1、湖北工業(yè)大學(xué)2013級碩士學(xué)位研究生試題科目代號科目名稱數(shù)值分析考試時(shí)間2013.12.26上午8:30-10:30考試地點(diǎn)2-007;2-0081、答案請寫在答題紙上，在此試卷上答題無效。2、允許使用計(jì)算器一、填空題（每小題2分，共20分）(1) 設(shè)x的相對誤差為2%，則的相對誤差是 0.02n .(2) 設(shè)，則差商= 0 ，= 0 .(3) 設(shè)是n次拉格朗日插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)，為互異節(jié)點(diǎn)，則 1 ； 0 .(4) 插值型求積公式的求積系數(shù)，至少具有 n 次代數(shù)精確度.(5) 梯形求積公式具有 1 次代數(shù)精度,辛普生求積公式具有 3 次代數(shù)精度.(6) 使用迭代計(jì)算的步驟為建立迭代函數(shù)、

2、 選取初值 、迭代計(jì)算.(7) 非線性方程f(x)=0的牛頓迭代格式為，使用該迭代格式在單根處是 2 階收斂，在重根處是 1 階收斂.(8) .設(shè)，則= 1.1 ，= 0.8 .(9) 已知實(shí)對稱矩陣的全部特征值為, 則條件數(shù)=.(10) 對任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是 r(B)1 . 二、(10分) 取的6位有效數(shù)9. 94987，則以下兩種算法各有幾位有效數(shù)字？(要誤差分析過程，不要直接計(jì)算的結(jié)果！) 解：記，則由得因而算式至少具有4位有效數(shù)字.又由得因而算式至少具有7位有效數(shù)字.

3、3、 (10分)求經(jīng)過A(0，1)，B(1，2)，C(2，3)三個(gè)樣點(diǎn)的插值多項(xiàng)式.解：由Lagrange插值公式得4、 (10分) 設(shè)，試在中求在區(qū)間-1，1上的最佳平方逼近元.解：設(shè)，則在中的最佳平方逼近多項(xiàng)式為則有如下正則方程組即解得故最佳平方逼近多項(xiàng)式為5、 (10分)給定求積公式，試確定，使其代數(shù)精度盡可能的高，并指明此時(shí)求積公式的代數(shù)精度,然后估計(jì)求積公式的誤差.解：分別將，代入求積公式，可得解得，求積公式為令時(shí)求積公式不精確成立，從而精度為2.由于此求積公式的代數(shù)精度為2，故余項(xiàng)表示式為令，得于是從而故得六、(10分)證明解的梯形格式是二階的，并求出局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng).證：局部截?cái)嗾`差為 所以梯形方法是二階方法，其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為7、 (10分)應(yīng)用牛頓法于方程和，分別導(dǎo)出求的迭代公式.解：8、 (10分)用直接三角分解(Doolittle分解，LU分解)求解下列線性方程組：解：從而先求解Ly=b,得再求解Ux=y，得9、 (10分)對方程組，若用迭代法求解，首先寫出迭代格式的迭代矩陣，再討論在什么范圍內(nèi)取值可使迭代收斂，取什么值可使迭