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文檔簡介

1、,第四章 線性方程組,4.1 線性方程組的基本概念,下面將討論一般線性方程組。,在第一章中，討論了方程的個數與未知量的個數相等的,而實際問題中，方程組的方程個數與未知量的個數,不一定相等。,一、線性方程組的幾種表示形式,方程組，,需要探討的問題,是第 i 個方程第 j 個未知量 xj 的系數，,1. 線性方程組的一般形式,為常數項。,否則稱為齊次線性方程組 (或者導出組)。,一、線性方程組的幾種表示形式,1. 線性方程組的一般形式,一、線性方程組的幾種表示形式,2. 線性方程組的矩陣形式,簡記為,1. 線性方程組的一般形式,一、線性方程組的幾種表示形式,2. 線性方程組的矩陣形式,3. 線性方

2、程組的向量形式,令,對于線性方程組,則得到向量形式為,即,將右端項表示成系數陣的列向量的線性組合,1. 線性方程組解的存在性,二、線性方程組解的存在性與惟一性,若 A X = b 有解，,則 b 可由 線性表示，,故向量組 與 等價，,充分性,1. 線性方程組解的存在性,二、線性方程組解的存在性與惟一性,線性方程組 A X = b 有解的充要條件是,定理,證明,故 b 可由 的線性表示，,則 的極大線性無關組也是,即得 A X = b 有解。,的極大線性無關組，,1. 線性方程組解的存在性,二、線性方程組解的存在性與惟一性,2. 線性方程組解的惟一性,即 A X = b 的解是惟一的。,即存在

3、 ，使得,(1) 若,則 線性無關，,故 b 只能由 的惟一地線性表示，,1. 線性方程組解的存在性,二、線性方程組解的存在性與惟一性,2. 線性方程組解的惟一性,證明,故 A X = b 的解不惟一。,(2) 若,線性相關，,即存在不全為零的 ，使得,可見 也是 A X = b 的解，,則,1. 線性方程組解的存在性,二、線性方程組解的存在性與惟一性,2. 線性方程組解的惟一性,對于線性方程組 A X = b， 有,(2) 當 時，方程組有唯一解;,(1) 當 時，方程組有無窮多解;,(3) 當 時，方程組有無解。,有非零解,有非零解,二、線性方程組解的存在性與惟一性,3. 關于齊次線性方程組的一些結論,(3) 若 m = n ，即 A 為方陣，則,(1) 一定有(零)解。,則必有非零解。,(2) 只有零解,只有零解,特別，若 m n ，即方程的個數小于未知量的個數，,對于齊次線性方程組 有如下結論：,三、等價的線性方程組,若存在可逆矩陣 P ，使 P A = B ，則線性方程組,定理,證明,A X = b 與 B X = P b 等價(同解)。,由,由,故線性方程組 A X = b 與 B X = P b 等價。,三、等價的線性方程組,定理的重要意義,則線性方程組 A

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