1、文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持5文檔收集于互聯網，已整理， word版本可編輯類型3綜合全等和相似三角形的幾何探究題9. (2016 赤峰)如圖，正方形 ABCD勺邊長為3 cm, P, Q分別從B, A出發沿BC, AD方向運動，P點的運動速度是 1 cm/s, Q點的運動速度是 2 cms，連接AP并過點Q作QEL AP,垂足為 E.(1) 求證： ABPA QEA 當運動時間t為何值時， ABPA QEA 設厶QEA的面積為y，用運動時間t表示 QEA的面積y(不要求考慮t的取值范圍).解： 證明：四邊形 ABCD是正方形，/ ABP=Z BAD= 90 ./

2、 BA卻/ EAQ= 90 ./ QEL AP,./ AEQ= 90 ./ EAQFZ AQ匡 90 ./ ABP=Z AEQ= 90,/ BAP=Z AQE. ABPA QEA.(2) 當厶ABPA QEA時，AP= AQ.由題意，得 BP= t , AQ= 2t , AB= 3,在 Rt ABP中，AP = AB + BP= 9 + t2. 9+12= (2t) 2,解得 t1 = ；3, t2= ；3(舍去). 故當 t =總時， ABPA QEA.(3)由(1)得， ABPA QEASa QEASa abpAQ2 即丄=AQ2AP ，即 Saabp= AP又VS abp= *BP. A

3、B= 2 , AQ= 2t , AP= 9+12,y3t24t26t39+12，解得 y=9+12.10 . (2015 安徽)如圖1,在四邊形 ABCD中，點E, F分別是AB, CD的中點，過點 E作AB的垂線，過點F作CD 的垂線,兩垂線交于點 G,連接AG BG CG DG且/ AG=/ BGC.(1) 求證：AD= BC;(2) 求證： AGDpA EGF一AD(3) 如圖2,若AD, BC所在直線互相垂直，求 的值.解：(1)證明：VE為AB中點，GEL AB, GE是線段AB的垂直平分線. AG= GB. 同理可證GD= GC.AG= BG在厶 AGD和厶 BGC中， / AGD

4、=/ BGCGD= GC AGDA BGC(SA. AD= BC.(2) v/ AG=/ BGC/ AGB=/ DGC.v AG= BG DG= CG 且 E , F 分別為 AB, CD中點,1 1 / age=;/ agb / dgf=-/CGD.2t2 / AGE=/ DGF 易證 Rt AGE Rt DGF./ AGD=Z EGFagdGT GF AGBA EGF.延長AD交BC延長線于點M. AD, BC所在的直線互相垂直，/ DA聊/ABC= 90,即/ DABFZ ABGFZ GBC= 90/ AGDA BGCGAD=GBC./ DA聊/ ABGFZ GAD= 90,即/ GAB

5、HZ GBA= 90 又/GAB=Z GBAGAB= 45 .AD GA l由得厶AGBA EGF - EF= GE= 211 . （2013 安徽）我們把有不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準等腰梯形”，如圖1,四邊形ABCD即為“準等腰梯形”，其中/ B=Z C.（1）在圖1所示的“準等腰梯形” ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）；（2）如圖2,在“準等腰梯形”ABCD 中，/ B=Z C, E 為邊 BC上一點，若 AB/ DE AE/ DQ 求證:AB_ BED

6、cTEc；在由不平行于 BC的直線人。截厶PBC所得的四邊形 ABCD中, / BAD與/ ADC的平分線交于點 E,若EB= EC,請問 當點E在四邊形ABCD內部時（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準等腰梯形”，為什么？若點 E不在四邊形 ABCD內部時，情況又將如何？寫出你的結論.（不必說明理由）解：（1）如圖所示.（2）證明：T AE/ CD AB/ ED/ AEB=Z C,Z B=Z DEC. ABEA DEC. EC / B=Z C,./ AEE=Z B.AB BEab=ae.DC= EC當點E在四邊形ABCD內部時，四邊形 ABCD是 “準等腰梯形”.理由：過點 E作EF

7、丄AB于點F, EGL AD于點G, EbU CD于點H./ AE平分/ BAD - EF= EG./ ED平分/ ADC EG= EH. EF= EH./ EB= EC, Rt BFE Rt CHEHL）./ FBE=Z HCE./ EB= EC,EBC=Z ECB./ FBE+Z EBC=Z HC&Z ECB即/ ABC=Z DCB. AD不平行于BC,四邊形ABCD是 “準等腰梯形”.當點E不在四邊形 ABCD內部時,有兩種情況： 當點E在邊BC上時，四邊形 ABCD為“準等腰梯形”； 當點E在四邊形ABCD勺外部時，四邊形ABCD為“準等腰梯形”.12 . （2016 合肥瑤海區模擬

8、）如圖，在四邊形 ABCD中, / ABC=Z BCD= 60 , AB+ DC= BC.（1）如圖1,連接AC BD ,求證：AC= BD 如圖2, / BAD與/ADC的平分線相交于點 E,求/E的度數；如圖3,若AB= 6, CD= 3，點P為BC上一點，且/ APD= 60,試判斷 APD的形狀，并說明理由. 解：（1）證明：在 CB上取CE= CD連接DE, AE./ AB+ DO BC, AB= BE.又/ ABC=Z BCD= 60, ABE與厶CDE均為等邊三角形. AE= BE, DE= CE.aZ AEB=Z CED= 60 ./ BED=Z AEC= 120 . BEDA

9、 AEC(SA$. AC= BD.在四邊形 ABCD中, Z B=Z C= 60,/ BADZ ADC= 240 . AE, DE分別是Z BAD Z ADC!的平分線，1 Z EADZ EDA= 0 Z BADZ ADC)= 120。，故Z E= 60 .(3) tZ APD= 60,.Z APBZ CPD= 120 . vZ BANZ APB = 120,.Z BAP=Z CPD. 又tZ B=Z C= 60 , ABPA PCD.AB BP APPC= CD=PD又 v AB= 6, CD= 3, BC= 9,6 BP9- bp= y. BP(9 BP) = 18.解得(BP)1 = 3

10、, (BP) 2 = 6.rt AP 當(BP)1 =3 時，PD=1,即卩 AN PD,vZ APD=60,故厶APD是等邊三角形.當(BP) 2= 6時，PC= 3,易得 ABP CDP均為等邊三角形.AP= 6, DP= 3,即卩 AP= 2DP,取 AP的中點 E,連接 DE,得 PE= PD.vZ APD= 60,仏 EPD是等邊三角形.ED= ep= ea. D點在以AP為直徑的圓上，故 APD是直角三角形.13 . (2016 馬鞍山一模)如圖1,在菱形 ABCD中，E是CD上的一點，連接 BE交AC于點O,連接DO并延長交BC 于點F.(1)求證： FOCA EOC; 將此圖中的AD BE分別延長交于點N,作EM/ BC交CN于點M再連接FM即得到圖2.求證：芝=影FD=FM.證明：(1) v四邊形 ABCD是菱形， BC= CD Z BCA=Z DCA BC/ AD.BC= DC在厶 BCO和厶 DCO中, Z BCA=Z DCAOC= OC BCOA DCOSAS. Z CBO=Z CDO.Z CBO=Z CDO 在厶BEC和厶DFC中，BC= CDZ BCE=Z DCF BECA DFC(ASA. EC= FC.FO EC在厶 FOC和厶 EOC中，/ BCA=Z DCAOC= OC FOCA EOCSAS.(2)