1、1,曲線積分與曲面積分,定理,設,為分段光滑的空間有向閉曲線,是以,為邊界的分片光滑的有向曲面,的正向與,的側符合右手規則,函數,z,y,x,P,z,y,x,Q,z,y,x,R,在包含曲面,在內的一個空間區域內具,有一階連續偏導數,則有公式,一、斯托克斯,stokes,公式,dxdy,y,P,x,Q,dzdx,x,R,z,P,dydz,z,Q,y,R,Rdz,Qdy,Pdx,斯托克斯公式,2,曲線積分與曲面積分,n,是有向曲面,的,正向邊界曲線,右手法則,x,y,z,o,y,x,f,z,xy,D,C,n,證明,設與平行于,z,軸的直線,相交不多于一點,并取,上側,有向曲線,C,為的正,向邊界曲

2、線,在,xoy,的投,影,且所圍區域,xy,D,如圖,3,曲線積分與曲面積分,思路,曲面積分,二重積分,曲線積分,1,2,ds,y,P,z,P,dxdy,y,P,dzdx,z,P,cos,cos,代入上式得,又,cos,cos,y,f,ds,f,z,P,y,P,dxdy,y,P,dzdx,z,P,y,cos,4,曲線積分與曲面積分,dxdy,f,z,P,y,P,dxdy,y,P,dzdx,z,P,y,即,dxdy,y,x,f,y,x,P,y,dxdy,y,P,dzdx,z,P,xy,D,y,f,z,P,y,P,y,x,f,y,x,P,y,1,5,曲線積分與曲面積分,c,D,dx,y,x,f,y

3、,x,P,dxdy,y,x,f,y,x,P,y,xy,dx,y,x,f,y,x,P,dxdy,y,P,dzdx,z,P,c,即,根椐格林公式,平面有向曲線,2,dx,z,y,x,P,dxdy,y,P,dzdx,z,P,空間有向曲線,6,曲線積分與曲面積分,dy,z,y,x,Q,dydz,z,Q,dxdy,x,Q,同理可證,dz,z,y,x,R,dzdx,x,R,dydz,y,R,dxdy,y,P,x,Q,dzdx,x,R,z,P,dydz,z,Q,y,R,Rdz,Qdy,Pdx,故有結論成立,7,曲線積分與曲面積分,Rdz,Qdy,Pdx,R,Q,P,z,y,x,dxdy,dzdx,dydz,

4、Rdz,Qdy,Pdx,ds,R,Q,P,z,y,x,cos,cos,cos,另一種形式,cos,cos,cos,n,其中,便于記憶形式,8,曲線積分與曲面積分,Stokes,公式的實質,表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線,上的曲線積分之間的關系,斯托克斯公式,格林公式,特殊情形,當是,xoy,面的平面閉區域時,9,曲線積分與曲面積分,例,1,計算曲線積分,ydz,xdy,zdx,其中,是平面,1,z,y,x,被三坐標面所截成的,三角形的整個邊界,它的正向與這個三角形上側,的法向量之間符合右手規則,二、簡單的應用,0,xy,D,x,y,z,n,1,1,1,解,按斯托克斯公式,有,dz,y,

5、xdy,zdx,dxdy,dzdx,dydz,10,曲線積分與曲面積分,dxdy,dzdx,dydz,xy,D,d,3,x,y,o,1,1,xy,D,2,3,弦都為正,的法向量的三個方向余,由于,再由對稱性知,如圖,xy,D,dz,y,xdy,zdx,11,曲線積分與曲面積分,例,2,計算曲線積分,dz,y,x,dy,x,z,dx,z,y,2,2,2,2,2,2,其中,是平面,2,3,z,y,x,截立方體,1,0,x,1,0,y,1,0,z,的表面所得的截痕,若從,ox,軸的正向看去,取逆時針方向,解,取為平面,2,3,z,y,x,的上側被,所圍成的部分,則,1,1,1,3,1,n,z,x,y

6、,o,n,12,曲線積分與曲面積分,即,3,1,cos,cos,cos,ds,y,x,x,z,z,y,z,y,x,I,2,2,2,2,2,2,3,1,3,1,3,1,ds,z,y,x,3,4,ds,2,3,3,4,xy,D,dxdy,3,3,2,2,9,2,3,z,y,x,上,在,xy,D,2,3,y,x,2,1,y,x,13,曲線積分與曲面積分,三、物理意義,環流量與旋度,按所取方向的環流量,沿曲線,稱為向量場,上的曲線積分,中某一封閉的有向曲線,則沿場,設向量場,C,A,Rdz,Qdy,Pdx,s,d,A,C,A,k,z,y,x,R,j,z,y,x,Q,i,z,y,x,P,z,y,x,A,

7、C,C,1,環流量的定義,14,曲線積分與曲面積分,s,d,R,Q,P,z,y,x,k,j,i,s,d,A,C,環流量,利用,stokes,公式,有,2,旋度的定義,A,rot,R,Q,P,z,y,x,k,j,i,為向量場的旋度,稱向量,15,曲線積分與曲面積分,k,y,P,x,Q,j,x,R,z,P,i,z,Q,y,R,R,Q,P,z,y,x,k,j,i,A,rot,旋度,16,曲線積分與曲面積分,斯托克斯公式的又一種形式,其中,cos,cos,cos,k,j,i,n,的單位法向量為,k,j,i,t,cos,cos,cos,的單位切向量為,dS,y,P,x,Q,x,R,z,P,z,Q,y,R

8、,cos,cos,cos,ds,R,Q,P,cos,cos,cos,17,曲線積分與曲面積分,斯托克斯公式的向量形式,ds,t,A,dS,n,A,rot,ds,A,dS,A,rot,t,n,或,其中,cos,cos,cos,y,P,x,Q,x,R,z,P,z,Q,y,R,n,A,rot,A,rot,n,cos,cos,cos,R,Q,P,n,A,A,t,18,曲線積分與曲面積分,Stokes,公式的物理解釋,向量場,A,沿有向閉曲線,的環流量等于向量場,A,的旋度場通過,所張的曲面的通量,的正,向與,的側符合右手法則,ds,A,s,d,A,rot,t,環流量,19,曲線積分與曲面積分,M,v,

9、L,o,例,3,設一剛體繞過原點,O,的某個,軸轉動,其角速度,3,2,1,剛體上每一點處的線速度構成一個,線速場,則向量,OM,r,z,y,x,在點,M,處的線速度,r,v,z,y,x,k,j,i,3,2,1,解,由力學知道點,的線速度為,M,2,2,2,2,3,2,1,觀察旋度,v,rot,由此可看出旋,度與旋轉角速,度的關系,20,曲線積分與曲面積分,四、小結,斯托克斯公式的物理意義,斯托克斯公式成立的條件,斯托克斯公式,Rdz,Qdy,Pdx,R,Q,P,z,y,x,dxdy,dzdx,dydz,ds,R,Q,P,z,y,x,cos,cos,cos,ds,t,A,dS,n,A,rot,

10、21,曲線積分與曲面積分,一,計,算,dz,yz,xzdy,ydx,2,3,其,中,是,圓,周,2,2,2,2,z,z,y,x,若從,z,軸正向看去,這圓周是,逆時針方向,二,計,算,dz,x,dy,z,dx,y,2,2,2,其,中,是,球,面,2,2,2,2,a,z,y,x,和,園,柱,面,ax,y,x,2,2,的,交,線,0,0,z,a,從,x,軸正向看去,曲線為逆時針方,向,三,求向量場,j,y,x,z,i,y,z,A,cos,sin,的旋度,練,習,題,22,曲線積分與曲面積分,四、利用斯托克斯公式把曲面積分,ds,n,A,rot,化成曲,線積分,并計算積分值,其中,A,及,n,分別如下,k,xz,j,xy,i,y,A,2,為上半個球面,2,2,1,y,x,z,的上側,n,是,的單位法向量,五、求向量場,k,xy,j,yz,x,i,z,x,A