l2關于點2 , 1對稱，故直線J恒過定點3 . (1)設P x , y關于直線I :3x y 3 0的對稱點為P x , y kpp k|1,即 1_5 31 y 4又PP的中點在直線3x y 3 0上， 3 -一41一53 0 .2 2由解得x 2, y 7, P 4 , 5關于直線|的對稱點P的坐標為2 , 7 .y 2 x 3（2）方法一：由y知直線ii與|的交點坐標為2 , i ,y x 1設直線I2的方

16、程為y1 k x 2，即kx y 2k 10 .在直線I上任取一點1 , 2，由題設知點1 , 2到直線|1、|2的距離相等.由點到直線的距離公式得k122 2k 1，解得221 2(k2舍去），直線I2的方程為x 2y方法二：設所求直線上一點y ,則在直線h上必存在一點x0 ,y與點P關于直線I對稱.由題設：直線PP1到直線I垂直，且線段PP1的中點PxXo2yo2在直線I上.y。y 1xX。X0y y。2x Xo2，變形得1 y0代入直線|1 : y 2x3，得 x 12整理得x2y 0 .所以所求直線方程為x 2y 0 .4 . B.5.(1)入射線所在的直線和反射線所在的直線關于直線1

17、0對稱.設P點關于直y 10上，且PQ所線x y 1 0對稱點的坐標為 Q xo , y，因此PQ的中點在直線x在直線與直線x y 10垂直.3yo 3所以xo 2xo 22反射光線經過1，解得Q 4,3 .1 0yo2A、Q兩點，反射線所在直線的方程為4x5y 10 由x y 14x 5y 10 ,0 2 1得反射點R 3，3入射光線經過P、R兩點兩點，.入射線所在直線的方程為 點評：（1）入射光線和反射光線所在直線關于直線x y線I的對稱點Q，通常都是根據直線 PQ垂直于直線I，以及線段PQ的中點在直線I上這兩 個關系式列出方程組，然后解方程組得對稱點Q的坐標.（2）方法x 2y 50 ,3x 2y 70 ,又取直線x2y0上一點可知，kppyox。PP得中點yo由xo 532 xo2迥2253X。yoy。根據直線的兩點式方程可得方法二：設直線x 2yyy2x0x3又pp的中點xxo25x 4y 20 .10對稱，（2）求點P關于直1反射點M的坐標為 1 , 2 .2 .，設P關于直線I的對稱點P x。, y0，由PP lQ的坐標為1713，32 石.I的方程為29x 2y0上任意一點P xd33,yoxo 5yo-2,