1、第二章,推理與證明,2.1合情推理與演繹推理 2.1.1合情推理,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理. 2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用,1,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí),2,課堂講義 重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破,3,當(dāng)堂檢測(cè) 當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功,知識(shí)鏈接 1.歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？ 答歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確.類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠,2.由合情推理得到的結(jié)論可靠嗎？ 答一般來(lái)說(shuō)，由合情推理

2、所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠，例如，費(fèi)馬猜想就被數(shù)學(xué)家歐拉推翻了,預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1.歸納推理和類比推理,部分對(duì)象,全部,個(gè)別事實(shí),對(duì)象,一般結(jié)論,部分到整,體,個(gè)別到一般,類似,已知特征,殊到特殊,特,2.合情推理的含義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò) 、 、 、 ，再進(jìn)行 、 ，然后提出 的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理,觀察,分析,比較,聯(lián)想,歸納,類比,猜想,要點(diǎn)一歸納推理的應(yīng)用 例1觀察如圖所示的“三角數(shù)陣” 1 第1行 22 第2行 343 第3行 4774 第4行 5 11 14 11 5 第5行,記第n(n1)行的第2個(gè)數(shù)為an(n2，nN*)，請(qǐng)仔細(xì)觀察上述“

3、三角數(shù)陣”的特征，完成下列各題： (1)第6行的6個(gè)數(shù)依次為_、_、_、_、_、_； 解由數(shù)陣可看出，除首末兩數(shù)外，每行中的數(shù)都等于它上一行的肩膀上的兩數(shù)之和，且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù). 6,16,25,25,16,6,2)依次寫出a2、a3、a4、a5； 解a22，a34，a47，a511 (3)歸納出an1與an的關(guān)系式. 解a3a22，a4a33，a5a44 由此歸納：an1ann,規(guī)律方法對(duì)于數(shù)陣問(wèn)題的解決方法，既要清楚每行、每列數(shù)的特征，又要對(duì)上、下行，左、右列間的關(guān)系進(jìn)行研究，找到規(guī)律，問(wèn)題即可迎刃而解,跟蹤演練1根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式. (1

4、)a13，an12an1； 解由已知可得a13221， a22a112317231， a32a2127115241， a42a31215131251. 猜想an2n11，nN,解由已知可得a1a,對(duì)一切的nN*，an0， a23,同理可求得a35，a47， 猜想出an2n1(nN*,要點(diǎn)二類比推理的應(yīng)用 例2如圖所示，在ABC中，射影定理可表示為 abcos Cccos B，其中a，b，c分別為角A， B，C的對(duì)邊.類比上述定理，寫出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想. 解如右圖所示，在四面體PABC中，設(shè)S1，S2， S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的 面積，依次表示面PAB，面PBC，面

5、PCA 與底面ABC所成二面角的大小,我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為SS1cos S2cos S3cos,規(guī)律方法(1)類比推理的基本原則是根據(jù)當(dāng)前問(wèn)題的需要，選擇適當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象，可以從幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手.由平面中的相關(guān)結(jié)論可以類比得到空間中的相關(guān)結(jié)論,2)平面圖形與空間圖形類比,要點(diǎn)三平面圖形與空間圖形的類比 例3三角形與四面體有下列相似性質(zhì)： (1)三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形. (2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角

6、形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線所圍成的圖形,通過(guò)類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)填寫下表,解,規(guī)律方法將平面幾何中的三角形、長(zhǎng)方形、圓、面積等和立體幾何中的三棱錐、長(zhǎng)方體、球、體積等進(jìn)行類比，是解決和處理立體幾何問(wèn)題的重要方法,跟蹤演練3類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?) 各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等. A. B. C. D,解析由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象

7、的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，叫類比推理，上述三個(gè)結(jié)論均符合推理結(jié)論，故均正確. 答案C,1.下列說(shuō)法正確的是() A.由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的 B.合情推理必須有前提有結(jié)論 C.合情推理不能猜想 D.合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤 解析根據(jù)合情推理定義可知，合情推理必須有前提有結(jié)論,1,2,3,4,B,2.下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來(lái)，那么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色(,1,2,3,4,A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大,解析由圖知：三白二黑周而復(fù)始相繼排列，3657余1.第36顆珠子的顏色為白色. 答案A,1,2,3,4,

8、3.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 1 23 456 78910 1112131415 按照以上排列的規(guī)律，第n行(n3)從左向右的第3個(gè)數(shù)為_,1,2,3,4,解析前n1行共有正整數(shù)12(n1)個(gè),1,2,3,4,4.觀察下列各式 918,16412,25916,361620，. 這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示正整數(shù)，用關(guān)于n的等式表示為_. 解析由已知四個(gè)式子可分析規(guī)律： (n2)2n24n4,1,2,3,4,n2)2n24n4,課堂小結(jié) 1.合情推理是指“合乎情理”的推理，數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向.合情推理的過(guò)程概括為,一般來(lái)說(shuō)，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，其可靠性還需進(jìn)一步證明. 2.歸納推理與類比推理都屬合情推理：(1)歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全