1、昆 明 學(xué) 院 2010 屆畢業(yè)設(shè)計（論文）設(shè)計（論文）題目 行列式的計算方法研究 姓 名 學(xué) 號 s006054127 所 屬 系 數(shù)學(xué)系 專業(yè)年級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2006級數(shù)學(xué)班 指導(dǎo)教師 2010年 5 月摘要 在線性代數(shù)中，行列式是個函數(shù)。在本質(zhì)上，行列式描述的是在維空間中一個線性變換所形成的“平行多面體”的“體積”。行列式的概念出現(xiàn)的根源是解線性方程組。本論文首先，對行列式的計算方法進行總結(jié)，并對計算方法進行舉例。其次，n階行列式的計算方法很多，除非零元素較少時可利用定義計算（按照某一列或某一行展開完全展開式）外，更多的是利用行列式的性質(zhì)計算，特別要注意觀察所求題目的特點，靈活選用方

2、法。最后，值得注意的是，在同一個行列式有時會有不同的求解方法，這就要根據(jù)行列式的特點選擇適當(dāng)?shù)姆椒恕ｊP(guān)健詞： 行列式 計算 方法 方法舉例abstract in linear algebra, the determinant is a function.in essence, the determinant dimensional space described in a linear transformation.the formation of parallel polyhedron and volume.the concept of the root of the determinan

3、t there is solution of linear equations.the paper on the summary of the calculation of the determinant and the calculation method for example.n-order determinant have many the calculation methods,fewer non-zero elements can be calculated using the definition(1.in accordance with the start of a colum

4、n or a row. 2.full expansion.). more determinant of the nature of the calculation is to use.in particular, observe the characteristics of the subject request,flexible selection method.it is to be noted that in the same determinant sometimes will have different methods for solving. here are some comm

5、only used methods and illustrate with examples.keywords: determinant calculation motheds illustrate with examples目 錄前言 1第一章 普遍法求行列式1.1 利用行列式的定義直接計算.21.2 利用行列式的性質(zhì)計算.21.3 化為三角形行列式.3 1.3.1 直接化為階梯型.3 1.3.2 相同去項化上三角形 .4第二章 特殊法求行列式2.1 降階法（按行（列）展開法） .5 2.1.1 先簡后展 .5 2.1.2 按第一行（列）展開.62.2 遞（逆）推公式法.7 2.2.1 等差

6、數(shù)列遞推.7 2.2.2“一路直推”.9 2.2.3 對角遞推.92.3 利用范德蒙行列式.11 2.3.1 變形范德蒙行列式.11 2.3.2 系數(shù)范德蒙行列式.12 2.3.3利用行列式性質(zhì)湊范德蒙行列式.13第三章 其他方法求行列式3.1 加邊法（升階法）.14 3.1.1“0”和“字母”加邊.14 3.1.2 “0”和“1”加邊.143.2 數(shù)學(xué)歸納法 .16 3.2.1 第一數(shù)學(xué)歸納法 .16 3.2.2 第二數(shù)學(xué)歸納法 .17 3.2.3 猜測歸納法 .173.3 拆開法 .193.3.1 對角拆開 .193.3.2 按行（列）拆 .19參考文獻.21.謝辭.22前 言 在線性代數(shù)

7、中，行列式是一個函數(shù)，其定義域為的矩陣，值域為一個標(biāo)量，寫作。在本質(zhì)上，行列式描述的是在維空間中，一個線性變換所形成的“平行多面體”的“體積”。行列式無論是在微積分中（比如說換元積分法中），還是在線性代數(shù)中都有重要應(yīng)用.如判斷矩陣的可逆性,行列式的一個主要應(yīng)用是解線性方程組。當(dāng)線性方程組的方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等時，方程組不一定總是有唯一解。對一個有個方程和個未知數(shù)的線性方程組，我們研究未知數(shù)系數(shù)所對應(yīng)的行列式。這個線性方程組有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)它對應(yīng)的行列式不為零。這也是行列式概念出現(xiàn)的根源。當(dāng)線性方程組對應(yīng)的行列式不為零時，由克萊姆法則，可以直接以行列式的形式寫出方程組的解。但用克萊姆法則求解

8、計算量巨大，因此并沒有實際應(yīng)用價值，一般用于理論上的推導(dǎo)。行列式概念的最初引進是在解線性方程組的過程中行列式被用來確定線性方程組解的個數(shù)，以及形式。隨后，行列式在許多領(lǐng)域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用。于是有了線性自同態(tài)和向量組的行列式的定義。行列式的特性可以被概括為一個n次交替線性形式，這反映了行列式作為一個描述“體積”的函數(shù)的本質(zhì)。若干數(shù)字組成的一個類似于矩陣的方陣，與矩陣不同的是，矩陣的表示是用中括號，而行列式則用線段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的積的代數(shù)和，既是一個實數(shù)：求每一個積時依次從每一行取一個元因子，而這每一個元因子又需取自不同的列，作為乘數(shù)，積的符號是正是負(fù)決定于

9、要使各個乘數(shù)的列的指標(biāo)順序恢復(fù)到自然順序所需的換位次數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)。 第一章 普通法求行列式 1.1 利用行列式定義直接計算例1 計算行列式 解 中不為零的項用一般形式表示為 該項列標(biāo)排列的逆序數(shù)等于，故. 總結(jié)：對上面的例題，可以看出，行列式中0元素比較多的，那么用定義法計算比較簡略。對于這一類型行列式形狀，我們?yōu)榱朔奖阌嬎隳嫘驍?shù)，最好把它的個數(shù)做成等差或等比數(shù)列。 1.2 利用行列式的性質(zhì)計算 例1： ，一個n階行列式的元素滿足則稱dn為反對稱行列式。證明：奇數(shù)階反對稱行列式為零. 證明：由知，即故行列式可表示為，由行列式的性質(zhì)，當(dāng)為奇數(shù)時，得，因而得 1.3 化為三角形行列式 若能把一

10、個行列式經(jīng)過適當(dāng)變換化為三角形，其結(jié)果為行列式主對角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計算中的一個重要方法。 化為三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計算。 原則上，每個行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。1.3.1 直接化為階梯形例1 計算行列式解： 這是一個階數(shù)不高的數(shù)值行列式，

11、通常將它化為上（下）三角行列式來計算1.3.2 相同去項化上三角形例題2：計算n階行列式解：這個行列式每一列的元素，除了主對角線上的外，都是相同的，且各列的結(jié)構(gòu)相似，因此n列之和全同將第2，3，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1第二章 特殊法求行列式階法 2.1 按行（列）展開法 降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是根據(jù)行列式的特點，先利用列式的性質(zhì)化簡，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。 2.1.1 先簡再展例1:計算20階行列式分析這個行列式中沒有一個零元素，若直接應(yīng)用按行

12、（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進行20！*201次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計算：2.1.2 按第一行（列）展開例2 ： 計算n階行列式解 將按第1行展開.例3：計算n（n2）階行列式 解 按第一行展開，得 再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則可得到 2.2 遞（逆）推公式法 遞推法是根據(jù)行列式的構(gòu)造特點，建立起與的遞推關(guān)系式，逐步推下去，從而求出的值。 有時也可以找到 與 , 的遞推關(guān)系，最后利用 . 得

13、到 的值。 注意:用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。 2.2.1 等差數(shù)列遞推例1: 計算行列式.解：將行列式按第列展開,有,得 。同理得 , 例2 ： 計算解： 同理聯(lián)立解得當(dāng)時, 2.2.2 “一路直推”例1: 計算階行列式解 首先建立遞推關(guān)系式按第一列展開，得：這里與有相同的結(jié)構(gòu)，但階數(shù)是的行列式現(xiàn)在，利用遞推關(guān)系式計算結(jié)果對此，只需反復(fù)進行代換，得：因，故最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明這樣得到的結(jié)果是正確的當(dāng)時，顯然成立設(shè)對階的情形結(jié)果正確，往證對n階的情形也正確由可知，對n階的行列式結(jié)果也成立根據(jù)歸納法原理，對任意的正整數(shù)n

14、，結(jié)論成立 2.2.3 對角直遞例1： 證明n階行列式證明: 按第一列展開，得其中，等號右邊的第一個行列式是與有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為的行列式，記作；第二個行列式，若將它按第一列展開就得到一個也與有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為的行列式，記作這樣，就有遞推關(guān)系式：因為已將原行列式的結(jié)果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關(guān)系式來證明這個結(jié)果是正確的當(dāng)時，結(jié)論正確當(dāng)時，結(jié)論正確設(shè)對的情形結(jié)論正確，往證時結(jié)論也正確由 可知，對n階行列式結(jié)果也成立 根據(jù)歸納法原理，對任意的正整數(shù)n，結(jié)論成立分析:此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，

15、即知dn-1與dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計算。 2.3 利用范德蒙行列式根據(jù)行列式的特點，適當(dāng)變形（利用行列式的性質(zhì)如：提取公因式；互換兩行（列）；一行乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到另一行（列）去； .) 把所求行列式化成已知的或簡單的形式。其中范德蒙行列式就是一種。這種變形法是計算行列式最常用的方法。 2.3.1 變形范德蒙行列式例1 計算行列式解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式例2：計算階行列式 其中解: 這個行列式的每一行元素的形狀都是，0，1，2，n即按降冪排列，按升冪排列，且次數(shù)之和都是n，又因

16、，若在第i行（1，2，n）提出公因子，則d可化為一個轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式，即例3： 計算行列式 .解： 2.3.2 系數(shù)范德蒙行列式例1： 計算行列式 解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式 = 易知等于中 的系數(shù)的相反數(shù),而中 的系數(shù)為 ,因此, 2.3.3 利用行列式性質(zhì)湊范德蒙行列式 例1: 計算n階行列式 解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，,2行，1行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對換，這樣，共經(jīng)過（

17、n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得： 第三章 其他方法求行列式 3.1加邊法（升階法） 加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。它要求：1 保持原行列式的值不變； 2 新行列式的值容易計算。根據(jù)需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加邊法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分別為 個元素的倍數(shù)的情況。 3.1.1 “0”“字母”加邊例1： 計算階行列式 解： 3.1.2 0 和1加邊例1： 計算階行列式 ，其中解： 先將添上一行一列，變成下面的

18、階行列式： 顯然，將的第一行乘以后加到其余各行,得 因，將上面這個行列式第一列加第i（，）列的倍，得：3.2 數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng) 與 是同型的行列式時，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法求之。 一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。3.2.1 第一數(shù)學(xué)歸納法例1 :計算行列式 解：用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)時， 假設(shè)時，有 則當(dāng)時，把按第一列展開，得由此，對任意的正整數(shù)，有 3.2.2 第二數(shù)學(xué)歸納法例1：計算行列式 .解：,于是猜想 . 證明：對級數(shù)用第二數(shù)學(xué)歸納法證明

19、. 時,結(jié)論成立.假設(shè)對級數(shù)小于時，結(jié)論成立.將級行列式按第行展開 . 3.2.3 猜測歸納 例1： 計算行列式 解： 猜測： 證明（1） 時，命題成立。假設(shè) 時命題成立,考察n=k的情形： 故命題對一切自然數(shù)n成立。 3.3 拆開法 拆項法是將給定的行列式的某一行（列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，把一個復(fù)雜的行列式簡化成兩個較為簡單的。使問題簡化以利計算。 3.3.1 對角拆例1 ：計算行列式 解：= 3.3.2 按列（行）拆例1： 計算階行列式 解： 將按第一列拆成兩個行列式的和，即再將上式等號右端的第一個行列式第i列（，3，n）減去第一列的i倍；第二個行列式提出第一列的公因子，則可得到當(dāng)n3時，當(dāng)時，小結(jié)：計算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計算n階行列式的常見方法，計算行列式時，我們應(yīng)當(dāng)針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法。總的原則是：充分利用所求行列式的特點，運用行列式性質(zhì)及上述常用的方法，有時綜合運用以上方法可以更簡便的求出行列式的值；有時也可用多種方法求出行列式的值。學(xué)習(xí)中多練習(xí)，多總結(jié)，才能更好地掌握行列式的計算。參考文獻1 線性代數(shù)-方法導(dǎo)引m.屠伯塤 .上海科大出版社.19942 高等代數(shù)m.王萼芳.石生明 .高等教育出版社.19953 高等代數(shù)全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解m.杜煒.馬訾偉.中國時代經(jīng)濟出版社.1