1、吉林省長春市2019屆高三數學質量監測試題（四）文（含解析）本試卷共4頁，考試結束后，將答題卡交回。注意事項：1. 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2. 選擇題必須使用2B鉛筆填除；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚。3. 請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4. 作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5. 保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破，弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題

2、給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.是的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】直接利用充要條件的判定判斷方法判斷即可【詳解】因為“”，則“”；但是“”不一定有“”.所以“”，是“”成立的充分不必要條件故選A.【點睛】充分條件、必要條件的判定主要有以下幾種方法：定義法：若，則是的充分條件，是的必要條件；構造命題法：“若，則”為真命題，則是的充分條件，是的必要條件；數集轉化法：，：，若，則是的充分條件，是的必要條件.2.學校先舉辦了一次田徑運動會，某班共有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學參

3、賽，兩次運動會都參賽的有3人.兩次運動會中，這個班總共的參賽人數為（ ）A. 20B. 17C. 14D. 23【答案】B【解析】【分析】兩次運動會總人數減去兩次運動會都參加的人數，即為所求結果.【詳解】因為參加田徑運動會的有8名同學，參加球類運動會的有12名同學，兩次運動會都參加的有3人，所以兩次運動會中，這個班總共的參賽人數為.故選B【點睛】本題主要考查集合中元素個數的問題，熟記集合之間的關系即可，屬于基礎題型.3.圓：被直線截得的線段長為（ ）A. 2B. C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】由點到直線距離公式，求出圓心到直線的距離，再由弦長，即可得出結果.【詳解】因為圓：的圓心為，

4、半徑；所以圓心到直線的距離為，因此，弦長.故選D【點睛】本題主要考查求圓被直線所截弦長問題，常用幾何法處理，屬于常考題型.4.下列橢圓中最扁的一個是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】只需分別計算各選項中的值，越小，橢圓越扁，進而可得出結果.【詳解】由得；由得；由得；由得；因為，所以最扁的橢圓為.故選B【點睛】本題主要考查橢圓的特征，熟記橢圓的簡單性質即可，屬于基礎題型.5.已知向量，其中，則的最小值為（ ）A. 1B. 2C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由得到，化簡整理即可得出結果.【詳解】因為，所以，因為，所以，故的最小值為.故選A【點睛】本題主要考查向量模的計

5、算，熟記公式即可，屬于常考題型.6.設是各項均不為0的等差數列的前項和，且，則等于（ ）A. 1B. 3C. 7D. 13【答案】C【解析】【分析】先由題意可得，進而可求出結果.【詳解】因為是各項均不為0的等差數列的前項和，且，所以，即，所以.故選C【點睛】本題主要考查等差數列前項和的相關計算，熟記前項和公式以及性質即可，屬于基礎題型.7.已知，若，則（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】先根據題中條件求出，再將代入解析式，即可得出結果.【詳解】因為，所以，因此，故；所以.故選B【點睛】本題主要考查函數求值問題，根據題意先求出參數，進而可求出結果，屬于常考題型.8.小明和小

6、勇玩一個四面分別標有數字1，2，3，4的正四面體形玩具，每人拋擲一次，則兩次朝下面的數字之和不小于5的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用列舉法分別列舉出總的基本事件、以及滿足題中條件的基本事件，基本事件個數之比即為所求結果.【詳解】用表示兩次朝下面的數字的結果：由題意可得可能出現的結果有：， 共16個基本事件；滿足“兩次朝下面的數字之和不小于5”的基本事件有：，共10個基本事件，所以兩次朝下面的數字之和不小于5的概率為.故選C【點睛】本題主要考查古典概型，熟記概率計算公式即可，屬于常考題型.9.某學校為了了解本校學生的上學方式，在全校范圍內隨機抽查部分學生，了解到

7、上學方式主要有：結伴步行，自行乘車，家人接送，其他方式，并將收集的數據整理繪制成如下兩幅不完整的統計圖.根據圖中信息，求得本次抽查的學生中類人數是（ ）A. 30B. 40C. 42D. 48【答案】A【解析】【分析】根據所給的圖形，計算出總人數，即可得到A的人數【詳解】解：根據選擇D方式的有18人，所占比例為15%，得總人數為120人，故選擇A方式的人數為12042301830人故選：A【點睛】本題考查了條形圖和餅圖的識圖能力，考查分析問題解決問題的能力10.海島算經是中國學者劉徽編撰的一部測量數學著作，現有取自其中的一個問題：今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，今后表與前表參相直，從

8、前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？用現代語言來解釋，其意思為：立兩個三丈高的標桿和，之間距離為步，兩標桿的底端與海島的底端在同一直線上，從第一個標桿處后退123步，人眼貼地面，從地上處仰望島峰，三點共線；從后面的一個標桿處后退127步，從地上處仰望島峰，三點也共線，則海島的高為（ ）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)A. 步B. 步C. 步D. 步【答案】A【解析】【分析】根據“平行線法”證得，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求解線段的長度.【詳解】因為，所以，所以；又，所以，

9、所以；又，所以，即，所以步，又，所以步.故選A【點睛】本題主要考查解三角形的實際應用，屬于常考題型.11.已知定義在非零實數集上的奇函數，函數與圖像共有4個交點，則該4個交點橫坐標之和為（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】先由函數是奇函數，得到的對稱中心，再根據得到的對稱中心，由對稱性，即可得出結果.【詳解】因為函數是奇函數，關于點中心對稱；所以函數關于點中心對稱；又由得到，即函數的對稱中心為，因此，點也是函數的一個對稱中心；由函數與圖像共有4個交點，交點橫坐標依次設為且，所以由函數對稱性可知，因此.故選D【點睛】本題主要考查函數對稱性、以及奇偶性的應用，熟記概念以

10、及三角函數性質，即可求解，屬于常考題型.12.已知拋物線：的焦點為，過且傾斜角為的直線與拋物線交于、兩點，若、的中點在軸上的射影分別為，且，則拋物線的準線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】設AF,FB的中點分別為D,E, 求出|AB|=16，再利用直線和拋物線的方程利用韋達定理求出p的值，即得拋物線的準線方程.【詳解】設AF,FB的中點分別為D,E,則|AB|=2|DE|,由題得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，設，則，聯立直線和拋物線的方程得，所以，所以拋物線的準線方程為.故選：D【點睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，考查拋物線的定義和準線方程，

11、意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分。13.已知復數，則的模等于_，它的共軛復數為_.【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】先由復數乘法運算，化簡復數，進而可求出的模，以及的共軛復數.【詳解】因，所以，.故答案為(1). . (2). .【點睛】本題主要考查求復數的模以及復數的共軛復數的問題，熟記公式以及運算法則即可，屬于常考題型.14.已知、為兩個單位向量，且，則與夾角的余弦值為_【答案】.【解析】【分析】先求出復數的模，再由向量夾角公式，即可求出結果.【詳解】因為、為兩個單位向量，且，所以，設與夾角為，則故答案為【點睛】本題

12、主要考查求向量的夾角，熟記平面向量數量積的運算以及夾角公式即可，屬于常考題型.15.已知，滿足，則的最大值為_【答案】3.【解析】【分析】先由約束條件作出可行域，再將目標函數化為，令，結合圖像求出的最大值即可.【詳解】由約束條件作出可行域如下：又，令，則表示可行域內的點與定點連線的斜率，由圖像可知：斜率最大，由得，所以，因此，的最大值為.故答案為3【點睛】本題主要考查簡單的線性規劃，只需由約束條件作出可行域，結合目標函數的幾何意義求解，屬于常考題型.16.一個倒置圓錐形容器，底面直徑與母線長相等，容器內存有部分水，向容器內放入一個半徑為1的鐵球，鐵球恰好完全沒入水中（水面與鐵球相切）則容器內水

13、的體積為_【答案】.【解析】【分析】先由題意作出軸截面，根據圓錐的底面直徑與母線長相等，得到，再記鐵球的半徑為，得，求出圓錐的高，以及圓錐底面圓半徑，最后由，即可求出結果.【詳解】如圖所示，作出軸截面，由題意，圓錐的底面直徑與母線長相等，可得，則，所以，記鐵球的半徑為，即，在中，則，所以，因此，所以鐵球所在圓錐的體積為，即.故答案為【點睛】本題主要考查圓錐內切球的相關計算，熟記體積公式即可，屬于常考題型.三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第2223題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知函數的圖像

14、與直線的交點中距離最近的兩個交點距離為.（）求函數的解析式；（）求函數在上的值域.【答案】（） .（）.【解析】【分析】（）先由題中條件，得到相距最近的兩個點橫坐標滿足，再由距離最近的兩個交點距離為，得到，進而可求出，進而可得出結果.（）根據，求出，再結合正弦函數的值域即可得出結果.【詳解】解：（）由題意，由，得或，所以相距最近的兩個點橫坐標滿足，又函數圖像與直線交點中距離最近的兩個交點距離，因此. 即函數解析式為.（）因為，所以，因此，所以，即函數在上的值域為.【點睛】本題主要考查三角函數的性質，熟記正弦型三角函數的性質即可，屬于常考題型.18.已知四棱柱中，平面，點中點.（）求證：平面平面

15、；（）求點到平面的距離.【答案】(1)見解析.(2) .【解析】【分析】（）根據線面平行的判定定理，先證明平面，平面，即可根據面面平行的判定定理，得出結論；（）由題意，以點為坐標原點，分別以方向為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，和向量，根據向量的方法,即可求出結果.【詳解】（）由題意得，故四邊形為平行四邊形，所以，由平面，平面，故平面， 由題意可知，為中點，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，又由于相交，所以平面平面；（）由題意可得，兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以方向為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，則，所以，設平面的一個法向量為，則有，即，令，則，

16、故，設點到平面的距離為，則.【點睛】本題主要考查面面平行的證明、以及點到平面的距離，熟記判定定理，以及空間向量的方法求點到面的距離即可，屬于常考題型.19.已知橢圓：的左頂點為，右頂點為，為橢圓上異于、的任意一點，平面內的點滿足.（）若點的坐標為，求的值；（）若存在點滿足（為坐標原點），求的取值范圍.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（）先由得是線段中點，根據題中條件求出坐標,再代入橢圓方程,即可得出結果；（）先設，則，再由 ，化簡整理即可得出結果.【詳解】（）依題意，是線段中點，因為，故， 代入橢圓的方程，可得，解得；（）設，則，又，又所以， ，消去，可得， 故【點睛】本題主要考查

17、橢圓方程，熟記橢圓方程的求法，以及橢圓的簡單性質即可，屬于常考題型.20.到2020年，我國將全面建立起新的高考制度，新高考采用模式，其中語文、數學、英語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據想考取的高校及專業的要求，結合自己的興趣、愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門（6選3）參加考試，滿分各100分.為了順利迎接新高考改革，某學校采用分層抽樣的方法從高一年級1000名（其中男生550名，女生450名）學生中抽取了名學生進行調查.（1）已知抽取的名學生中有女生45名，求的值及抽取的男生的人數.（2）該校計劃在高一上學期開設選修中的“物理”和“地理”

18、兩個科目，為了解學生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學生進行問卷調查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目，且只能選擇一個科目），得到如下列聯表.選擇“物理”選擇“地理”總計男生10女生25總計（i）請將列聯表補充完整，并判斷是否有以上的把握認為選擇科目與性別有關系.（ii）在抽取的選擇“地理”的學生中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名學生中抽取2名，求這2名中至少有1名男生的概率.附：，其中.0.050.013.8416.635【答案】(1) ，55人 (2) （i）見解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據題意可得求解即可得出的值，進而可得抽取的男生人數；（2）（

19、i）根據題中數據先完善列聯表，再由題中公式，求出的值，結合臨界值表即可的結果；（ii）先由題易知抽取的選擇“地理”的6名學生中，有2名男生，分別記為，4名女生，分別記為，；用列舉法分別列舉出“6名學生中隨機抽取2名”和“其中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件個數比即是所求概率.【詳解】解：（1）由題意得，解得，則抽取男生的人數為.（2）（i）選擇“物理”選擇“地理”總計男生451055女生252045總計7030100則，所以有以上的把握認為送擇科目與性別有關系.（ii）由題易知抽取的選擇“地理”的6名學生中，有2名男生，分別記為，4名女生，分別記為，.從6名學生中隨機抽取2名，有，共

20、15種情況，其中至少有1名男生的有，共9種情況，故所求概率為.【點睛】本題主要考查分層抽樣、獨立性檢驗以及古典概型的問題，需要考生熟記分層抽樣特征、獨立性檢驗的思想、以及古典概型的計算公式，屬于常考題型.21.已知函數.（）求函數極值；（）若對任意，求的取值范圍.【答案】(1) ，無極大值；(2) .【解析】【分析】（）先對函數求導，利用導數的方法確定函數單調性，進而可得出極值；（）先設，對函數求導，分，和三種情況討論，用導數方法判斷其單調性等，即可得出結果.【詳解】解：（）令，+極小值，無極大值； （II）對任意，即，設， 當時，單調遞增，單調遞增，成立； 當時，令，單調遞增，單調遞增，成立； 當時，當時，單