1、二重積分的定義和計算,回憶定積分,設(shè)一元函數(shù) y = f (x) 在a, b可積. 則有,如圖,其中xi = xi+1 xi , 表示小區(qū)間xi, xi+1的長, f ( i) xi表示小矩形的面積,有一空間幾何體. 其底面是 xoy 面上的區(qū)域D, 其側(cè)面為母線平行于 z 軸的柱面, 其頂是曲面 z= f (x, y), 我們稱為曲頂柱體,我們知道，頂是平面的平頂柱體的體積V = 底面積高， 那么曲頂柱體的體積V怎么計算呢,一、引例,1)用曲線將D分成 n 個小區(qū)域 D1, D2, Dn,每個小區(qū)域Di 都對應(yīng)著一個小曲頂柱體,如圖,z = f (x,y,z = f (x,y,Di,Di,計

2、算步驟,2)由于Di很小, 小曲頂柱體可近似看作小平頂柱體,i , i) Di,小平頂柱體的高 = f ( i , i,若記 i = Di的面積,則小平頂柱體的體積 = f ( i , i) i 小曲頂柱體體積,3)因此, 大曲頂柱體的體積,分割得越細(xì), 則右端的近似值越接近于精確值V, 若分割得無限細(xì), 則右端近似值會無限接近于精確值V,也就是,1.定義 設(shè)z=f (x,y)是定義在有界閉區(qū)域DR2上的有界函數(shù),將D任意分割成n個無公共內(nèi)點的小區(qū)域Di(I=1, 2, , n), 其面積記為 i,i, i) Di, 作積,f (i, i) i,二、二重積分的概念與性質(zhì),若對任意的分法和任意的

3、取法, 當(dāng) 0時, 和式,的極限存在且極限值都為I,則稱f (x,y,在D上可積, 記為f (x,y) R(D,并稱此極限值 I 為,f (x,y)在D上的二重積分. 記作,即,其中“ ”稱為二重積分符號, D稱為積分區(qū)域, f (x,y)稱為被積函數(shù), d稱為面積元素, x, y稱為積分變量. 和式,注1. 定積分,二重積分,區(qū)別在將小區(qū)間的長度 xi 換成小區(qū)域的面積 i,將一元函數(shù) f (x)在數(shù)軸上點 i 處的函數(shù)值 f (i)換成二元函數(shù) f (x, y)在平面上點(i, i)處的函數(shù)值 f (i, i,可見, 二重積分是定積分的推廣,注2. 若將D用兩族平行于x軸和y軸的直線分割.

4、(如圖,則除邊界上區(qū)域外, Di都是 矩形，它的面積為,故也將二重積分寫成,此時面積元素記為 ： d = dxdy,i = xi yi,2. 二重積分的幾何意義：設(shè) x, y 在 D上可積, 則,1) 當(dāng)z=f (x, y)0時,2) 當(dāng)z= f (x, y)0時,3,(D1上曲頂柱體體積) (D2上曲頂柱體體積,3. 二重積分的性質(zhì),設(shè)D為有界閉區(qū)域, 以下涉及的積分均存在,性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3,性質(zhì)4,直角坐標(biāo)系下二重積分的計算,由二重積分的幾何意義知, 當(dāng)f (x, y)0時,如圖,若點x處截面面積為A(x,則體積,三、二重積分的計算,如果積分區(qū)域D表示為,利用直角坐標(biāo)系計算二重積分,我們稱為X型,特殊情況,積分區(qū)域D為,X型,一般地,先對 y 積分，后對 x 積分的二次積分,如果積分區(qū)域D為,Y型,先對 x 積分，后對 y 積分的二次積分,若區(qū)域如圖，比不是X型也不是Y型,在分割后的三個區(qū)域上分別使 用積分公式得,則必須分割,解 1,先畫出積分區(qū)域 D,可知D 是 Y型,將 D 向 y 軸投影,于是,解 2,D 也是 X型,將 D 向 x 軸