1、ADI算法的MATLAB編程應用實例胡坤1 ，任蘭蘭21ADI算法的具體描述ADI算法又稱交替方向隱格式，該算法主要考慮二維熱傳導方程的邊值問題，模型如下：在上述模型中，取空間步長，時間步長，作兩族平行于坐標軸的網線：將區域分割成個小矩形。具體步驟是將第n層到第n+1層計算分為兩步：（1） 第一步： ，構造出差分格式為：（2） 第二步：，構造出差分格式為：其中假定第n層的已求得，則由上述第一步可求出，這只需按行解一些具有三對角系數矩陣的方程組；再由第二步求出，這只需按列解一些具有三對角系數矩陣的方程組。 2以ADI算法分析具體實例（1）考察例子上述方程精確解為：）（2）分析計算過程首先設差分解

2、為，則邊值條件為：初值條件為：.取空間步長，時間步長網比，用ADI法分別計算到時間層.根據邊值條件：，已經知道第0列和第K列數值全為0，故：第一步：，構造出差分格式為：從而得到：，其中即按行用追趕法求解一系列下面的三對角方程組：又根據邊值條件得：，解出第0行和第行.第二步： 從而得到：其中又根據邊值條件得：，從而得到：其中再按列用追趕法求解一系列下面的三對角方程組：從而得到新的時間層的數值解.3.MATLAB編程實現上述實例clearclca = 0; b=1; %x取值范圍c=0; d=1; %y取值范圍tfinal = 1; %最終時刻t=1/1600;%時間步長；h=1/40;%空間步長

3、r=t/h2;%網比x=a:h:b;y=c:h:d;%-%精確解m=40;u1=zeros(m+1,m+1);for i=1:m+1, for j=1:m+1 u1(j,i) = uexact(x(i),y(j),1); endend%數值解u=ADI(a,b,c,d,t,h,tfinal);%-%繪制圖像figure(1); mesh(x,y,u1)figure(2); mesh(x,y,u)%誤差分析error=u-u1;norm1=norm(error,1);norm2=norm(error,2);norm00=norm(error,inf);%-編寫ADI函數文件% 用ADI法求解二維

4、拋物方程的初邊值問題% u_t = 1/16（u_xx + u_yy）（0,1）*（0,1） % 精確解: u(t,x,y) = sin(pi*x) sin(pi*y)exp(-pi*pi*t/8) %- function u=ADI(a,b,c,d,t,h,tfinal ) %(a , b) x取值范圍 %(c, d) y取值范圍%tfinal最終時刻%t時間步長；%h空間步長r=t/h2;%網比m=(b-a)/h;%n=tfinal/t; %x=a:h:b;y=c:h:d;%-%初始條件u=zeros(m+1,m+1);for i=1:m+1, for j=1:m+1 u(j,i) = u

5、exact(x(i),y(j),0); endend%-u2=zeros(m+1,m+1);a=-1/32*r*ones(1,m-2);b=(1+r/16)*ones(1,m-1);aa=-1/32*r*ones(1,m);cc=aa;aa(m)=-1;cc(1)=-1;bb=(1+r/16)*ones(1,m+1);bb(1)=1;bb(m+1)=1;for i=1:n %- %從n-n+1/2,u_xx向后差分，u_yy向前差分 for j=2:m for k=2:m d(k-1)=1/32*r*(u(j,k+1)-2*u(j,k)+u(j,k-1)+u(j,k); end % 修正第一項

6、與最后一項,但由于第一項與最后一項均為零，可以省略 %d(1)=d(1)+u1(j,1);d(m-1)=d(m-1)+u1(j,m+1); u2(j,2:m)=zhuiganfa(a,b,a,d); end u2(1,:)=u2(2,:); u2(m+1,:)=u2(m,:); %- %從n-n+1,u_xx向前差分，u_yy向后差分 for k=2:m dd(1)=0;dd(m+1)=0; for j=2:m dd(j)=1/32*r*(u2(j+1,k)-2*u2(j,k)+u2(j-1,k)+u2(j,k); end u(:,k)=zhuiganfa(aa,bb,cc,dd); end

7、%- u2=u;end%- “追趕法”解三對角線性方程函數文件%-%追趕法function x=zhuiganfa(a,b,c,d)%對角線下方的元素，個數比A少一個% %對角線元素%對角線上方的元素，個數比A少一個%d為方程常數項%用追趕法解三對角矩陣方程r=size(a);m=r(2);r=size(b);n=r(2);if size(a)=size(c)|m=n-1|size(b)=size(d) error(變量不匹配,檢查變量輸入情況!);end%LU分解u(1)=b(1);for i=2:n l(i-1)=a(i-1)/u(i-1); u(i)=b(i)-l(i-1)*c(i-1); v(i-1)=(b(i)-u(i)/l(i-1); end%追趕法實現%求解Ly=d，追的過程y(1)=d(1);for i=2:n y(i)=d(i)-l(i-1)*y(i-1);end%求解Ux=y,趕的過程x(n)=y(n)/u(n);for i=n-1:-1:1 x(i)=y(i)/u(i); x(i)=(y(i)-c(i)*x(i+1)/u(i);end%