1、sn=na1+d求數列前n項和的8種常用方法一.公式法（定義法）：1.等差數列求和公式：n(a1+an)n(n+1)22特別地，當前n項的個數為奇數時，s2k+1=(2k+1)ak+1，即前n項和為中間項乘以項數。這個公式在很多時候可以簡化運算；2.等比數列求和公式：（2）q1，sn=a11-qn(（1）q=1，sn=na1；1-q)，特別要注意對公比的討論；（1）k=1+2+3+l+n=1n(n+1)；2（2）k2=12+22+32+l+n2=1n(n+1)(2n+1)=1n(n+1)(n+1)；（3）k3=13+23+33+l+n3=n(n+1)2；3.可轉化為等差、等比數列的數列；4.常

2、用公式:nk=1n632k=1nk=12（4）(2k-1)=1+3+5+l+(2n-1)=n2.例1已知logx=，求x+x2+x3+xn的前n項和.log3解：由logx=log32(1-)2x(1-xn)nk=1-132-11logx=-log2x=3332由等比數列求和公式得s=x+x2+x3+l+xnn112n1-x11-2112n例2設s=1+2+3+n，nn*,求f(n)=的最大值.解：易知s=n(n+1)，ssnn(n+32)sn+111n+1=2n2(n+1)(n+2)f(n)=sn(n+32)sn+1nn2+34n+641n+34+64n(n-18n)2+50150，即n=8

3、時，f(n)max=.當n-81850例4函數f(x)=，求f(1)+f(2)+f(2012)+f+f+f(1)的值.+f二.倒序相加法:如果一個數列a，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數，那么求這n個數列的前n項和即可用倒序相加法。如：等差數列的前n項和即是用此法推導的，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a+a).1n例3求sin21o+sin22o+sin23o+sin288o+sin289o的值解：設s=sin21o+sin22o+sin23o+sin288o+sin289o將式右邊反序得s=sin289o+sin288o+sin23o+

4、sin22o+sin21o（反序）又因為sinx=cos(90o-x),sin2x+cos2x=1+得（反序相加）2s=(sin21o+cos21o)+(sin22o+cos22o)+(sin289o+cos289o)89s44.5x111+1+x201220112解：由題可知，(2n-1)xn-1的通項是等差數列2n-1的通項與等比數列xn-1的通項之積三.錯位相減法：適用于差比數列（如果a等差，b等比，那么ab叫做差比數列）即把每一項nnnn都乘以b的公比q，向后錯一項，再對應同次項相減，即可轉化為等比數列求和.n如：等比數列的前n項和就是用此法推導的.例5求和：s=1+3x+5x2+7x

5、3+(2n-1)xn-1n設xs=1x+3x2+5x3+7x4+(2n-1)xn（設制錯位）n得(1-x)s=1+2x+2x2+2x3+2x4+2xn-1-(2n-1)xn（錯位相減）n即：(1-x)s=1+2xn1-xn-11-x-(2n-1)xns=n(2n-1)xn+1-(2n+1)xn+(1+x)(1-x)2變式求數列,2462n,232222n,前n項的和.的通項是等差數列2n的通項與等比數列解：由題可知，設s=+222232nn2n2n2462n+12n的通項之積12462ns=+2342n2222n+1（設制錯位）得，(1-)s=+222223242n2n+11222222n+-

6、n（錯位相減）=2-12n-2n-12n+1s=4-nn+22n-1，其中an是各項不為0然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.適用于aa四.裂項相消法:即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限幾項，可求和。這是分解與組合思想（分是為了更好地合）在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，cnn+1的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。其基本方法是a=f(n+1)-f(n).n常見裂項公式：=1(1-1)；1=(-)（a的公差為d）；111=1-1，1aadaan(n+1)nn+1n(n+k)knn+k-a).（根式在分母上時可考慮利用

7、分母有理化，因式相消求和）；（3）a+ad（1）（2）1nn+111=(an+1nnn+1nn+1n1=11-1；n(n-1)(n+1)2n(n+1)(n+1)(n+2)=(-)；a=(2n-1)(2n+1)22n-12n+1=1+(-)；（4）a=n1111n(2n)2111(2n-1)(2n+1)22n-12n+1（5）a=n+2=-,則s=1-；n(n+1)2nn(n+1)2nn2n-1(n+1)2n(n+1)2n12(n+1)-n1111=nn（6）sin1ocosnocos(n+1)o=tan(n+1)o-tanno；（7）n；=1-1(n+1)!n!(n+1)!（8）常見放縮公式：

8、2(n+1-n)=2n+1+n12nn+n-1=2(n-n-1).1+2,n+n+1,的前n項和.例6求數列112+3,1解：設a=n1n+n+1=n+1-n（裂項）則s=（裂項求和）1+22+3n+n+1例7求和s=.133557(2n-1)(2n+1)111+n(2-1)+(3-2)+(n+1-n)n+1-11111+n例8在數列a中，a=n+1n+1n+1解：a=+=n+1n+1n+12，又b=，求數列b的前n項的和.aan12n+nn12nnnnnn+12b=8(-)（裂項）nn+1nn+1s=8(1-)+(-)+(-)+(-)（裂項求和）22334nn+18(1-)211n22數列b

9、的前n項和n1111111n1n+18nn+1例9求證：111cos1o+=cos0ocos1ocos1ocos2ocos88ocos89osin21o解：設s=+111cos0ocos1ocos1ocos2ocos88ocos89osin1ocosnocos(n+1)o=tan(n+1)o-tanno（裂項）s=（裂項求和）111+cos1cos0ocos1oocos2ocos88ocos89o1sin1o(tan1o-tan0o)+(tan2o-tan1o)+(tan3o-tan2o)+tan89o-tan88o(tan89o-tan0o)cot1o11sin1osin1ocos1osin

10、21o變式求s=+.原等式成立1111n3153563(1-)+(-)+(-)+(-)1111+3153563解：1111=+1335577911111111111=(1-)+(-)+(-)+(-)2323525727911111111=2335577911=(1-)294=9五.分段求和法：（例10在等差數列a中a=23,a=-22，求：1）數列a前多少項和最大；（2）數列an1025n和.n前n項六.分組求和法:有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，可把數列的每一項分成多個項或把數列的項重新組合，使其轉化成常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.例11求數列的前n項和：1+1,+4

11、,111+7,2aaan-1+3n-2，解：設s=(1+1)+(+4)+(aa2an-1111+7)+(n將其每一項拆開再重新組合得+3n-2)aaa111s=(1+n2n-1)+(1+4+7+3n-2)（分組）當a=1a1時，s=n+（分組求和）22an+(3n-1)na-a1-n+(3n-1)n.s=k(k+1)(2k+1)(2k3+3k2+k)s=2k3+3k2+k（分組）(3n-1)n(3n+1)nn11-當a1時，s=n12a-121-a例12求數列n(n+1)(2n+1)的前n項和.解：設a=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+kknnnk=1k=1將其每一項拆開再重新組合得

12、nnnnk=1k=1k=12(13+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n)n2(n+1)2n(n+1)(2n+1)n(n+1)+（分組求和）222n(n+1)2(n+2)2變式求數列1,2,3,n+,的前n項和.11124812n2482n解：設scos1+cos2+cos3+.+cos178+cos1791111解：s=1+2+3+(n+)n1111=(1+2+3+n)+(+)222232n11=n(n+1)+1-22n七.并項求和法：在數列求和過程中，將某些項分組合并后即可轉化為具有某種特殊的性質的特殊數列，可將這些項放在一起先求和，最后再將它們求和，則稱之為并項求和.形如a

13、=(-1)nf(n)類型，可采用n兩項合并求.利用該法時要特別注意有時要對所分項數是奇數還是偶數進行討論.例13求cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值.ncosno=-cos(180o-no)（找特殊性質項）s（cos1+cos179）+（cos2+cos178）+（cos3+cos177）+ln+（cos89+cos91）+cos90（合并求和）0n：a例14數列a=1,a=3,a=2,a=a-a，求s123n+2n+1n2002解：設sa+a+a+a20021232002由a=1,a=3,a=2,a=a-a可得123n+2n+1na=-1,a=-3,a=-2,456

14、a=1,a=3,a=2,a=-1,a=-3,a=-2,789101112.a6k+1=1,a6k+2=3,a6k+3=2,a6k+4=-1,a6k+5=-3,a6k+6=-22002a+a+a+aa+a+a+a+a+a=0（找特殊性質項）6k+16k+26k+36k+46k+56k+6s（合并求和）1232002(a+a+a+a)+(a+a+a)+(a+a+a)123678126k+16k+26k+6+(a+a+a)+a+a+a+a1993199419981999200020012002a+a+a+a1999200020012002a+a+a+a6k+16k+26k+36k+45例15在各項均

15、為正數的等比數列中，若aa=9,求loga+loga+loga的值.563132310解：設s=loga+loga+logan3132310由等比數列的性質m+n=p+qaa=aa（找特殊性質項）mnpq和對數的運算性質logm+logn=logmn得aaas=(loga+loga)+(loga+loga)+(loga+loga)（合并求和）n3131032393536(logaa)+(logaa)+(logaa)3110329356log9+log9+log933310變式求和s=12-22+32-42+52-62+992-1002.n解：由于1111=9999=(10k-1)（找通項及特征

16、）(101-1)+(102-1)+(103-1)+(10n-1)（分組求和）(101+102+103+10n)-(1+1+1+1)(10n+1-10-9n)八.利用數列的通項求和先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和，是一個重要的方法.例16求1+11+111+1111之和.n個11199k個1k個11+11+111+1111n個1111199991199n個1110(10n-1)n-910-19181n：a例17已知數列a8,求(n+1)(a-a)的值.解：(n+1)(a-a-（找通項及特征）(n+1)(n+3)(n+2)(n

17、+4)n=(n+1)(n+3)nn+1n=111)=8(n+1)nn+1+（設制分組）811(n+2)(n+4)(n+3)(n+4)4(-)+8(-)（裂項）(n+1)(a-a)=4(-)+8(-)（分組、裂項求和）n+2n+4n+3n+44(+)+81111n+2n+4n+3n+41111nn+1n=1n=1n=1111344133變式求5+55+555+5555的前n項和.9解：a=5(10n-1)nn個5s=(101-1)+(102-1)+(103-1)+l+(10n-1)9999=(101+102+103+l+10n)-n5555n59=5(10n+1-9n-10)81以上8種方法雖然

18、各有其特點，但總的原則是要善于改變原數列的形式結構，使其能使用等差數列或等比數列的求和公式以及其它已知的基本求和公式或進行消項處理來解決，只要很好地把握這一規律，就能使數列求和化難為易，迎刃而解.春到四月，如火如荼，若詩似畫，美到了極致，美到了令人心醉。“你是一樹”一樹的花開，是燕，在梁間呢喃，你是愛，是暖，是希望，你是人間的四月天。喜歡才女林徽因歌頌四月之美的這首你是人間的四月天，她將四月的萬種風情描摹得淋漓盡致，讀來如沐春風如飲甘露。四月之美，美在清明。時光剛剛跨入四月的門檻，清明就如期而至，“清明時節雨紛紛，路上行人欲斷魂。”清明是一種傳承了數千年的古老文化，是一場活著的人祭奠逝去的祖先

19、的親情style。“風吹曠野紙錢飛，古墓壘壘春草綠”，每到清明，人們不會忘記在天堂的祖先，都會放下手中繁忙的工作，即便遠離故土，也會懷揣濕漉漉的心事回到鄉下，挑揀一個最宜祭祀的日子，趕往祖先墓地，虔誠地獻上一捧鮮花，點上幾支香火，燒上一些紙錢，將祖先的墳墓裝扮一新，以表達對已逝親人的思念和祝福。清明時節，最容易勾起與已逝親人一起度過的那些美好歲月的回憶，讓人深刻體悟到親情的可貴。于是，親情跨越了時空，淚水模糊了雙眼。在瑩瑩淚光中，就讓活著的人好好活著，讓已經逝去的人在天堂感到欣慰。四月之美，美在祭祖的哀思，美在人間傳遞著的溫情。四月之美，美在谷雨。“清明早、立夏遲，谷雨種棉正當時”，清明過后，

20、雨水增多，有利于谷類作物的生長。因此，谷雨是春播春種的關鍵時期。在鄉間，一到谷雨時節，村民們便忙了起來，房前屋后，田間地頭，處處是村民們忙碌的身影，處處嘹亮起勞動的號角，處處律動著勞作的喜悅。他們將生活的希望播撒，將幸福的種子栽種，早出晚歸，樂而不疲，笑容滿面。他們灑下的是一粒粒咸澀的汗水，成就的將是整個秋天曠野上豐碩的果實。累了，他們舉頭仰望綻開在湛藍天空上多情的太陽；倦了，他們想一想等待在前方的耀眼金秋。春風，貼著他們的身影吹過，將灼熱的期盼和夢想帶向遙遠、遙遠他們勞動的姿勢，仿佛在大地上書寫一首生活的真愛長歌；他們奔忙的步伐，舞動出四月美妙和諧的韻律；他們洋溢在嘴角的笑意，仿佛閃爍在陽光下的一朵朵桃花。四月之美，美在他們的不輟勞作，美在他們孜孜不倦地創造甜蜜生活的那顆淳樸心靈。四月之美，美在花繁草盛。“黃四娘家花滿蹊，千朵萬朵壓枝低。”四月，千芳競放，姹紫嫣紅，你不讓我我不讓你，爭相斗妍，好不熱鬧。桃花，在多情春風的表白下雙頰緋紅，欲語還