1、橢圓和雙曲線綜合練習卷 1.設橢圓 x2 m2 ，雙曲線 x2 m2 = 1,（其中mn0 ）的離心率分別為e ，則（） A. e,e2 B.,e2 1 C. ,e? = 1 D. e,e2與1大小不確定 【答案】 2 2 Vm n e1 m #m2 + n2 e?= 所以 62 2.已知雙曲線 2 x 2 a 、m4 - n4 :1 ,故選 B. 2 y2 -1（a0,b 0）的左焦點為F，過點F作雙曲線 b C的一條漸近線的垂 線，垂足為 ，點p在雙曲線上，且FP =3詁，則雙曲線的離心率為（ A. 1時，圓 a y2二b2與雙曲線 2 2 x _y 2 .2 a b ,故選A. =1有公

2、共點，則離心率 e = E = J1+(b) 3 , 則點P到其右焦點的距離為（） z J2 a V a 2 4. P為雙曲線X2- -1的漸近線位于第一象限上的一點，若點P到該雙曲線左焦點的距離為 3 【答案】A 由題意，知a =1 , b = .3 ,c = 2，漸近線方程為 y =；3x，所以不妨令 2 P(a, , 3a)(a . 0)，則有(a 2)2( 3a)2 =(2 ；3)2 ，解得a=1，所以P(1, 3)，所以點P到其 右焦點的距離為 .(1 -2)2 (、.3)2 =2，故選 A . 2 2 5.設FF2分別為橢圓G :訂+右 2 2 = 1(a b 0)與雙曲線 C2：

3、x2y2 =1(a1 . 0,b1 . 0)的公共焦 a d 點，它們在第一象限內交于點 ，/F1MF90，若橢圓的離心率e= 3，則雙曲線C2的離心率 4 e1的取值為() A.9 2 B. C.3 2 D.5 4 【答案】 由橢圓與雙曲線的定理，可知|MF|MF2ajMF|MF2a1，所以 即(-)2 (一)2 e MF? 12 =a，因為匕F1MF90J，所以 MFi| +|MF =2，因為a=4，所以 3,2 才2 ，故選B. =4c2，即 a2 a2 二 2c2 , 6.若圓(x】3)2 2 2 (y1)2=3與雙曲線 冷7=1(a 0,b0)的一條漸近線相切，則此雙曲線 a b 的

4、離心率為( 2、3 A. 3 7 B. 2 【答案】A 由題意得 |b 3 嘰亠 ar3b=o2b=”C/ 3 a 3 ，選 A. 7.已知雙曲線 2 2 務-%=1(a A0,bA0 )的兩頂點為 A,A2，虛軸兩端點為B1,B2，兩焦點為F1,F2 , a b 若以A, A為直徑的圓內切于菱形 f1b1f2b2，則雙曲線的離心率為() A. 3 .5 5 -1 2 75+1 C. 2 3+ 5 D . 2 x y 【答案】C 直線B,F2方程為1，即bx cy -be =0 , c b 由題意.bC a ，變形為 e4 _3e2 +1=0 , e 1，二 e2 = 3 十亦 2 .故選 C

5、. X22 8. 已知雙曲線C:y -1的左，右焦點分別為Fi,F2，過點F2的直線與雙曲線 C的右支相交于 3 P,Q兩點，且點P的橫坐標為2,則 PFQ的周長為（） B. 14 3 3 C. 5,3 16 3 3 ，所以 【答案】D易知F2（2,0），所以PQ _ x軸, PF2 - QF2 2e -a = 2 2 3 一 . 3 J 3 33 W 22丟 a - 3, e = 433 ，又 pf|pF2 33 APFQ 周長為 2（7 3 工3）=16 3 . 333 r J 9. 若點F1、F2分別為橢圓C： + 二的左、右焦點.點P為橢圓C上的動點 則厶PF1F2的重心G B .+

6、V - If F工0丿 9 【答案】C 2 10. 過雙曲線X2 -y =1的右焦點作直線I交雙曲線于A、B兩點，若|AB|= 4，則滿足條件的直線I 2 有（ ） A . 4條B . 3條C . 2條D .無數條 【答案】B雙曲線的兩個頂點之間的距離是2，小于4, 過拋物線的焦點一定有兩條直線使得交點之間的距離等于4, 2 當直線與實軸垂直時，有3-y =1, y = 2，直線AB的長度是4, 2 綜上可知有三條直線滿足|AB|=4，故選B . 2 2 11. 在區間1,5】和12,6】內分別取一個數，記為a和b，則方程 冷-爲=1心匕）表示離心率小于 a b 5 的雙曲線的概率為（） 1

7、15 17 31 A. B. 一 C . D . 一 2 32 32 32 2 2 【答案】B 因為方程X2 _ y2 =1(a : b)表示離心率小于.5的雙曲線, a b 也 初 v J5,，” 2a b,”； b a 0,2a b .它對應的平面區域如圖中陰影部分所示，則方程 a 2 2 與=1(a vb)表示離心率小于 J5的雙曲線的概率為: p嚴影 S距形 3刊的左、右焦點分別為 12.已知雙曲線 F1 , F2 ,雙曲線的離心率為e,若雙曲線上一點P 使 sin PF2F1 si n PF1F2 則f2p f2f1的值為( D.-2 【答案】B 由雙曲線方程 =1得a=1,c =

8、2，由雙曲線定義得 PF2 - PR =2，因為 sin PF F 2口二e，所以由正弦定理得 sin PF1F2 1 據余弦定理可知cos-PFqR :- 4 ,可解得 ，F2P F2F1 二 尼| = 4左|=2，由知|*| = 4，根 PF；PF2_cos PF2F4 2 ； = 2，故選 B. a b 13.已知點M(1,0)，A,B是橢圓 x22 一 ;y =1上的動點，且MA*MB=0，則MA BA的取值范圍 4 是( ) 2 2 A. ,1 B. 1,9 C. ,9 3 3 【答案】C D - 3,3 設 A(Xi,yJ, B(X2, y2)，則 MA 二(=區-1,y2),BA

9、 =(為 - x?, % - y?) MA(xi -1)(X2 -1) y2 =0，所以 由題意有 MA * BA = (x-i 2 -l)(xi- X2)yi(yi-y2)=(Xi- 1)x1- (xi- 1)x2yiyiy2 =Xi - Xi yi- ( X|_ 1)(X2_ 1) 1Vi V2 11(Xi-1) = Xi- X|“ 1 .Xi-Xi 1 4 = 3xj 2xi +2=3(xi 上)= (|POi|+|PO2lx|POi|-IPO2I)-3 = 2(|POi|+|PO2)-3 , IPO1I+IPO2I H|0Q +?,XiW2, 2 MA BA BA有最大值9，當x =；

10、時, 訊BA有最小值2，故選C. 2 X V 14.橢圓 C : 一 4 2 1的左、右頂點分別為 3 A, A,點p在c上且直線PA2的斜率的取值范圍是 I -2, -1 1,那么直線 PA斜率的取值范圍是 A.1 ,3 B. IL24 3 3 _8，4C. 4433 【答案】B 15.已知分別是雙曲線的左、右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于 A. 兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ C. 答案：C 2 2 v 16. 過雙曲線x1的右支上一點P 15 工22 ，分別向圓Ci : x 4 V=4和圓 . 2 2 C2 : x -4 y2 =1作切線，切點分別為 M ,

11、N，貝U PM 2 PN 的最小值為（ A. 10 B. 13 C. 16 D. 19 【答案】B 【解析】如圖所示，根據切線，可有 PM |2 _|PN|2 TpoJ2 _4|po2|2 +1 =8，所以 PM 2 -PN最小值為15 . 2 y2 17. 過點P(1,1)作直線與雙曲線x1交于A,B兩點，使點P為AB中點，則這樣的直線() 2 A 存在一條，且方程為2x-y-1=0B 存在無數條 C. 存在兩條，方程為2x y 二0D .不存在 答案：D 2 2 18. 已知雙曲線 務每=1 a Ob 0的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線 a b 的右支有且只有一個交點，則

12、此雙曲線離心率的取值范圍是 【答案】2 ,+) 2 2 19.已知雙曲線C x y 2 - 2=1的左、右焦點分別是 F1 , F2，正三角形 AF1F2的一邊AF1與雙曲 a b 線左支交于點B , ，則雙曲線C的離心率為 且 AF1 = 13 1 【答案】3 【解析】設|AFj MBFjNm 則 |BF2 岸| AF2 I2 +| AB|2 -2| AF2 |AB|cos60 =13m2 ，所以 2a = BF2 _ BF1 =13m - m,2c = 4m, e = 2 2 x y 20.已知雙曲線C : =1 a 0,b 0的左、右焦點分別為F1 -c,0 , F2 c,0 , A,

13、B是圓 a b 222 x c y =4c與C位于x軸上方的兩個交點，且 F1A/F2B，則雙曲線C的離心率為 317 【答案】 【解析】由雙曲線定義得 AF2 = 2a 2c, BF2 2c - 2a ,因為 F1A/F2B ，所以 2 2 2 4c 4c -(2a 2c) 4c2 (2c -2a)2 - 4c2 2 4c 4c 2 匯 2cx(2c 2a) cos _ F2F1A 二-cos/ Fi F2 B ，再利用余弦定理得 2e2 3e 1 = 0,e1n e = 3+衍 ，化簡得4 3 的左右焦點分別為 FF2 , P為雙曲線右支上一點，點 Q的坐標為 (-2,3)，則| PQ|

14、| PF, |的最小值為 【答案】7 【解析】由雙曲線定義可知|PF1|=|PF2| 2，故| PQ| | PF1 | =|PQ1 | IPF2I 2，可知當QPE 三點共線時, | PQ | PF1 |最小，且最小值為|QF2| 57. 2 2 x y 2 .2 a b 22.如圖，已知雙曲線 =1 a 0,b 0上有一點A,它關于原點的對稱點為B，點F為雙 j兀兀I 曲線的右焦點，且滿足 AF _ BF ,設.ABF -二,且：,，則該雙曲線離心率 _12 6 的取值范圍 由對稱性得|af=|bf|，設|af=|bf|匡 又 |oa|=|ob|=|of ,因為 AF BF , x2 y2

15、=(2c)2 =4c2,又(x- y)2 =(2a)2 ,則 xy =2(c2 -a2) 又 S.Abf = 2S OAF ,1x b 0)的左、右焦點，過F2的直線 a b B兩點，直線I的傾斜角為60 Fi到直線I的距離為23. (1)求橢圓C的焦距； (2)如果AF2= 2忌，求橢圓C的方程. 解：(1)設焦距為 2c,則 F1( c,0)F2(c,0) T kl= tan60 =- I 的方程為 y=“J3(x c) 即：、.；3x y”J3c= 0 / f1到直線 I的距離為 23 =書 3c= 23 c= 2 橢圓C的焦距為4 設A(xi, 直線I的方程為 y”B(x2, y)由題

16、可知 y1 0 y= ,3(x 2) y= 3(X 2) 2 2 X V a2+b2=1 得(3a2+ b2)y2+ 4 3b2y 3b2(a2 4)= 0 由韋達定理可得 丄4岳2 y1+y2=3T? 3b2(a24) .y1, y2= 3a2+ b2 T AF = 2F2B yi = 2y2,代入得 W3b2 I - y2= 3TTP 2心 Iy23a2 + b2 42 t .2 48b3a + b 2 16b 靈 得 1= 得 2 (3a2 + b2)2 3b2(a2 4)(3a2 + b2)(a 4) 22 又 a = b + 4 2 2 由解得a2=9 b2=5橢圓C的方程為計弋=1

17、 27.已知雙曲線C的中心在坐標原點，焦點在X軸上，離心率-,虛軸長為2. 2 (1)求雙曲線C的標準方程; (2)若直線 I: kx m與曲線C相交于代B兩點(代B均異于左、右頂點)，且以AB為直徑 的圓過雙曲線 C的左頂點D ,求證：直線I過定點，并求出定點的坐標. 【答案】(1) j=1 (2) 4. 10 一亍0 C 5,2b =2,又 a 2 2 2 試題解析：(1 )設雙曲線的標準方程為 令一占=1 (a 0,b 0 ),由已知得 = a b- ，解得a =2,b =1，所以雙曲線的標準方程為 2 x 2. y 1. 4 =kx m 2 x 2. y 1 y = |y (2)設 A

18、(x，y )B(X2，y2 )，聯立 * .4 ，得 1 -4k x -8mkx-4 m 1 = 0 ,有 2 2 2 2 .: = 64m k 16 1 -4k m 1 i、0 8mk 小 x-i x22 : 0 1 -4k2 2 -4(m +1 ) 為 x220 1 -4k2 2 y1 y2 = kx1 m kx2 m = k x1x2 mk % x2 2 2 2 m -4k m2 1 -4k ，以AB為直徑的圓過雙曲線 C 的左頂點 D( 2,0kAJ_kB -1，即 % I y2 xLxrr*汨宀心平宀2)*0, 2 m2 -4k2-4 m 1 16mk 2224 =0, 1 -4k

19、1 -4k 1 -4k 2 2 二 3m 16mk+20k =0,解得 m = 2k 或 m0k 3 .當m =2k時，l的方程為y = k x 2，直線過 定點-2,0，與已知矛盾；當 10k 3 時，l的方程冒 ，直線過定點叮，經檢驗 符合已知條件 ，所以直線丨過定點，定點坐標為-10,0 I. I 3丿 28.已知橢圓 + y2 = 1上兩個不同的點 A, B關于直線y= mx+士對稱. (1)求實數 m的取值范圍; (2)求厶AOB面積的最大值(O為坐標原點). 1 解(1)由題意知mHQ可設直線AB的方程為y= x+ b.由 消去y,得g +和乂2 %+ b2 1 = 0因為直線y=

20、 y=mx+b， 124 mx+ b與橢圓鄉+ y2= 1有兩個不同的交點，所以= 2b2+ 2 + m0， 2mbm2b m2+ 2，m2 + 2， 設M為AB的中點，貝U M 由得m. 3 2 . 2 代入直線方程y= mx+ 1解得b= 2-2-. (2)令 t=m m 0,甲，則 |AB|= t2+ 1 :-2t4+ 2t2+ 3 且O到直線AB的距離d草 設厶 AOB 的面積為 S(t)，所以 S(t) = 2|AB|d= 1 2 t2 - 2 2+ 2 嗎, 當且僅當t2 =扌時，等號成立故 AOB面積的最大值為 2 2 x y 29已知橢圓 2+ 2=1(ab0)的左焦點為F(-

21、c,0) a b 3 ,離心率為，點M在橢圓上且位于第 3 FM 象限，直線FM被圓x2+y2= b截得的線段的長為c, 4 (1) 求直線FM的斜率; (2) 求橢圓的方程; (3) 設動點 P在橢圓上，若直線 FP的斜率大于 2，求直線OP ( O為原點)的斜率的取值范圍 【答案】(I) 2 2 (II) 3 2=1 ； (III) 【解析】(I) 由已知有 2 c 2 a =3，又由a2 二 b2 2 2 2 2 2 c ,可得 a = 3c , b = 2c , 設直線FM 的斜率為 k(k 0)，則直線 FM 的方程為y = k(x c)，由已知有 (II)由(I)得橢圓方程為 2

22、2 3 21， 直線FM的方程為y二k(x c)，兩個方程聯立，消去 2 2 kc kr+1 丿 1+Q2 2 由 |FMh(c+c+cJ I 3 丿 整理得 2252 3 3x 2cx-5c =0,解得xc或x=c,因為點M在第一象限，可得M的坐標為| c,c 3- 2 2 =4 3，解得c = 1，所以橢圓方程為x y =1 332 (Ill)設點P的坐標為(x,y)，直線FP的斜率為t，得t y ，即y =t(x 1) (x= 一1)，與橢圓方 x + 1 fy =t(x 十1) 程聯立 x2y ，消去y ,整理得2x2 3t2(x 1)2 =6 ,又由已知, 1 .32 6 2x2 3

23、(x 1)2 解得 x ： 1 或 一1 ： x ：0 設直線0P的斜率為m，得m = y，即y二mx(x = 0)，與橢圓方程聯立，整理可得 x 22 - 2，得 m x23 當x三I- 1,0時，有y二t(x 1) . 0，因此m :： 0，于 丫 一 2，得 m x23 2 oO ，3 綜上，直線OP的斜率的取值范圍是 2 2 x V 30.已知橢圓：: 2川一不(a b 0)的半焦距為c,原點匸到經過兩點 c,0，0,b的直線 a b 1 的距離為. 2 (1)求橢圓上的離心率; (2)如圖，:是圓二I : 2 , 2 x 2 y-1 5 的一條直徑，若橢圓上經過丄，m兩點，求橢圓!

24、2 的方程. 【答案】(I)3 ; (II) 2 【解析】 試題分析：(I)先寫過點 c,0 ,0,b的直線方程，再計算原 點O到該直線的距離，進而可得橢圓!的離心率；(II)先由(I)知橢圓上的方程，設二三的方程， 、 ly=k(x+2)+1、l 2 聯立 222 ,消去y ,可得 +x2和x1x2的值，進而可得k,再利用|ae| =10可得b x 4y = 4b 的值，進而可得橢圓上的方程. 試題解析：(I)過點c,0 , 0,b的直線方程為bx + cy-bc二0 ,學優高考網 ，有 y = t(x 1) ： 0，因此 m 0，于是 m = 則原點0到直線的距離d - be b2 c2

25、be a 由d =1 e，得 a = 2b = 2寸a2- e2，解得離心率&二旦. 2a 2 2 2 2 (II)解法一：由(I)知，橢圓上的方程為x +4y =4b . (1) 依題意，圓心 泊-2,1是線段_二三的中點，且|AB |= 10 . 易知，二三不與x軸垂直，設其直線方程為y = k(x+2)+1，代入(1)得 (1 + 4k2)x2 +8k(2k+1)x + 4(2k+1)2- 4b2 =0 設 A(*,y1),B(X2,y2),則 x +x?=- 8k(2k+1)4(2k+1)2- 4b2 1+4k2，x1x2 = - 1+4k2 由 x1 +x2 =-4，得-8k(2k；1)=-4,解得 k = 1 . 1+4k22 從而 x1x2 = 8- 2b2. x2 2 4x2 二 10(b2 - 2) 由 |AB |= 10，得 10(b