1、圓錐曲線的光學性質及其應用一、圓錐曲線的光學性質圓錐曲線的光學性質源于它的切線和法線的性質，因而為正確理解與掌握其光學性質，就要掌握其切線、法線方程的求法及性質。設 P（）為圓錐曲線（A 、B、C 不同時為零）上一定點，則在該點處的切線方程為：。（該方程與已知曲線方程本身相比，得到的規律就是通常所說的“替換法則”，可直接用此法則寫出切線方程）。該方程的推導，原則上用“法”求出在點P 處的切線斜率，進而用點斜 式 寫 出 切 線 方 程， 則 在 點P處 的 法 線 方 程 為。1、拋物線的切線、法線性質經過拋物線上一點作一條直線平行于拋物線的軸，那么經過這一點的法線平分這條直線和這一點的焦半徑

2、的夾角。如圖1 中。事實上，設為拋物線上一點，則切線MT 的方程可由替換法則，得，即，斜率為，于是得在點M 處的法線方程為令，得法線與x 軸的交點N 的坐標為，所以又焦半徑所以，從而得即當點 M 與頂點 O 重合時，法線為x 軸，結論仍成立。所以過 M 的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。也可以利用點M 處的切線方程求出，則，又故，從而得也可以利用到角公式來證明拋物線的這個性質的光學意義是：“從焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸”。2、橢圓的切線、法線性質經過橢圓上一點的法線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角。如圖2 中證明也不難，分別求出，然后用到角公式即

3、可獲證。橢圓的這個性質的光學意義是：“從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上”。3、雙曲線的切線、法線性質經過雙曲線上一點的切線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角，如圖3 中。仍可利用到角公式獲證。這個性質的光學意義是： “從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣”。二、圓錐曲線光學性質的應用光學性質在生產和科學技術上有著廣泛地應用。這里僅舉例說明這些光學性質在解圓錐曲線的有關問題中的應用。應用圓錐曲線光學性質解題，特別是切線問題是十分方便的。其間要注意一個基本關系式的應用，即“過投射點的曲線的切線與

4、入射線、反射線成等角”。如圖4，MN 切曲線 C 于點 P，則 APM BPN。這是很容易由物理學的“入射角等于反射角”及平面幾何中“等角的余角相等來證明的。例 1 求證：橢圓和雙曲線在交點處的切線互相垂直。分析：如圖5，用圓錐曲線光學性質證明1 3 90即可。證明：如圖5，兩曲線的公共焦點，設P 為兩曲線的一個交點，PQ、PR分別為橢圓、雙曲線的切線，連，并延長，由橢圓光學性質，推得12；由雙曲線光學性質，得3 4。又 2 5， 4 6（對頂角相等），所以 1 5， 3 6（等量代換）。又 1 3 5 6180，所以 1 3 90，即 PQ PR，命題得證。評注：（1）本題也可采用代數運算證

5、出的方法來證明，但比較復雜。這里采用光學性質證明法則直觀簡捷。（圓與一雙曲線在交點處的切線互相垂直，垂直，叫做這兩曲直交。2）由本題得到一個一般性命題：焦點相同的一個橢于是有定義： 兩圓錐曲線在交點處的兩條切線互相例 2 如圖 6，已知是橢圓的焦點，分別是在橢圓任一切線CD 上的射影。（ 1）求證：為定值；（ 2）求的軌跡方程。分析：（ 1）欲證為定值，即證為定值（由光學性質推得），從而知應用余弦定理于即可獲證。）（2）求出分別為定值即知其軌跡，易得軌跡方程。證明：（ 1）設 Q 為切線，由橢圓光學性質推知設為，則所以又，則在中，則所以為常數，即定值。（ 2）設點 O 在 CD 上的射影為M，

6、則 OM 是直角梯形的中位線，于是有。在中，同理所以的軌跡是以O 為圓心， a 為半徑的圓，其方程為例 3 設拋物線的焦點為F，以 F 與 A （ 4， 4）為焦點作橢圓，使其與已知拋物線有公共點（如圖7），當長軸最短時，求橢圓方程。分析：求解的關鍵是光線FP 的反射線PA 平行于 x 軸。解：設以點A （ 4， 4）、 F（ 4，0）為焦點的橢圓為（ a 為長半軸長）。再設 P 為拋物線與橢圓的公共點，由橢圓第一定義知：即長軸長2a 等于拋物線上一點P 到兩定點A 、 F 距離之和，若2a 最小，當且僅當橢圓與拋物線相切。此時，由圓錐曲線的光學性質知，光線FP 的反射線PA 平行于 x 軸。所以 P（1， 4）。由知所以所求的橢圓方程為例 4 如圖 8，已知探照燈的軸截面是拋物線，平行于對稱軸的光線于此拋物線上的入射點、反射點分別為P、 Q，設點 P 的縱坐標為，當 a 為何值時，從入射點 P 到反射點Q 的路程 PQ 最短？分析：設，由拋物線光學性質知PQ 過焦點，故可用弦長公式建立目標函數，求出最小值條件a 即可。解：由拋