1、人生的意義就在于人的自我完善高爾基第八講 數陣圖與數字謎教學目標1. 熟悉數陣圖與數字謎的題目特點；2. 掌握數陣圖與數字謎的解題思路。經典精講數陣圖數陣圖是把一些數按照一定規則填在某一特定圖形的規定位置上而來的圖形，有時簡稱數陣。【例1】 （年“希望杯”第二試）在右圖所示內填入不同的數，使得三條邊上的三個數的和都是，若、的和為，則三個頂點的三個數的和是_。【分析】 由于每條邊上的三個數的和都是，所以把這三條邊上的三個數的和都加起來，總和應為，在其中，、各算了一次，三個頂點的三個數各算了兩次，所以三個頂點的三個數的和為。【例2】 （年天津“陳省身杯”國際青少年數學邀請賽）將這十二個自然數分別填

2、入右圖的個圓圈內，使得每條直線上的四個數之和都相等，這個相等的和為_。【分析】 由于每條直線上的四個數之和都相等，設這個相等的和為，把所有條直線上的四個數之和相加，得到總和為；另一方面，在這樣相加中，由于每個數都恰好在兩條直線上，所以每個數都被計算了兩遍。所以，得到，即所求的相等的和為。【例3】 （年“走進美妙的數學花園”決賽）如右圖所示，表示這個各不相同的數字。表中的數為所在行與列的對應字母的和，例如“”。請將表中其它的數全部填好。【分析】 由于，所以，所以和只能是和。因此可以推出：，。可得右下圖。【例4】 （年“走進美妙的數學花園”初賽）從、這個數中選出個不同的數放入的方格表中，使得每行、

3、每列、每條對角線上的三個數的和都相等。這個數中最多有_個質數。【分析】 中的質數有、，共個。如果這個質數都用上，無論另外一個數是奇數還是偶數，根據奇偶性分析，都無法滿足題目的要求。所以個質數不可能都用上，最多只能用個。若用個，只有用、這個奇數，再加上兩個奇數和時，恰好是個連續奇數，方格表可以填出，如右圖。故這個數中最多有個質數。前鋪 在右圖的每個空格中填入一個數字，使得每行、每列及每條對角線上的三個數之和都等于。分析 我們知道填圖的幻方每行、每列及每條對角線上的三個數之和都等于，而本題中的幻方每行、每列及每條對角線上的三個數之和都等于，比填圖的幻方大了，相當于每個數都大了，所以只需要把填圖的幻

4、方中的每個數都加就可以了。前鋪 將、填入的方格內，使其構成一個幻方。分析 （法）：中心數為，然后將其余個數分為組，每組兩個數的和是，把它們分別填入圖中關于中心格對稱的格子內，實驗可得結果，如右圖。答案不唯一，僅供參考。（法）：其實會學習的小朋友知道利用已經學習過的一些典型題目的結果加以變形得到新題的答案。事實上我們可以把本題中的幻方看作是填圖的幻方相應位置的數字乘以再減得來的。推廣開來可以知道等差數列填圖的三階幻方幾乎都具有相似的形式。【例5】 在右圖所示立方體的八個頂點上標出中的八個，使得每個面上四個頂點所標數字之和都等于，并且不能被未標出的數整除。【分析】 標出的八個數之和是每面四個數之和

5、的倍，是偶數，的和為 ，因此未標出的數是一個奇數，只能是、中的一個，并使余下八個數之和的一半不能被這個數整除，由于、都不滿足這一條件，依此可知未標出的數是。下面用余下的個數填圖，每面四個數之和為：。如果已知某一面上四個數的和為，那么與其平行的面上的四數之和也必為。因此我們只考慮有公共頂點的三個面即可。下面我們考慮以為公共頂點的三個面，由于，不共面，因此在頂點的對頂點上，有公共點的三個面上，每面其余三個數之和為，且每兩個面有一個公共頂點，由此試驗易得三個面上的數分別為：，填圖如右下圖。數字謎數字謎，顧名思義就是猜數字，它是與數字有關的一類有趣的數學問題。【例6】 （年湖北省“創新杯”初賽）如右圖

6、，加法算式中，七個方格中的數字之和等于_。【分析】 由加法算式中的百位要向千位進位知百位的數字和為，但兩個加數的百位之和最大為，由于十位最多向百位進，這說明兩個加數的百位數字都是。同理可知兩個加數的十位數字都是，且個位之和向十位進，所以這兩個加數的個位數字之和為。所以七個方格中的數字之和為。【例7】 （年“我愛數學夏令營”）右圖加法算式中相同的漢字表示相同的數字，不同的漢字表示不同的數字，那么漢字“我愛夏令營”表示的位數是_。【分析】 兩個五位數相加得到一個六位數，由于這兩個五位數均小于，所以它們的和小于，所以圖中的“數”小于，故“數”。由于“我愛夏令營”“數學夏令營好”“數學夏令營”“數學夏

7、令營”“好”，所以“我”。而圖中加法算式的千位最多向萬位進，所以“學”只能為或。由于“學”與“數”不同，所以“學”不能為，只能是。圖中算式可簡化為“愛夏令營”“夏令營”“夏令營好”，即“愛”“夏令營”“夏令營”“夏令營”“好”。得“愛”“夏令營”“好”，所以“好”是的倍數。由于“好”不能是，所以“好”，“夏令營”“愛”。由于“愛”、“夏”、“令”、“營”均不能為、，經試驗只有當“愛”時，“夏令營”符合條件。所以“我愛夏令營”表示的位數是。前鋪 （年“走進美妙的數學花園”決賽）如右圖所示，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。“美妙數學花園”代表的位數最小為_。分析 本題中個數的和

8、是一個各個數位上的數字都相同的四位數，由于加法算式中百位上沒有進位，所以和的千位上只能是，因此“好”。要使“美妙數學花園”代表的位數最小，則“美”、“妙”都要盡可能小。“美妙”“數學”“花園”，由于“數學”“花園”最大只能為，所以“美妙”不小于。但是“妙”不能與“好”和“美”相同，所以“美妙”最小為，此時“數學”最小為，“花園”為，所以這個六位數最小為。【例8】 （年“走進美妙的數學花園”初賽）請在右圖每個方框中填入一個數字，使乘法豎式成立。【分析】 設被乘數為，乘數為。由于，所以，且（這是因為最多向十位進，而是一個偶數，從而不向十位進位）。又由且知為奇數（若為偶數，那么的十位數字為，但，這是

9、不可能的），那么向十位進，所以最小為，又顯然小于（若大于等于，那么將是四位數），于是。這時只能為，只能為。所以。再由知只能為。所以這個乘法算式的被乘數與乘數分別為和，乘法豎式如圖所示。【例9】 （年香港圣公會數學競賽）在右圖中的除法算式中，只知道、兩個數字，其余殘缺的數字都用表示。補上殘缺的數字后，那么被除數是_。【分析】 這個除法算式從相除的過程可以看出，商數的十位和千位均為；除數的倍是一個三位數，而除數與商的萬位相乘，積為兩位數，可知萬位數字為，同樣可知商的個位數字也為，即商為；又一個兩位數的兩倍必小于，故第一次剩余（即被除數的前三位與除數之差）為。而一個三位數與一個兩位數之差為，只能是，

10、故被除數前三位為“”，而除數為，由此可知，被除數為。【例10】 （年北京“數學解題能力展示”讀者評選活動決賽）將數字填入下面方框，每個數字恰用一次，使得下列等式成立：現在“”、“”已經填入，當把其他數字都填入后，算式中唯一的減數（處）是_。【分析】 首先可以估算四位數的取值范圍。四位數不大于，不小于，所以四位數的首位數字只能是。再由四位數與的和能被整除，可以確定四位數的個位數字一定是偶數，只能是或。若為，那么四位數與的和的個位數字為，所以十位數字必須為偶數，只能是。這個四位數要大于，只能是，而，與相差。但此時剩下的三個數字為、，無法用這三個數字湊出。所以四位數的個位數字不能是。四位數的個位數字

11、是時，十位數字為奇數，只能是、或。當四位數的十位數字為時，四位數只能是，而，與相差。但剩下的三個數字、不能湊出；當四位數的十位數字為時，四位數只能是，而，與相差。但剩下的三個數字、不能湊出；當四位數的十位數字為時，四位數可能是或。若為，則由，與相差，但剩下的三個數字、不能湊出；若為，有；當四位數的十位數字為時，四位數只能是，而，與相差。但剩下的三個數字、不能湊出。綜上可知本題只有唯一答案。算式中唯一的減數是。【例11】 表示進制中的一個三位數，請解決如右所示進制中的數字謎（不同的字母表示不同的數）。請確定,的值，并帶入下式進行計算：_。（注：此時的結果請寫成十進 制的）。【分析】 在進制中，由

12、于個位的最多向十位進，十位的,互不相同，它們最大分別為和，所以，所以十位最多向百位進，同理可知百位最多向千位進，所以只能為。由于最大為，則，即百位向千位進后最多還剩下，即最大為，又因為不同的字母表示不同的數，不能與相同，所以只能為。而不能為、，所以，即，所以。附加題目【附1】 （年北京“數學解題能力展示”讀者評選活動初賽）在右圖除法豎式的每個方格中填入適當的數字使豎式成立，并使商盡量大。那么，商的最小值是_。【分析】 如果商的個位數字為，那么除數為多。由于除數乘以商的千位數字得到一個四位數，且這個四位數的百位數字為，所以商的千位數至少是才可滿足這一條件（如果是，那么乘積為位數；如果是，那么乘積

13、在與之間，百位數字不可能是）。如果商的個位數字為，則除數不小于，不大于，同上分析可知，商的千位數至少是才可滿足式中條件。如果商的個位數字大于等于，由于除數與商的千位數字之積是一個四位數，比除數與商的個位數字之積（多）要大，所以商的千位數字大于個位數字，所以此時商的千位數字至少為。由以上分析可知，當商的個位數字為時，商的千位數字可以為，此時商的千位數字最小，故商也最小。當商的千位數字為時，由于十位數字為，個位數字為，此時除數為多，商的百位數字與除數的乘積也是四位數，而且這個四位數的百位數字為，所以商的百位數字不能是、，至少為才能滿足式中條件。所以商的最小值不小于。另外，滿足式中條件，所以商的最小

14、值為。【附2】 （年首屆全國數學資優生思維能力測試）在右圖的除法算式中，只知道、四個數字，補上殘缺的數字后，那么被除數是_。【分析】 設商的百位數字為，十位為。由于與除數之積的十位為，所以只可能為、；由于與除數之積的個位為，所以只可能為、。取為時，除數只能為。若取為，豎式謎中第五行數為，那么豎式的第四行與第五行的十位數字之差只可能為或（第四行的十位數字需向百位數字借位），這樣第七行的百位數字為或，而除數與一位數的乘積的百位數字最大只能為。矛盾。所以此時不能為。若為，則豎式的第五行為，此時豎式的第四行與第五行的十位數字之差至少為，所以商的個位數只能為或。試驗可知滿足條件。用上述方法類似分析其他情

15、況，可知和也滿足式中條件。鞏固精練1. 在這十三個自然數中選十二個填在圖中的空格內，使每橫行四數之和相等，每豎行三數之和相等。【分析】 首先由和的整除性質，確定使用哪十二個數填圖。由于每橫行四數之和相等，每豎行三數之和相等，知這十二個數之和既是的倍數也是的倍數，因此是的倍數，而，由此可知不用填圖的數字是，所選十二個數之和為：，每橫行四個數之和為：，每豎行三個數之和為：。由于豎行和為，因此可知，在不同豎行，而只能跟或在同一豎行，由此可確定豎行分組有如下兩種情況：，或，。再根據橫行和為，易得如下兩種結果：2. 圖中的正方形的每一個方格內的字母都代表一個數，已知其每行、每列以及兩條對角線上三個數之和

16、都相等。若，。那么是多少？【分析】 由于，所以，即，所以。3. 右圖中不同的漢字代表中不同的數字，當算式成立時，“中國”這兩個漢字所代表的兩位數最大是多少?【分析】 從圖中可以看出，“新”，因為要使“中國”盡量大，所以可以假定“中”。因為十位相加(含個位的進位)等于，所以“北奧”在中的取值有三種可能：；。再考慮到“國京運”的個位數字是，經試算，只有“北”、 “奧”等于、時滿足，此時“國”、“京”、“運”等于、，“國”取其中最大的，得到“中國”最大是。4. 右面式中不同的漢字代表不同的數字，問：“數學好玩”表示的四位數是多少?【分析】 由積的千位數知“數”，由積的十位數知“學”，由積的百位數知“

17、玩”。豎式化簡為下式。由于“真”“好”，所以“真”，“好”，“啊”。所以，“數學好玩”。學而思教育 四升五 競賽123班 第八講 教師版 page 73 排球是一位名叫威廉基摩根的體育干事于年在美國發明的。半個多世紀后的年日本東京奧運會賽場上，男子排球和女子排球比賽同時亮相奧運會賽場。至年雅典奧運會，奧運會排球比賽的規模已由最初的支男隊和支女隊發展到男女各支隊伍。迄今為止，共有支男隊（蘇聯、日本、波蘭、美國、巴西、荷蘭、南斯拉夫）和支女隊（日本、蘇聯、中國、古巴）榮膺過奧運會排球冠軍的殊榮。排球年進入中國，并在新中國生長壯大，中國女排在年中國首次參加奧運會時便一鳴驚人，奪得桂冠，年后又在雅典重溫奧運會冠軍夢，將她們的世界冠軍頭銜增加到個。一個富有卻很吝嗇的人不幸將自己裝有50萬現金的公文包丟失了。他怎么找也找不見，著急得要命，于是，只好報警，并聲稱誰要拾到公文包并交還給他，他將獎給這個人5萬元現金。 不久，便有人將公文包送到警察局，富人見到自己的公文包失而