1、.第一章例1-1 一個水池水位自動控制系統如圖1-1所示。試簡述系統工作原理，指出主要變量和各環節的構成，畫出系統的方框圖。圖1-1 水池水位控制系統原理圖解 在這個水位控制系統中，水池的進水量來自由電機控制開度的進水閥門，出水量隨意變化的情況下，保持水箱水位在希望的高度上不變。希望水位高度由電位器觸頭a設定，浮子測出實際水位高度。由浮子帶動的電位計觸頭b的位置反映實際水位高度。a、b兩點的電位差反映希望水位的偏差。當實際低于希望水位時，。通過放大器驅動電動機轉動，開大進水閥門，使進水量增加，從而使水位上升。當實際水位上升到希望位置時，a、b兩個觸頭在同一位置，電動機停止轉動，進水閥門開度不變

2、，這時進水量和出水量達到平衡位置。若實際水位高于希望水位，則電動機使進水閥門關小，使進水量減少，實際水位下降。這個系統是個典型的鎮定系統，在該系統中：控制量 希望水位的設定值被控制量 實際水位擾動量 出水量被控對象 水池測量元件 浮子比較元件 電位器放大元件 放大器執行元件 電動機、減速器、進水閥門系統的方框圖如圖1-2所示?？刂葡到y中各元件的分類和方框圖的繪制不是唯一的，只要能正確反映其功能和運動規律即可。圖1-2 水池水位控制系統方框圖精品.例1-2 圖1-3所示為發電機電壓調節系統，試分析系統的工作原理，畫出方框圖并指出系統的結構特點。解 發電機在電樞轉速和激磁電壓恒定不變時，負載變化將

3、引起輸出電壓和電樞回路電流的改變。當負載增大時，將引起電樞電壓下降和電樞電流增大，因此，電樞回路的電流在電阻上的電壓增大，也增大，由于與的極性一致，因而發電機的激磁電壓上升，使輸出電壓增大。這種由擾動產生附加控制作用的系統是擾動控制系統（本系統是將負載變化作為擾動輸入的。圖1-3所示的電壓調節方式只能克服負載變化對發電機輸出電壓的影響）。系統方框圖如圖1-4所示。圖1-3 發電機電壓調節系統圖1-4 系統方框圖第二章圖2-1 例2-1圖【例2-1】求圖2-1所示矩形脈沖的象函數【解】圖中的矩形脈沖函數可用解析式表示為所以，可以看作兩個函數的疊加即可求得其象函數或直接運用拉氏變換定義式求取【例2

4、-2】 求的拉氏反變換。【解】 的部分分式為精品.求系數、【例2-3】 求下面象函數的原函數【解】的部分分式為由等式相等，所以可知解得；的部分分式可求得注：則的拉氏反變換為【例2-4】 求下列象函數的拉氏反變換。【解】運用部分分式展開法，有求得待定系數精品.的部分分式為分別查表可求得的拉氏反變換為【例2-5】解方程，其中，【解】將方程兩邊取拉氏變換，得將代入，并整理，得所以【例2-6】將非線性方程在原點附近線性化?！窘狻扛鶕剑?-3），線性化后的方程應為而，故線性化后的方程為精品.分析：本題方程中只有是非線性項，只要將在原點線性化就可以了。在原點線性化的結果是所以，線性化后原方程式右邊只剩下

5、前三項線性項?！纠?-7】求圖2-2所示系統輸入為，輸出為時的傳遞函數 （a） （b）圖2-2 無源電網絡【解】 根據基爾霍夫定律，采用運算阻抗的方法，所以傳遞函數為（a）（b）【提示】基爾霍夫定律的時域表示式為：對任一結點，；對任一回路，。電阻的運算阻抗就是電阻本身，電感的運算阻抗是，電容的運算阻抗是，其中為拉氏變換的復參量。把普通電路中的電阻、電感、電容全換成相應的運算阻抗，把電流和電壓全換成相應的拉氏變換式和，因此可得到根據拉氏變換的線性性質而得出基爾霍夫定律的運算形式為：；對任一回路，。于是我們可以采用普通的電路定律，如歐姆定律、基爾霍夫定律和電壓定律，經過簡單的代數運算，就可求解、及

6、相應的傳遞函數。采用運算阻抗的方法又稱為運算法，相應的電路圖稱為運算電路?！纠?-8】求圖2-3所示有源電網絡的傳遞函數，圖中、分別是輸入和輸出電壓。精品. （a） （b）圖2-3 有源電網絡【解】（a）由圖（1）求得，根據理想運算放大器反相輸入時的特性，有這也是pid控制器。（b）設電壓如圖所示。由得得由此可得最后聯立上述方程，解得這是pid控制器。提示：上述傳遞函數是在理想運算放大器及理想的電阻、電容基礎上推導出來的，對于實際元件來說，它只是在一定的限制條件下才成立。【例2-9】 如圖2-4所示電樞控制式直流電動機，試以為輸入量，為輸出量的建立微分方程。精品.圖2-4 電樞控制式直流電動機

7、其中：是電動機電樞輸入電壓，是電動機輸出轉角，是電樞繞組的電阻，是電樞繞組的電感，是流過電樞繞組的電流，是電動機感應電勢，是電動機轉矩，是電動機及負載折合到電動機軸上的轉動慣量，是電動機及負載折合到電動機軸上的粘性摩擦系數。【解】 根據基爾霍夫定律，有根據磁場對載流線圈的作用定律，有其中，是電動機轉矩常數。根據電磁感應定律，有其中，是反電勢常數。根據牛頓第二定律，有得得電樞電感通常較小，若忽略不計，系統微分方程可簡化為當電樞電感，電阻均較小，都忽略時，系統微分方程可進一步簡化為【例2-10】試求圖2-5所示機械平動系統輸入為，輸出為時的傳遞函數精品. （a） （b）圖2-5 機械平動系統【解】

8、（a）根據牛頓第二定律，列寫動力學微分方程即進行拉氏變換并整理得（b）設b點位移為，根據b、c點力平衡關系列寫方程對于b點對于c點上面兩個方程兩邊同時進行拉氏變換（初始條件為0），有解上述方程組，得【提示】機械系統的建?？筛鶕ｎD第二定律或達朗伯原理推導。牛頓第二定律：一物體的加速度與其所受的合外力成正比，與其質量成反比，而且加速度與合外力同方向。達朗伯原理：作用在物體上的合外力與該物體的慣性力構成平衡力系。達朗伯原理用公式可表示為：，其中，是作用在物體上的合外力；是物體的加速度；是物體的質量；是物體的慣性力。對于機械系統的建模，取質量、彈簧、阻尼之間相關的連接點進行受力分析，并根據牛頓第二定

9、律建立該點處的力平衡方程；當有些連接點處的運動未知時，可認為是中間參考點，聯立方程后即可消去。精品.【例2-11】 齒輪傳動的動力學分析。設有如圖2-6a所示的齒輪傳動鏈，由電動機m輸入的扭矩為，l為輸出端負載，tl為負載扭矩。圖中所示的為各齒輪齒數，j1、j2、j3及q1、q2、q3分別為各軸及相應齒輪的轉動慣量和轉角。(a)原始輪系 (b)等效輪系圖2-6 齒輪傳動鏈【解】假設各軸均為絕對剛性，即，可得如下動力學方程式中 、傳動中各軸及齒輪的粘性阻尼系數；齒輪對的反轉矩；對的反轉矩；對的反轉矩；對的反轉矩；輸出端負載對的反轉矩，即負載轉矩。由齒輪傳動的基本關系可知于是可得 稱為等效轉動慣量

10、；精品. 稱為等效阻尼系數； 稱為等效輸出轉矩。將上式改為則圖2-6a所示的傳動裝置可簡化為圖2-6b所示的等效齒輪傳動?！纠?-12】畫出下列rc電路的方框圖。圖2-7 一階rc網絡【解】 利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得，對其進行拉氏變換得因此圖2-7即可轉換為圖2-8運算電路形式。圖2-8 一階rc網絡運算電路由此分別得到圖2-9a和2-9b，將圖2-9a和2-9b組合起來即得到圖2-9c，圖2-9c為該一階rc網絡的方框圖。 （a） （b） （c）圖2-9 一階rc網絡的方框圖【例2-13】 畫出下列rc網絡的方框圖，并求傳遞函數。精品.圖2-10 兩級rc濾波器電路【解】 （1

11、）首先根據電路定理列出方程，寫出對應的拉氏變換，也可直接將上圖轉化成運算電路圖的形式，如下圖圖2-11 兩級rc濾波器電路（2）根據列出的4個式子作出對應的框圖。（3）根據信號的流向將各方框依次連接起來。根據上述公式，畫出方框圖所以傳遞函數為由圖清楚地看到，后一級網絡作為前級網絡的負載，對前級-網絡的輸出電壓產生影響，這就是負載效應。如果在這兩極rc網絡之間接入一個輸入阻抗很大而輸出阻抗很小的隔離放大器，如圖2-11所示。圖2-11 帶隔離放大器的兩級rc網絡則圖2-11電路的方框圖為精品.【例2-14】 試化簡如圖2-12所示系統的方框圖，并求系統傳遞函數。圖2-12 例2-14圖【解】 用

12、方框圖等效變換法求解，a點后移，得所以，傳遞函數為【提示】：等效變換時，應將分支點（相加點）向另外的分支點（相加點）移動，一般不宜向另外的相加點（分支點）移動。【例2-15】化簡下面方框圖，求系統傳遞函數。精品.圖2-13 方框圖【解】方法一：設變量如上圖所示。由此可列寫出下列方程組上述方程組中，一共有4個方程，5個未知量，消去中間變量即可得出與之間的關系方法二：采樣梅遜公式，有4條前向通道和5個回環。4條前向通道，對應的余因子5個回環特征式由此可得系統的傳遞函數為可見，結果與方法一相同。方法三：用方框圖等效變換方法化簡如下：精品.可得系統的傳遞函數為結果與方法一、二均相同。梅遜公式的作用，可

13、以校驗方框圖化簡的結果是否正確。【例2-16】某復合控制系統的動態方框圖如圖2-14所示，求系統的傳遞函數。圖2-14 方框圖【解】用梅遜公式求解。本題有6條前向通路，其中第6條前向通路很容易被漏掉，需特別注意。有3個回環，回環間均有接觸。求解過程如下：精品.故【例2-17】用梅遜公式求圖2-15所示控制系統的傳遞函數。圖2-15 例2-17控制系統信號流圖【解】 此系統有7個單獨回環，即，和因此兩個互不接觸的回環有3種組合，即，及，所以三個互不接觸的回環只有1種組合，即由此可求特征式從源節點到匯節點有5條前向通道，由于5條前向通道與所有的回環均有接觸，因此將以上結果代入梅遜公式，可得系統的傳

14、遞函數精品.【例2-18】用梅遜公式求圖2-16所示系統信號流圖的傳遞函數及。圖2-16 例2-18系統信號流圖【解】 現用梅遜公式求取對應于同一個源節點a和不同阱節點的兩路傳遞函數。值得指出，對于給定的系統信號流圖，梅遜公式中的特征式是確定不變的，只是對于不同的源節點和阱節點，其前向通路和余因子式是不同的。此系統有3個單獨回環，即兩個互不接觸的回環有1種組合，即由此可求特征式從源節點到匯節點b有1條前向通道，因此將以上結果代入公式，可得系統的傳遞函數從源節點到匯節點d有2條前向通道，因此將以上結果代入梅遜公式，可得系統的傳遞函數【例2-19】 已知下列方程組：圖2-17 信號流圖試求傳遞函數

15、【解】 可先根據方程組畫出信號流圖如圖2-17所示，然后由梅遜公式就可求解。此系統有8個單獨回環，即兩個互不接觸的回環有6種組合，即三個互不接觸的回環只有1種組合，即由此可求特征式精品.有5條前向通道，因此將以上結果代入梅遜公式，可得系統的傳遞函數【例2-20】 控制系統方框圖如圖2-18所示，求：（1）由方框圖設置狀態變量，直接確定狀態空間表達式；（2）求出系統的傳遞函數，建立規范型狀態空間表達式。圖2-18 控制系統方框圖【解】 （1）由方框圖設置狀態變量直接確定狀態空間表達式，需要將方框圖進行適當變換，從而得到系統的狀態圖，進而得到狀態空間表達式。為此，須對系統中的各組成環節進行適當處理

16、，如圖2-19、圖2-20和圖2-21所示。圖2-19 慣性環節的狀態圖圖2-20 超前滯后環節的狀態圖精品.圖2-21 二階環節的狀態圖進而可以得到圖2-18對應的系統狀態圖，如圖2-22。圖2-22 控制系統狀態圖按圖2-22所示的狀態變量，可以得到系統的狀態空間表達式為（2）根據系統結構圖或由系統狀態圖利用梅遜公式，或由系統狀態空間表達式利用，均可以求出系統的傳遞函數。由此可以得到該系統的能控規范型狀態空間表達式和能觀規范型狀態空間表達式精品.【例2-21】 設描述系統輸入輸出關系的微分方程為（1）若選狀態變量為，試建立系統狀態方程；（2）若重選一組狀態變量和，使得，試建立系統在坐標系中

17、的狀態方程。【解】 （1）由系統微分方程可知矩形形式為系統矩陣a為友矩陣。（2）兩組狀態變量之間的關系為因此非奇異變換矩陣，此時狀態方程為對角線標準型。提示：該例說明了狀態變量和動態方程的非唯一性?！纠?-22】設控制系統的微分方程為試寫出系統的狀態空間表達式?！窘狻科渲?。則有因此，可得到系統的狀態空間表達式【例2-23】已知控制系統的狀態空間表達式為精品.其中，試求系統的傳遞函數矩陣。【解】根據式（2-27）即可求出系統的傳遞函數矩陣。（1）求（2）求系統的傳遞函數矩陣第三章【例3.1】 溫度計的傳遞函數為。現用該溫度計測量某容器中的水溫，發現經1分鐘后才能指示出實際水溫的96%，問：（1）

18、該溫度計的指示從實際水溫的10%變化到90%所需的時間是多少？（2）如果給該容器加熱，使容器內水溫以0.1的速度均勻上升，當定義時，溫度計的穩態指示誤差有多大？解：（1）溫度計是一個一階環節，指示實際水溫的10%變化到90%所需的時間就是溫度計指示值的上升時間。為此，必須首先計算溫度計的時間常數。溫度計的測溫指示過程為單位階躍響應，已知，故。所以。（2）水溫以0.1的速度均勻上升，表示輸入信號為斜坡信號，該一階系統是穩定的，故可以用拉式變換的終值定理計算穩態誤差。由精品.可得所以【例3.2】 某控制系統的微分方程為其中，。設初始條件為0，試求：（1）系統單位脈沖響應以及時的；（2）與時間對應的

19、系統單位階躍響應和單位斜坡響應的值。解：（1）由于初始條件為0，對微分方程取拉氏變換可得系統的傳遞函數當輸入為單位脈沖函數時，所以由，可得（2）系統的單位階躍響應為，所以系統的單位斜坡響應為，所以例【3.3】三個二階系統的閉環傳遞函數的形式都是它們的單位階躍響應曲線如圖3-7中的1、2、3。其中是系統1、2的調整時間，是峰值時間。在同一平面上畫出三個系統的閉環極點的相對位置，并說明理由。解 設3個系統對應的閉環極點分別是、。由圖知，故，且 (3-15)、在同一阻尼比線上。因，故有 (3-16)可見離虛軸比遠。由式(3-15)和式(3-16)可給出、的相對位置，如例圖3-8所示。精品. 圖3-7

20、 二階系統的響應曲線圖 圖3-8 閉環極點相對位置因，故有 (3-17)與的虛部相同。因，故，且 (3-18)根據式(3-17)和式(3-18)可繪出、，如例圖3-8所示。圖3-9 系統單位階躍響應注：本題主要是加深對二階系統性能指標的理解。例【3.4】典型二階系統單位階躍響應曲線如圖3-9所示。試確定系統的閉環傳遞函數。解 依題意，系統閉環傳遞函數形式為由圖3-9可見，系統單位階躍響應穩態值為2，所以系統峰值時間，超調量所以解得所以注：需要特別注意的是最大超調量的求取，另外二階系統最大超調量只與阻尼比有關，利用最大超調量求出，根據可求得，從而求得最終結果圖3-10 系統方框圖例【3.5】系統

21、方框圖如圖3-10所示，要求超調量，峰值時間精品.，求與。解 由，可求得，系統的開環傳遞函數為系統的閉環傳遞函數為故可以求得,例【3.6】設某控制系統方框圖如圖3-11所示，欲保證阻尼比和響應單位斜坡函數的穩態誤差，試確定系統參數、圖3-11 系統結構圖解 由圖3-11求得系統的開環傳遞函數為 (3-19)根據圖3-11及式(3-19)，計算作用下系統的穩態誤差為 (3-20)按題意，由式(3-20)得 (3-21)根據圖3-11及式(3-19)求得給定系統的閉環傳遞函數為 (3-22)由式(3-22)求得 (3-23)精品. (3-24)按題意，由式(3-24)求得 (3-25)最終由式(3

22、-21)及式(3-25)解出待確定參數【例3.7】 某控制系統如圖3-12所示。圖3-12 控制系統結構圖（1）當時，求系統的脈沖響應函數；（2）為使系統具有阻尼比，試確定的值，并計算單位階躍輸入時的超調量、上升時間、調整時間和穩態誤差定義誤差。解：（1）當時，控制系統的閉環傳遞函數為其脈沖響應函數為（2）當時，控制系統的閉環傳遞函數為其特征方程為由得。因為，所以由得。在單位階躍輸入下，系統輸出響應的超調量為上升時間為取誤差帶為穩態值的時，調整時間為系統的單位階躍響應為精品.穩態誤差為例【3.8】單位反饋系統的開環傳遞函數為若系統單位階躍響應以的頻率振蕩，試確定振蕩時的和值。解 依題意，系統處

23、于臨界穩定狀態()，閉環系統必有一對純虛根對應在勞斯表中必然出現某一行的第一列元素或該行全部元素為零的情況。系統閉環特征方程為列勞斯表令第3行第1列元素為0，有 (3-26)由第2行元素構成輔助方程解出 (3-27)聯立方程式(3-26)和式(3-27)，解出,圖3-13 系統框圖例【3.9】系統方框圖如圖3-13所示。希望所有特征根均位于平面上的左側，且。用陰影線表示出特征根在平面上的分布范圍，并求出相對應的、的取值范圍。解 令，則特征根的分布范圍見例圖3-14所示精品.令，得由特征方程知，系統穩定的條件是特征根的實部是，令，得由此可繪出所要求得參數范圍，如圖3-15所示。 圖3-14特征根

24、分布范圍 圖3-15 參數取值范圍例【3.10】單位負反饋系統得開環傳遞函數為要求系統閉環穩定時穩定，試確定和的范圍，并在的直角坐標圖上標出穩定區域。解 系統閉環特征方程為列勞斯表圖3-16 參數取值范圍圖閉環穩定時，應有故有精品.從而、的取值范圍見圖3-16的陰影所示?！纠?.11】 某單位反饋隨動系統的開環傳遞函數為試計算閉環系統的動態性能指標和值。解：這是一個高階系統，我們注意到極點-500離虛軸的距離較極點，離虛軸遠得多，這個極點對閉環系統瞬態性能的影響很小，因此，可以忽略該極點，而使系統近似為二階系統。近似原則如下：（1）保持系統的穩態值不變；（2）瞬態性能變化不大。根據這個原則，原

25、開環傳遞函數近似為近似后的閉環傳遞函數為所以則提示：該例為高階系統近似為二階系統的方法，請注意近似原則。例【3.12】 討論特征方程問其中有多少根的實部落在開區間內？解 分析 系統特征根有3個。首先用勞斯判據判斷有幾個根不在左半平面，然后再作代換，判斷有幾個根不在之左面，便可得出結論。列勞斯表可見在右半平面不存在不穩定根。令代入特征方程整理后有列勞斯表精品.可見第一列元素變號3次，3個根全部位于的右面。因此得出結論：3個根得實部全部位于開區間之內。例【3.13】 已知圖3-17所示系統，定義誤差。（1）問當時，系統對是幾型的？（2）若使系統對為i型，試選擇的值。解 系統是非單位反饋的，在結構圖

26、上誤差不能直接得到。因此需要構造一個與原系統等價的單位反饋系統，如圖3-18所示。系統閉環傳遞函數為設等價的單位反饋系統的開環傳遞函數為，則要使系統成為i型，應有所以另外，為使系統穩定，應有， 圖3-17 系統結構圖 圖3-18 系統結構圖【例3.14】 設單位反饋系統的開環傳遞函數為（1）閉環系統穩定時值的范圍；（2）若要閉環特征方程的根的實部均小于1，問的取值范圍。解：閉環特征方程為即精品.（1）列勞斯陣如下欲使系統穩定，只需解得 （2）若要求特征根實部均小于，可令，將平面映射為平面，只要特征根全部位于平面的左半平面即可。整理得列勞斯表欲使的根全處于的左半平面，則要求解得即值處于這個范圍，

27、可使的根實部全小于1。此時可以認為系統具有1的穩定裕度。提示：該例顯示了利用勞斯判據確定系統相對穩定性的方法?！纠?.15】 設系統結構圖如圖3-19所示，試確定閉環系統的穩定性。圖3-19 系統結構圖解：閉環系統的傳遞函數為精品.可見：閉環系統有一個極點在右半平面，系統是不穩定的。注意：本題若用下式求特征多項式那么特征多項式只有一個左半平面的根（）可判得閉環系統是穩定的。但這是錯誤的因為這時出現了和零點、極點抵消的情況，抵消的結果使閉環系統丟失了一個極點（）。因此在判斷閉環穩定性時，碰到有零點、極點抵消的情況，不要抵消，否則，就會出現錯誤的結果?！纠?.16】 閉環控制系統的結構圖如圖3-2

28、0所示。試求滿足下列條件的三階開環傳遞函數，應滿足的條件：（1），為開環放大系數；（2）由單位階躍函數輸入引起的穩態誤差為零；（3）閉環系統的特征方程為。圖3-20 系統結構圖解：由單位階躍引起的誤差為由題意知穩態誤差為所以 則分母的常數項應為零。設 則閉環系統傳遞函數為特征方程式為比較系數得，即精品.【例3.17】 有一位置隨動系統，結構圖如圖3-21所示。，。（1）求系統的開環和閉環極點；（2）當輸入量為單位階躍函數時，求系統的自然振蕩角頻率，阻尼比和系統的動態性能指標，。圖3-21 系統結構圖解：系統的開環和閉環傳遞函數分別為和（1）開環極點為，令解得閉環極點為（2）將閉環傳遞函數寫成標

29、準形式有，解得 ，系統的動態指標為提示：該例顯示了典型二階系統極點、系統參數和動態性能指標的計算方法?！纠?.18】 某單位反饋控制系統的開環傳遞函數為確定使系統閉環輸出響應為持續振蕩時的值及響應的振蕩頻率。解：（1）求值。系統閉環特征方程為列出勞斯表精品.欲使系統保持閉環持續振蕩，行的元素應全為0，即從而解得。（2）求振蕩頻率。振蕩角頻率可由輔助方程求得。【例3.19】 已知單位反饋控制系統的開環傳遞函數如下。試求其靜態位置、速度和加速度誤差系數，并求當輸入信號為（a）；（b）；（c）；（d）時系統的穩態誤差。（1）（2）解：首先判斷系統的穩定性。系統的閉環特征方程為由勞斯判據可知系統是穩定

30、的。系統為1型，開環放大系數為?？梢郧蟮渺o態誤差系數為所以給定輸入信號下的穩態誤差計算如下：（a）；（b）；（c）；（d）。（2）判斷系統的穩定性。系統的閉環特征方程為由勞斯判據可知系統是不穩定的。因此不能定義靜態誤差系數，也談不上求穩態誤差。精品.說明：可以利用終值定理計算（1）中的穩態誤差。在第一個系統中，誤差信號可以表示為以斜坡輸入為例，所以第四章例4-1 設負反饋系統的開環傳遞函數為試繪制該系統的根軌跡圖。解 漸近線與實軸的交點漸近線與實軸正方向的夾角為分離點與會合點由得可以驗證這兩個點均為根軌跡上的點。從而根軌跡圖如圖4-1所示。注意該題的根軌跡不要畫成圖4-2的形式 圖4-1 圖4

31、-2例4-2 已知反饋控制系統的開環傳遞函數為試分別畫出時系統的根軌跡。解：（1）根軌跡基本情況分析。開環傳遞函數有3個極點為0，0和，1個零點為。所以實軸上的根軌跡在區間之內。一般情況下，根軌跡應有3支，其中2支趨向于無窮遠。因此在區間精品.可能有分離點、會合點。（2）求分離點、會合點的存在條件。特征方程可以改寫為由，得，即，經整理得解得所以分離點、會合點存在的條件是，即或（3）的情形。此時的分離點、會合點為。根軌跡如圖4-3(a)所示（4）的情形。此時的分離點、會合點為。根軌跡如圖4-3(b)所示（5）的情形。此時沒有分離點和會合點。根軌跡如圖4-3所示。（6）的情形。此時極點和零點相消，

32、開環傳遞函數化簡為。如圖4-3(d)所示，根軌跡是與虛軸重合的直線。不過需要注意的是，盡管位于的極點和零點相消，但并不意味著系統已經失去這些極點和零點。開環系統中可以相消的極點和零點永遠是閉環系統的極點和零點。所以根軌跡的第3條分支退化成位于的一個點。 (a) (b) (c) (d)圖4-3 系統根軌跡圖說明：（1）在可變參數的某些變化區間，參數微小的變化可能導致根軌跡很大的變化。本例參數在附近變化時，根軌跡就有根本的不同。所以在徒手畫根軌跡而又無十分把握時，不要想當然，最好代入幾個試驗點核實一下。精品.（2）分離點、會合點意味著重極點。在的根軌跡圖中，處有3支根軌跡進入該點，有3支根軌跡離開

33、該點，進入和離開該點的根軌跡分支間隔排列，切線方向的夾角為。這樣的分離點和會合點代表3重極點。進入和離開該點的根軌跡切線方向的夾角為。例4-3 已知一單位負反饋控制系統的開環傳遞函數為試以為變量證明部分根軌跡為圓，并求分離點和會合點。解 分析：該題主要是考察根軌跡的幅值條件和相角條件，只有滿足以上條件的點才是根軌跡上的點。按相角條件即等式兩邊取得圖4-4 系統根軌跡圖化簡上式，得整理后得此式表明，部分根軌跡為圓心在，半徑為的圓。由以上圓的方程得分離點為會合點為根軌跡圖如圖4-4所示。此題也可按式精品.求根軌跡方程將代入得由，得化簡上式得即與按相角條件求得的結果相同。例4-4某系統開環傳遞函數為

34、試繪制系統根軌跡，并確定使系統穩定得開環增益范圍。解 分析 該系統為非最小相位系統，就是在右側具有開環零、極點的系統。反之如果系統的所有開環零、極點都位于平面的左側，則稱為最小相位系統。繪制非最小相位系統根軌跡的法則不變（1）開環零、極點，（）（2）實軸上的根軌跡，（3）漸近線 （4）分離點可見分離點方程為高次，求解困難，可用估算法進行分析。方程中第3項和第4項（即和）較小，可以忽略，則分離點方程經整理可得解得，精品.而準確值為和，誤差為在工程上是允許的。（5）起始角由對稱性得（6）與虛軸交點 用勞斯判據求解，系統特征方程為列勞斯表圖4-5 系統根軌跡圖1)令第1列中項系數為零，可以得到系統臨

35、界穩定時的值，即解得，2)由勞斯表中一行的系數組成輔助方程，可以求得根軌跡與虛軸的交點值。輔助方程為解得 （對應時）（對應時）則繪制系統的根軌跡如圖4-5所示。又所以使系統穩定的開環增益范圍是即評注 （1）若要正確繪制根軌跡圖，只要按照基本法則計算即可。再上圖中，出發的兩條根軌跡，其形狀可由起始角和分離點決定；由出發的兩條根軌跡，其形狀可由與虛軸的交點和漸近線決定（2）凡開環增益或在某一范圍穩定的系統稱為條件穩定系統。例4-5 已知系統的開環傳遞函數為精品.（1）繪制系統的根軌跡圖；（2）為使系統的階躍響應呈現衰減振蕩形式，試確定值范圍。解 分析繪制系統根軌跡圖不難，可以利用繪制規則進行繪制，

36、本題中需要注意的是，繪制根軌跡圖的開環傳遞函數是利用寫成零極點形式的開環傳遞函數，所以本題首先需要進行變換，然后利用繪制規則進行繪制；系統的階躍響應出現衰減振蕩的形式也就是說，系統的根軌跡處于復平面時對應的值范圍。(1) 繪制系統的根軌跡系統的開環傳遞函數為其中，1）開環極點（）：，；無開環零點；因此3條根軌跡分支將趨于無窮遠點。2）實軸上根軌跡為區間段。3）漸近線與實軸夾角為漸近線與實軸交點為4）分離點，根據，可得，解得，可以驗證不滿足相角條件，所以為系統分離點，對應的5）根軌跡與虛軸交點，利用勞斯判據系統特征方程式為列勞斯表 圖4-6 系統根軌跡圖第一列出現零時，即時系統處于臨界穩定，其對

37、應的臨界開環增益為相應的輔助方程為對應的求交點也可用如下方法令，代入特征方程得，解得精品.根據以上條件，可以繪制出系統根軌跡圖如圖4-6所示。(2)系統具有衰減振蕩時的值即為根軌跡在復平面內時對應的范圍系統根軌跡處于分離點時（與虛軸相交時，所以，系統具有衰減振蕩時值范圍為例4-6 應用根軌跡法確定如圖4-7所示系統無超調響應的值范圍。解 從圖 求得系統的開環傳遞函數為圖4-7 系統結構圖化成標準形式，得式中從而可以利用根軌跡繪制規則，繪制根軌跡（1）系統有兩個開環極點；以及一個開環零點。因為，系統具有兩條根軌跡其中一條趨于無窮遠處。（2）漸近線與實軸正方向的夾角（3）計算根軌跡在實軸上的分離點

38、和會合點坐標。由計算根軌跡在實軸上的分離點與會合點坐標的關系式求得圖4-8 系統根軌跡圖式中為分離點或會合點坐標。因為分離點與會合點均位于實軸，所以為實數。將、及代入上式，經整理得解得分離點坐標及會合點坐標。給定系統的根軌跡圖如圖4-8所示，它的一部分是一個以零點為圓心、以零點到分離點（或會合點）的距離為半徑的圓。（4）確定給定系統無超調響應的值范圍。系統無超調響應意味著系統的特征根全部為實數。為此，首先寫出系統特征方程式精品.從圖4-8可見，在根軌跡圖上的0至段及至段。兩個區段對應的值分別為0至及至，其中為分離點對應的值，而為會合點對應的值。顯然，及為會合點對應的值。顯然，及是使系統無超調響

39、應時取值范圍的兩個邊界值。由特征方程式解出分別將及代入上式，求得邊界值由此求得系統無超調響應的值范圍是例4-7 已知某負反饋控制系統的開環傳遞函數為試求：（1） 繪制根軌跡并證明復平面上根軌跡部分為圓；（2） 系統呈現欠阻尼狀態時的開環增益范圍；（3） 系統最小阻尼比時的閉環極點。解 （1）繪制根軌跡1） 開環零極點，（）2）實軸上根軌跡3） 分離點會合點由，根據得可以求得，令為根軌跡上任意一點，代入特征方程則有整理得做出的根軌跡如圖4-9所示。由圖可見復平面根軌跡為圓，圓心坐標為，半徑為。（2）求系統欠阻尼時的范圍。先由特征方程求出分離點處的圖4-9系統根軌跡圖解得精品.，因為所以對應的開環

40、增益分別為，即欠阻尼狀態時的開環增益范圍為（3）求最小阻尼比時的閉環極點。在根軌跡圖上作圓的切線于a點（a點即為所求極點位置），由相似三角形關系得又所以故對應最小阻尼狀態時得閉環極點為例4-8 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為，要求系統的閉環極點有一對共軛復極點，其阻尼比為。試確定開環增益，并近似分析系統的時域性能。解 ，；根軌跡分離點為，對應的與虛軸的交點為，對應的，其根軌跡圖見圖4-10所示設復極點為根據阻尼比要求圖4-10 系統根軌跡圖先試湊性地取，得；此時不滿足相角條件，因為，所以要使加大，使與開環極點形成的角度加大。取，則，此時；繼續加大，取精品.，則，此時。因此共軛復數極點為，此時

41、根據根軌跡的根之和規則可得另一極點為，由此可以認為是系統的主導極點。系統的閉環傳遞函數可近似的表示為可以近似地運用典型二階系統估算系統的時域性能指標超調量調節時間例4-9 一具有單位反饋的電液伺服系統，其開環傳遞函數為（1）試繪制從0變化到時的根軌跡（2）求阻尼比時，系統的主導極點及其對應的開環增益為何值解（1）繪制根軌跡根軌跡對稱實軸：，有四條根軌跡分支，分別起始于；終止于無窮遠，因為沒有有限的零點。實軸上的根軌跡：在0，3之間存在根軌跡。漸近線：有四條漸近線與實軸夾角為與實軸交點為分離點：系統特征方程可改寫為由，得，即，解得和因為位于實軸起始于0，的根軌跡上，故必為分離點。而不滿足幅角條件

42、，故不是分離點分離點對應的值為離開復數極點的起始角：離開復數極點的起始角為精品.故的起始角根軌跡與虛軸交點：利用勞斯判據校驗始于的兩條軌跡是否與虛軸相交。已知系統特征方程為列勞斯表可見，根軌跡分支在值為的情況下，與虛軸相交。由此得圖4-11 系統根軌跡圖時，由行得系數構成得輔助方程為由此得根據上述求得的數據，繪制在圖4-11中，即得到系統的根軌跡。由圖可見，當時，平面的右半部有兩個閉環極點，故系統不穩定。（2）求時系統的主導極點及系統開環增益由，求得作與負實軸成角的阻尼線（線），與根軌跡相交于點，處于根軌跡線上的點亦滿足幅角條件。所以該點，即為系統主導極點。該主導極點對應的參變量，即根軌跡增益

43、值：各極點到該點距離的乘積所以對應主導極點處的系統開環增益為例4-10 已知單位負反饋系統的開環傳遞函數為試繪制以為參變量的參量根軌跡的大致圖形。解 （1）可以求得給定系統的特征方程式為精品.進一步整理，用不含的多項式除方程的兩邊，得式中上式已經具有常規根軌跡的標準形式，可以利用常規根軌跡的繪制法則，繪制系統根軌跡。（2）系統等效開環傳遞函數，故給定系統對于具有三條根軌跡及三條漸近線。三條漸近線在實軸上交點的坐標為三條漸近線與實軸正方向的夾角分別為。（3）根據方程式圖4-12 系統根軌跡圖計算根軌跡與實軸相交處（分離點）的坐標，得（4）在給定系統得特征方程式中，令，求得方程組可以解出根軌跡與虛

44、軸相交處的值為從而解得給定系統參量根軌跡的大致圖形如圖4-12所示。從圖可見，參量時的系統是不穩定的。例4-11 （華中科技大學出版社）設單位反饋系統的開環傳遞函數為精品.（1）畫出變化時閉環系統的根軌跡；（2）求出系統處于臨界穩定和臨界阻尼時的值；（3）求出當時，閉環系統的單位階躍響應。解 （1）系統的特征方程為以不含的項除方程兩邊，得該方程可進一步改寫成圖4-13 系統根軌跡圖式中系統得等效開環傳遞函數為由此可畫出為變量的廣義根軌跡。由方程可知，該廣義根軌跡滿足相角條件。實軸上的根軌跡為，令代入相角條件有兩邊取正切，得兩邊取正切，得整理并配方，得上式為一圓方程，故復平面上得根軌跡是以極點為

45、圓心，以為半徑得圓周。根軌跡如圖4-13所示。用同樣的方法可以證明：由兩個極點（或零點）和一個實數零點（或極點）構成的開環系統，只要零點（或極點）不在這兩個極點（或零點）之間，則復平面上的根軌跡是一個以零點（或極點）為圓心，零點（或極點）到分離點的距離為半徑的圓或圓弧。精品.（2）由勞斯判據可求出系統臨界穩定時的兩個根，相應的。系統臨界阻尼時的閉環極點可以由分離點方程求出，此題也可在圓方程中，令，得到解得，這兩個點就是根軌跡的分離點。（3）時，系統的閉環傳遞函數為單位階躍響應為例4-12 已知單位負反饋系統的閉環傳遞函數為要求：（1）繪出閉環系統的根軌跡（）（2）判斷點是否在根軌跡上；（3）由

46、根軌跡求出使閉環系統阻尼比時的值解 （1）本題給出的是閉環傳遞函數，所以系統閉環特征多項式為圖4-14 系統根軌跡圖構造等效開環傳遞函數畫出根軌跡如圖4-14所示。它是以原點為圓心，半徑為4的圓弧。（2）點到原點的距離為故不在根軌跡上。（3）令，得例4-13 設某正反饋系統的開環傳遞函數為精品.繪制該系統根軌跡的大致圖形。解 因為系統為正反饋系統，所以需按根軌跡繪制法則來繪制給定正反饋系統的根軌跡。系統具有三個開環極點，以及一個開環零點（1）根據根軌跡繪制法則，實軸上的段及段為根軌跡的一部分。（2）由于開環極點數與開環零點數之差為2，所以根軌跡具有兩條漸近線，其與實軸正方向的夾角可按下式計算（

47、3）根軌跡始于開環共軛復數極點的出射角為（4）根軌跡與實軸相交點（會合點）距離虛軸距離可由下式計算上列方程式的唯一實數解，因此，根軌跡與實軸會合點坐標為（5）根軌跡與虛軸交點坐標及相應開環增益值的計算。由給定系統的特征方程式圖4-15 系統根軌跡圖令，解出可以求得對應的開環增益為上式說明，當開環增益在范圍內取值時，給定正反饋系統是穩定的；當時，該系統將變為不穩定。圖 4-16 系統結構圖例4-14 已知含有延遲環節的系統框圖如圖所示。試繪制系統的根軌跡。解 延遲系統的閉環傳遞函數特征方程為精品.因此，延遲系統的幅值條件 （4-9）幅角條件 （4-10）式中，于是上式又可寫成 （4-11）首先求

48、時的根軌跡，此時幅角條件又可寫成 （4-12）具體步驟如下（1）求根軌跡漸近線。由式（4-9）可知：在或時，。此時漸近線由式（4-12）可得所以故漸近線即為實軸。而在時，,此時漸近線方程為所以（2）求實軸上的根軌跡由式（4）可知，當時，只要，均滿足幅角條件，所以在實軸上原點已左是根軌跡。（3）求根軌跡在實軸上的分離點令則（4）求根軌跡與虛軸的交點由于含有滯后環節，開環傳遞函數是超越函數，故一般只能用試湊法求取。該題由于形式簡單，可以根據幅值條件進行求解。若根軌跡在虛軸上，則有精品.故（5）求平面上其它各點軌跡其它各點可根據式（4-12）幅角條件求取。由于、均為未知數，只要規定了其中任何一個，另一個便可由幅角條件求解出。例如，設計，在處作一條平行于實軸的直線，然后再作一與實軸成夾角的直線，則兩直線的交點就是根軌跡上的點。這樣，根據上面求得的數據就可繪制出延遲系統的根軌跡圖如圖4-17（a）所示。這一時的根軌跡稱之為主導根軌跡。根軌跡上任何一點的值可根據幅值條件求得，即因此，系統穩定的邊界條件是。（6）當取時，延遲