1、精品好資料學習推薦二次根式知識點總結及常見題型一、二次根式的定義形如（0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根號,叫做被開方數.（1）二次根式有意義的條件是被開方數為非負數.據此可以確定字母的取值范圍;（2）判斷一個式子是否為二次根式,應根據以下兩個標準判斷:是否含有二次根號“”;被開方數是否為非負數.若兩個標準都符合,則是二次根式;若只符合其中一個標準,則不是二次根式.（3）形如（0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系數,它表示的是:（0）;（4）根據二次根式有意義的條件,若二次根式與都有意義,則有.二、二次根式的性質二次根式具有以下性質:（1）雙重非負性:0,0;（主要用于字母的求

2、值）（2）回歸性:（0）;（主要用于二次根式的計算）（3）轉化性:.（主要用于二次根式的化簡）重要結論:（1）若幾個非負數的和為0,則每個非負數分別等于0.若,則.應用與書寫規范:,0,0,0 .該性質常與配方法結合求字母的值.（2）;主要用于二次根式的化簡.（3）,其中0;該結論主要用于某些帶系數的二次根式的化簡:可以考慮把二次根號外面的系數根據符號以平方的形式移到根號內,以達到化簡的目的.（4）,其中0. 該結論主要用于二次根式的計算.例1. 式子在實數范圍內有意義,則的取值范圍是_.分析:本題考查二次根式有意義的條件,即被開方數為非負數,注意分母不能為0.解:由二次根式有意義的條件可知:

3、,.例2. 若為實數,且,化簡:.分析:本題考查二次根式有意義的條件,且有重要結論:若二次根式與都有意義,則有.解:0,01,1.習題1. 如果有意義,則實數的取值范圍是_.習題2. 若,則_.習題3. 要使代數式有意義,則的最大值是_.習題4. 若函數,則自變量的取值范圍是_.習題5. 已知,則_.例3. 若,則的值等于 【 】（A） （B）0 （C）1 （D）2分析:本題考查二次根式的非負性以及結論:若幾個非負數的和為0,則每個非負數分別等于0.解:0,0.選擇【 D 】.例4. 無論取任何實數,代數式都有意義,則的取值范圍是_.分析:無論取任何實數,代數式都有意義,即被開方數0恒成立,所

4、以有如下兩種解法:解法一:由題意可知:0000,9.解法二:設無論取任何實數,代數式都有意義0恒成立即拋物線與軸最多有一個交點0解之得:9.例5. 已知是ABC的三邊長,并且滿足,試判斷ABC的形狀.分析:非負數的性質常和配方法結合用于求字母的值.解:0,0,0ABC為直角三角形.習題6. 已知實數滿足,則以的值為兩邊長的等腰三角形的周長為 【 】（A）20或16 （B）20（C）16 （D）以上答案均不對習題7. 當_時,取得最小值,這個最小值為_.習題8. 已知,則的值為_.習題9. 已知非零實數滿足,求的值.提示:由0,且可得:0,5.例6. 計算:（1）; （2）; （3）.分析:本題

5、考查二次根式的性質:（0）.該性質主要用于二次根式的計算.解:（1）;（2）;（3）.注意:,其中0.該結論主要用于二次根式的計算.例7. 化簡:（1）; （2）; （3）.分析:本題考查二次根式的性質:.該性質主要用于二次根式的化簡.解:（1）;（2）;（3）原式.注意:結論:.該結論主要用于二次根式和絕對值的化簡.例8. 當有意義時,化簡:.解:二次根式有意義03例9. 化簡:.分析:,繼續化簡需要的取值范圍,而取值范圍的獲得需要挖掘題目本身的隱含條件:的被開方數為非負數.解:由二次根式有意義的條件可知:03例10. 已知,化簡_.解:例11. 已知直線（是常數）, 如圖（1）,化簡.解:

6、由函數的圖象可知:例12. 已知在數軸上的位置如圖（2）所示,化簡:.解:由數軸可知:習題10. 要使,的取值范圍是_.習題11. 若,則的取值范圍是_.習題12. 計算:_.習題13. 計算:_.習題14. 若成立,則的取值范圍是_.習題15. 下列等式正確的是 【 】（A） （B）（C） （D）習題16. 下列各式成立的是 【 】（A） （B）（C） （D）習題17. 計算:_.習題18. 化簡:_.習題19. 若_.習題20. 已知,化簡得_.習題21. 實數在數軸上對應的點如圖（3）所示,化簡代數式:的結果為 【 】（A） （B）（C） （D）習題22. 化簡:.例13. 把中根號外的

7、因式移到根號內,結果是 【 】（A） （B） （C） （D）分析:本題實為二次根式的化簡:某些二次根式在化簡時,把根號外的系數移到根號內,可以達到化簡的目的,但要注意根號外面系數的符號.有如下的結論:,其中0.解:由二次根式有意義的條件可知:.選擇【 D 】.習題23. 化簡得_.三、二次根式的乘法 一般地,有:（0,0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的條件:0,0.即參與乘法運算的每個二次根式的被開方數均為非負數;（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的計算;（3）兩個帶系數的二次根式的乘法為:（0,0）;（4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:（0,0）公式的逆用主要用于二次根

8、式的化簡.注意公式逆用的條件不變.例14. 若成立,則 【 】（A）6 （B）06（C）0 （D）為任意實數分析:本題考查二次根式乘法公式成立的條件:（0,0）解:由題意可得:解之得:6.選擇【 A 】.例15. 若成立,則的取值范圍是_.分析:本題考查二次根式乘法公式逆用成立的條件:（0,0）解:由題意可得:解之得:1.例16. 計算:（0）.解:（0）.習題24. 計算:_.習題25. 已知,則有 【 】（A） （B）（C） （D）習題26. 化簡的結果是_.四、二次根式的除法 一般地,有:（0,）（1）以上便是二次根式的除法公式,要特別注意公式成立的條件;（2）二次根式的除法公式用于二次

9、根式的計算;（3）二次根式的除法公式可寫為: （0,）;（4）二次根式的除法公式可逆用,即有:（0,）公式的逆用主要用于二次根式的化簡,注意公式逆用的條件不變.五、最簡二次根式 符合以下條件的二次根式為最簡二次根式:（1）被開方數中不含有完全平方數或完全平方式;（2）被開方數中不含有分母或小數.注意:二次根式的計算結果要化為最簡二次根式.六、分母有理化 把分母中的根號去掉的過程,叫做分母有理化.如對進行分母有理化,過程為:;對進行分母有理化,過程為:.由舉例可以看出,分母有理化是借助于分數或分式的性質實現的.例17. 計算:（1）; （2）; （3）.解:（1）;（2）;（3）.例18. 化簡

10、:（1）; （2）; （3）（）.解:（1）;（2）;（3）注意:隨著學習的深入,在熟練時某些計算或化簡的環節可以省略,以簡化計算.例19. 式子成立的條件是_.分析:本題求解的是的取值范圍,考查了二次根式除法公式逆用成立的條件:（0,）.解:由題意可得:解之得:.例20. 計算:（1）; （2）; （3）.解:（1）;（2）;（3）解法1:.解法2:.二次根式的乘除混合運算例21. 計算:（1）; （2）.解:（1）原式（2）原式.習題27. 下列計算正確的是 【 】（A） （B）（C） （D）習題28. 計算:_.習題29. 計算:_.習題30. 直線與軸的交點坐標是_.習題31. 如果,

11、那么下面各式:; ; .其中正確的是_（填序號）.習題32. 若,則化簡的結果是_.習題33. 計算:（1）; （2）.例22. 先化簡,再求值:,其中.解:當時原式.習題34. 先化簡,再求值:,其中.習題35. 先化簡,再求值:,其中.習題36. 下列根式中是最簡二次根式的是 【 】（A） （B） （C） （D）例23. 觀察下列各式:（1）請利用上面的規律直接寫出的結果;（2）請用含（為正整數）的代數式表示上述規律,并證明;（3）計算:.分析:本題考查分母有理化.解:（1）;（2）;（3）原式習題37. 化簡:.七、同類二次根式 如果幾個最簡二次根式的被開方數相同,那么它們是同類二次根式.同類二次根式的判斷方法:（1）先化簡二次根式;（2）看被開方數是否相同;（3）定結果:若相同,則它們是同類二次根式;若不相同,則不是.同類二次根式的合并方法: 幾個同類二次根式相加減,將它們的系數相加減,二次根式保持不變.八、二次