1、向量與空間解析幾何內容提要(一)向量和空間直角坐標系1概念(1)向量既有大小又有方向的量稱為向量，常記為，或 AB、CD只有大小沒有方向的量稱為標量。(2)徑向量給定坐標原點 0，設P為空間中任意一點, 任一向量都可以看作是空間中某一點相對于原點則稱向量 0P為點P相對于原點0的徑向量。0的徑向量。(3 )模TT向量a的大小稱為它的模，記作|a|或a。模為0的向量稱為零向量，記作(4 )單位向量T模為1的向量稱為單位向量。與向量a同方向的單位向量記為Ta|a|。(5 )向量的坐標表示設向量a的起點為坐標原點，則其終點的坐標 , 2 2 2a =去,ay ,丟，向量 a 的模為 1 a*ay *

2、az。(ax ,a y ,a z )稱為向量Ta的坐標，記作設M 1 = (% , y1 ,乙)，M 2 = (x2 , y2 , Z2 )為空間中兩點，則以 M1為起點，M 2為終點的T向量 M1M 2 二X2 -X1 , y2 -y1,Z2 -乙。(6)向量的夾角，平行，垂直T T T TT T對任意兩個非零向量 a =OA和b =OB，稱- Z AOB為向量a和b的夾角，并規定0門。向量a和b的夾角通常記為a,b或(a,b)。A jTTTTTTTT當a,b =0或二時，稱a與b平行，也稱a與b共線，記作a b一t ?直或正交，記作 a _ b 。AT嚴 Jia, b =2時，稱a與b垂(

3、7)方向余弦T設向量a與空間直角坐標系的三個坐標軸正方向的夾角依次為cos稱為向量a的方向余弦，,則 COS、cos -它們滿足等式cos2 ：亠 cos2 ： cos2 二 1。2.向量的運算(1)加法把向量量稱為向量Tb的起點移到向量T Ta和b的和，記作TTa的終點，則以向量 a的起點為起點，向量T T Tc = a b。b的終點為終點的向TT若 a =ax,ay a, b =血,by ,bzT T，貝y a+b =ax +bx,ay +by,azbz。(2)數乘TT實數與向量a二ax，ay，az的乘積是一個向量，記作a = ax, ay , az。加法與數乘有如下性質:(ii)T T

4、T T a-b = a (-b)；T T T T T T(a b ) c 二 a (b c)；TT,(a)=(，a)；T T T a (-a)二 0 T Tf* (a b) = a b ；(vii )丄)a = a川丄a。T向量a =TT T)八)ax,ay ,az和 b 二bx, by, bz的點積是一個數 |a|b| cos( a, b)，記作 b，(3)點積(數量積、內積)T Ta b = axbxaybyazbz即a b =| a | b | cos(a ,b)。用坐標表示為點積的性質:T T T T(ii)( a) b = (b a)；T T T TT TT(iii) ( a b)

5、c = a c b c ；(4)叉積(向量積、外積)T T T T(iv) a _ b = a b = 0。向量a = ax ,ay ,az和b = bx ,by ,bz的叉積是一個向量，記作a b，它的模為AT T T TT T| a b |=|a |b | si n(a,b)，方向垂直于a， b，且使f fa b成右手系。用坐標表示為axbxTjaybyazbzayazaxazaxaybybzJbx bzJbx by叉積的性質:ff ?(i) a b - - b a ；(ii)T T T T ( a) b = (a b)(iv)T T T T T T T (iii) (a b) c=a c

6、 b c ；(5 )混合積:Tb 二bx,by btttttta,b,c = (a b ) c 稱為向量 a=ax,ay,az，T T T混合積，其幾何意義是以向量a，b，c為相鄰的三條棱的平行六面體的有向體積。用坐標表示為混合積的性質:T T Ta,b,c =axbxCxaybyCyazbzCzTTT T TT TTT(i) a,b,c二b , c, a = c,a,b 二T TTa,c,b=T T TT TT-c,b,aH - b,a,c；T r T(ii)向量a , b , c共面的充要條件是T T Ta,b,c =0。(6)投影(i)已知空間一點 A以及一個有向軸u , 稱為點A在軸u

7、上的投影。過點A作軸u的垂直平面:，則平面二與軸u的交點(ii)設向量AB的起點和終點在軸u上的投影記為A和B，則有向線段AB的值稱為向量ABT在軸u上的投影，記作PrjuAB。TT T T向量b在向量a ( a 0 )上的投影為A T T a bPrjb =| b | cos( a ,b )=a|a|。(二)平面與直線平點法式A(x-X。)+ B(y - y) +C(z-Zo) =0 ,面方程T其中(Xo , y。，Zo)為平面上一定點，n = A, B,C為平面的一個法向量。方一般式Ax + By+Cz + D = 0,程方程fn = A,B,C為平面的一個法向量。1概念截距式方程x y

8、z+-L +_ = 1 a b c ，其中a，b，c依次為平面在x， y，z軸上的截距。三點式方程平面過空間三.x -x1 y _ y1 z-t1X2 X1y2 - y1z2 z1X3 X1y3 y1z3 z1點 M1=（捲，,乙），M2M3 =（X3 m 乙）=0= （X2 ,y2 ,Z2），直線 方 程點向式（對稱 式）方程x X。y yz Zolmn ,T其中（Xo,yo,zo）為直線上一定點，s=l,m, n為直線的一個方向向量。兩點式方程x X1y y1z 乙X2 - X1丫2 - y1 Z2 - Z1 ，其中（X1,y1,z1）、（X2 , y2 , z2）為直線上兩點。一般式方程

9、，Ax+B1y + C1z+D1 = 0A2x+B2y + C2z + D2 = 0u02. 點、直線、平面之間的關系（1）兩個平面之間的關系T給定平面二1 : A1XBiy C1Z D! = 0，其法向量為n! = A1 , B1,C1；平面二 2 :fA*B?yC2Z D2 =0，其法向量為 n2 二 A2 也。兩平面相交TTn1不平行于n2 ；T TT T兩平面垂直m 丄 n2 = 6 6=0= A1A2 + B1BH CQ2 = 0 ；AiBiCi兩平面平行?TTT Tn=丸門2(九鼻0)nn i = 0 UA2B2C2AiBiCiDi兩平面重合=A2B2C2 D2。A_ JI平面二i

10、和二2之間的夾角v -(n i , n2)()滿足AT Tcos vcos( nj, n2) | 1 山 “2 1|ni |n2 | Ai A2Bi B2 C1C2 |.A；B； C2 . A；B；C；X - Xi _ y - yi 給定直線Li : limi(2) 兩條直線之間的關系Z -乙 fni ，其方向向量為 Si=li,mi, ni , Mi =(Xi, yi ,Zi)Z -Z2門2，其方向向量為TS2 = I 2 , m2 , n2 x - X2 _ g 為L2上一點；又直線L2 ：12m2直線Li和L2之間的夾角=(S1 , S2 )0 -2 )滿足M 2 = (x2 , y2

11、, Z2 )為 L2 上一點。兩直線不共面TT TM iM 2 (S S20 -兩直線不共面但TT TT T相互垂直M iM 2 (Si X S2 )式 0，但 Si S2 = 0 ；兩直線垂直相交TT TT TM iM 2 ( s s20，且 si，s2 = 0 ；兩直線平行TTTT TSi /S2，即 Si 漢S2= 0；兩直線重合fT TM i M 2 S s2 ；|lil2 gm?門小21T Tcos =| COS(S ,S2 ) | 二vl-i2 + m2 + Rj2 11 + m| + n：。(3 )平面與直線之間的關系X -Xoy -yo z_Zo給定平面二：Ax By Cz 0

12、 ,直線l : l = m = n ,其中TTn二A, B,C為平面的法向量，s二l,m, n為直線的方向向量。平面兀與直線L相交T Tn，s 式0 ；平面兀與直線L垂直f ff ffn/s，即 n xs = 0 ；平面兀與直線L平行T TT Tn 丄s，即 n，s=0 ；直線L在平面兀上T Tn s =0，且 Ax。+ By。+Cz + D = 0，其中 (Xo , yo , Zo )為直線上一定點。(三)曲面與曲線1曲面(1 )常見的二次曲面球面：(x-a)2 (y-b)2 (z-c)2 二 R2=12 z +橢球面:2c單葉雙曲面:2 X 2 ac2-1雙葉雙曲面:a22y_b2=1橢圓

13、拋物面:2 2x_y_a2b2=2 pz2 2x y c22 = 2 pz雙曲拋物面：a b(P 0)(P 0).次錐面:2X2ac2(2)坐標面上的曲線繞坐標軸旋轉的旋轉曲面J (y,z) = 0 曲線繞 z 軸旋轉：f (Jx2 +y2,z) = ；繞 y 軸旋轉：f (y, 土 Jx2 + z2)=0 ；”f (x, z) =0曲線LX = 0 繞z軸旋轉：f (土甘X + y , z) = 0 ；繞x軸旋轉:f(X, 土) = 0 ；f(x,y)=0曲線 Lx=0繞x軸旋轉:f (xA;/ +z?) =0 ；繞 y 軸旋轉:f (px2 +z2 ,y) = 0o(3) 柱面；F (x,

14、 y)=0以曲線 Z = 為準線、母線平行于 z軸的柱面方程為F(x,y)= ；:F(y,z) = 0以曲線=0為準線、母線平行于 x軸的柱面方程為F( y, z) = 0 ；F (x, z)=0以曲線 y = 0為準線、母線平行于y軸的柱面方程為Fd/Z)0。2.空間曲線(i)一般式方程若兩曲面F(x, y,z) = 0與G(x,y,z)=0交成曲線L,則L可用表示，稱為曲面的一般式方程。(2 )參數方程曲線L的參數方程為(3)投影曲線與投影柱面下(x, y,z)=0設空間曲線L : G(x,y,z)=0，消去方程組的變量z后得方程為H(x, y) = ，該方程表示一個以L為準線，母線平行于 z軸的柱面，稱為空間曲線 L關于xOy面的投影柱面；:H(x, y)=0投影柱面與xOy面的交線：，稱為空間曲線L在xOy面上的投影曲線。復習指導:復習要點本章公式較多，需要注意記住。并要注意：1. 數量與向量是兩類不同的概念，不要將兩個概念混淆。它們的運算不同之處如下： 數量加法為代數運算，而向量加法不是代數運算，要按照平行四邊形或三角形法則進行； 數量有大小比較，如 a b，而向量之間不能用”或：:”；數量乘法只有一種，其結果是一個數，而兩向量的乘法運算有兩種：數量積（結果是數）與 向量積（其結果是向量）