1、 第三講 直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系教學目標1.掌握直線與圓的三種位置關系及其相應數量關系的特征，通過分析將直線與圓的各種位置關系轉化為相應的數量關系，體會數量分析的研究方法以及量變引起質變的觀點.2.掌握圓的切線的判定定理.3.理解圓與圓的位置關系及其有關概念，初步掌握圓與圓各種位置關系相應的數量關系的特征，會進行“圓與圓的位置關系”、“兩圓圓心距與這兩圓半徑長之和或差的大小關系”這兩者之間的相互轉化，并能初步運用這些知識解決有關問題.4.掌握兩圓相切和相交的連心線性質定理.教學重點1.直線和圓的位置關系的判定方法和性質.2.兩圓的五種位置關系中的圓心距與兩圓的半徑之間的數量關系.

2、3.相交、相切兩圓的性質及應用.教學難點1.探索直線與圓的位置關系中圓心到直線的距離與半徑的大小關系并運用相關結論解決有關問題.2.探索圓和圓的位置關系中兩圓圓心距與兩圓半徑的數量關系并運用相關結論解決有關問題.教學方法建議總結歸納，啟發誘導，講練結合，鞏固優化.第一部分 知識梳理一 .直線與圓的位置關系1.直線與圓的三種位置關系如圖，設O的半徑為r ，圓心O到直線的距離為d，得出直線和圓的三種位置關系：（1）直線和O相離 此時：直線和圓沒有公共點（2）直線和O相切 此時:直線和圓有唯一公共點，這時的直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點（3）直線和O相交 此時:直線與圓有兩個公共點，這時的直

3、線叫做圓的割線lll（1）（2）（3）OOO2. 切線的判定定理經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的性質:（1）與圓只有一個公共點；（2）圓心到切線的距離等于半徑；（3）圓的切線垂直于過切點的半徑.切線的識別:（1）如果一條直線與圓只有一個公共點，那么這條直線是圓的切線.（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.（3）經過半徑的外端且垂直與這條半徑的直線是圓的切線.證明直線是圓的切線的兩種情況:（1）當不能說明直線與圓是否有公共點時，應當用“圓心到直線的距離等于半徑長”來判定直線與圓相切.（2）當已知直線與圓有公共點時，應當用判定定理，即“經過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓

4、的切線”，簡單地說，就是“聯半徑，證垂直”.二. 圓與圓的位置關系1. 圓與圓的五種位置關系在同一個平面內，兩個不等的圓的位置關系共有五種:外離、外切、相交、內切、內含.圓心距：兩圓圓心的距離叫做圓心距.設兩圓的圓心距為，半徑為，則有：（1）外離：沒有公共點 ，兩圓外離 （2）外切：有唯一的公共點，兩圓外切（3）相交：有兩個公共點， 兩圓相交（4）內切：有唯一的公共點，兩圓內切（5）內含：沒有公共點，兩圓內含 （1） （2） （3） （4） （5）2. 相切兩圓的性質連心線：經過兩個圓的圓心之間的直線.相切兩圓的性質：相切兩圓的連心線經過切點.注 ：當兩圓相切時分為兩種情況：外切和內切. 3.

5、相交兩圓的性質相交兩圓的性質：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦注 ：當兩圓相交時分為兩種情況：圓心在公共弦的同側和圓心在公共弦的兩側. 第二部分 例題精講例 1 如圖，已知中，C=90，AC=3，BC=4（1）圓心為點C、半徑長R為2的圓與直線AB有怎樣的位置關系？（2）圓心為點C、半徑長R為4的圓與直線AB有怎樣的位置關系？（3）如果以點C為圓心的圓與直線AB有公共點，求C的半徑R的取值范圍.ABC出題意圖：考查直線與圓的位置關系.解析：利用圓心到直線的距離與半徑比較即可得出圓與直線的位置關系.答案： 解：在中，C=90，AC=3，BC=4.由勾股定理，得AB=5.設點C到AB的距離為d

6、，則 即 解得 d=2.4.（1）2.42，即dR 半徑長R為2的C與直線AB相離.（2）2.44，即dR，半徑長R為4的C與直線AB相交.（3）如果以點C為圓心的圓與直線AB有公共點，那么C與直線AB相切或相交.當R2.4時，C與直線AB有公共點.針對訓練 1已知中，ABC=90，AB=3，BC=4，以B為圓心作B.（1）若B與斜邊AC只有唯一一個公共點，求B的半徑長R的取值范圍.ACB（2）若B與斜邊AC沒有公共點，求B的半徑長R的取值范圍.例 2 已知：直線AB經過O上的點C，并且OA=OB，CACB求證：直線AB是O的切線出題意圖：考查切線的判定定理.解析：欲證AB是O的切線,由于AB

7、過圓上點C,若連結OC,則AB過半徑OC的外端,只需證明OCAB即可.答案：證明：連結0C0A0B，CACB0C是等腰三角形0AB底邊AB上的中線ABOC 直線AB經過半徑0C的外端C，并且垂直于半徑0CAB是O的切線針對訓練 2如圖，AC是O的弦，AC=BC=OC.求證：AB是O的切線.ACB例3 如圖，已知A、B、C兩兩外切，且AB=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求這個三個圓的半徑長.出題意圖： 考查圓與圓的位置關系.解析：利用外切兩圓的圓心距等于半徑之和即可.答案：解：設A、B、C的半徑長分別為x厘米、y厘米、z厘米.A、B、C兩兩外切，AB xy，BCyz，CAzx.根據題意，得

8、關于x、y、z的方程組 解得A、B、C的半徑長分別為2厘米、1厘米、4厘米.針對訓練 3如圖，O的半徑為5厘米，點P是O外一點，OP=8厘米.求：（1）以P為圓心作P與O外切，小圓P的半徑是多少？（2）以P為圓心作P與O內切，大圓P的半徑是多少？ 例4 相交兩圓的公共弦長為6，若兩圓半徑分別為8和5，求兩圓的圓心距.出題意圖： 考查相交兩圓的性質.解析：兩圓相交要考慮兩種情況：（1）圓心在公共弦的同側，此時圓心距等于兩條弦心距之和；（2）圓心在公共弦的兩側，此時圓心距等于兩條弦心距之差的絕對值.答案： 解：圓心在公共弦的兩側 為AB的垂直平分線AB，AC=CB圓心在公共弦的同側由可得：，針對訓

9、練 4已知和相交于A、B兩點，P是連心線與的交點，PA、PB的延長線分別交于點C、D.求證：例5 如圖，與內切于點P，經過上點Q的切線與相交于A、B兩點，直線PQ交于點R.求證：出題意圖： 考查相切兩圓的性質.解析： 利用相切兩圓的性質：兩圓相切，連心線過切點.本題中過兩個圓心作一條直線，則這條之間直線必過點P，然后利用圓中的相關知識即可解答.答案： 證明：聯結、，作直線. 與內切于點P經過點P，與相切與點Q.針對訓練 5如圖，與外切于點P，經過上點Q的切線與相交于A、B兩點，直線PQ交于點R.求證：例6 在中，點、在BC上，、外切于點P. 與AB相切于點D，與AC相離；與AC相切于點E，與A

10、B相離.（1）求證：DPAC.（2）設的半徑長為x，的半徑長為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出定義域.出題意圖：考查圓與圓位置關系的綜合應用解析： 利用等腰三角形的性質和圓與圓的位置關系，可推導出第一問的結論，再結合銳角三角比的知識推出函數解析式，在考慮定義域的時候要考慮到相關動點的臨界位置問題，這是個難點，需要多加注意.答案： 解：（1）聯結與AB相切于點D （2）聯結，則，作于H.同理當與重合時，與相切，此時當與重合時，與相切，此時針對訓練 6在中，圓A的半徑長為1，若點O在BC邊上運動（與點B、C不重合），設BO=x，的面積為y.（1）求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域.（2

11、）以點O為圓心、BO為半徑作圓O，求當圓O與圓A相切時，的面積.第三部分 優化作業基礎訓練題（A）1. 下列直線中，不能判定為圓的切線的是 （ ）A.與圓僅有一個公共點的直線；B.與圓心的距離等于半徑長的直線；C.過半徑的端點且與該半徑垂直的直線；D.過直徑的端點且與該直徑垂直的直線.2. 已知的直徑等于12cm，圓心O到直線的距離為5cm，則直線與的交點個數為（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D.無法確定3. 的半徑為3厘米，的半徑為2厘米，圓心距=5厘米，這兩圓的位置關系是（ ）A.內含 B.內切 C.相交 D.外切4.已知兩圓的直徑分別為6cm和10cm，當兩圓外切時，它們的圓心距d的

12、大小是（ ）A. B. C. D. 5.已知線段AB=3cm，的半徑為4cm，若與相切，則的半徑為 cm.6.如圖，AB與相切于點C，OA=OB，若的直徑為8cm，AB=10cm，那么OA的長是 cm.7.設的半徑為r，圓心O到直線a的距離為d，若d=r，則直線a與的位置關系是 .8.兩圓的直徑分別為3+r和3-r，若它們的圓心距為r,則兩圓的位置關系為 .9.已知、的半徑長分別是3cm、5cm，如果與內含，那么圓心距d的取值范圍為 .10.兩圓的半徑之比為5:3，如果當它們外切時，圓心距長為16，那么當它們內切時，圓心距長為 .11.已知和的半徑為方程的兩個根，若，試判斷和的位置關系.12.

13、如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，CDAD，AD+BC=AB.求證：以AB為直徑的 與CD相切.13.如圖，OA=OB=8，OAOB，以O為圓心、OA為半徑作，與以OA為直徑的相切于點E，與相切于F，與OB相切于D，求的半徑長. 14.如圖，已知A是、的一個交點，點P是的中點.過點A的直線MN垂直于PA，交、于M、N.求證：AM=AN.15.已知和相交于A、B兩點，公共弦與連心線相交于點G，若AB=48，的半徑，的半徑.求的面積.提高訓練題（B）1. 已知的半徑為2，直線上有一點P滿足PO=2，則直線與的位置關系是（ ）A.相切 B.相離 C. 相離或相切 D.相切或相交2. 已知 三邊分

14、別是，兩圓的半徑，圓心距，則這兩個圓的位置關系是（ ）A.相交 B.內切 C.外切 D.內含3.兩圓的半徑長度分別為R和r，兩圓心間的距離為d，如果將長度分別為R、r、d三線段首尾相接可以圍成一個三角形，則兩圓的位置關系是 .4.兩個半徑都等于2cm的和的圓心距，則與這兩個圓都相切，且半徑為3cm的圓有 個.5.中，B=90，A的平分線交BC于D，E為AB上一點，DE=DC,以D為圓心、DB為半徑作圓D.（1）求證：AC是圓D的切線；（2）求證：AB+EB=AC. 6. 如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上一點，以E為圓心，EC為半徑的半圓與以A為圓心，AB為半徑的圓弧外切，求tanEAB的值

15、. 7. 如圖，點在的直徑的延長線上，點在上，.（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為3，求的長（結果保留） 8.如圖，已知ABC中，C=90，AC=12，BC=8，以AC為直徑作，以B為圓心，4為半徑作.求證：與相外切.9.如圖，已知與交于B、C兩點，A在上，AD是的直徑，AD交BC于M，AE是的弦，AE交BC于N.若AM=4cm，AN =6cm，AE=24cm，求的半徑. 10.如圖，AB為半圓O的直徑，P是AB延長線上一點，將線段PA繞點P旋轉到與半圓O相切的位置PC，這時切點為E，AC與半圓相交于點D.（1）求證：；（2）若CD=2AD，求CE:EP 的值；（3）若E是PC的中點，求A

16、D：DC的值.綜合遷移題（C） 1. 如圖，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，（ab），以C為圓心，CD的長為半徑作圓弧交BC于E，以B為圓心、BE長為半徑作圓弧交AB于F，以A為圓心、AF為半徑作圓弧恰與弧DE相切.求的值.2. 已知，如圖所示，圓O1與圓O2相交于A、B兩點，過A點的弦分別交兩圓于C、D，弦CE/DB，連結EB，試判斷EB與圓O2的位置關系，并證明你的結論.3.在中，AC=3，AB=4，O是BC上的一點，以O為圓心，OC為半徑作圓交AC于點D，交BC于點，過作的切線交AB邊于點E，連BD，設OC=x，的面積為y.求y與x之間的函數關系式.4. 在直角坐標平面內，為原點，點

17、的坐標為（1，0），點的坐標為（0，4），直線軸（如圖7所示）點與點關于原點對稱，直線（為常數）經過點，且與直線CM相交于點D，聯結OD（1）求的值和點D的坐標；（2）設點P在軸的正半軸上，若POD是等腰三角形，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，如果以PD為半徑的與外切，求的半徑CMOxy1234A1BD參考答案：針對訓練1. （1） （2）2. 通過等邊對等角和三角形的內角和定理可以推出OAB=90即可得出答案.3.（1）P1的半徑是3cm （2）P2的半徑是13cm4. 利用相交兩圓公共弦的定理以及同圓弦心距相等則弦所對的劣弧相等即可得出答案.5. 利用兩圓相切連心線過切點的定理即可解答

18、.6.（1） （2）（提示：第二問要考慮圓A和圓O外切、內切兩種情況）基礎訓練題（A）1. C2. C 3. D4. A5. 1cm或7cm6. 7. 相切8. 內切9. 10. 411. 兩圓內含.（提示：算出半徑之和和半徑之差的絕對值，然后與圓心距比較即可）12. 證明略.（提示：過點O做OECD于點E，證得OE等于圓的半徑OA即可）13. 半徑長為2.（提示：聯結各個圓心距，利用相切兩圓的性質和勾股定理即可）14. 證明過程略.（提示：過兩個圓心分別向MN作垂線，再利用圓中的知識即可）15. 600或168.（提示：分圓心在公共弦的同側和圓心在公共弦的兩側兩種情況）提高訓練題（B）1. D 2. A 3. 相交4. 45.證明過程略（提示：（1）向AC作垂線，用圓心到直線的距離等于半徑來判定直線與圓相切.（2）通過證三角形全等，將邊轉化，從而可以得出結論.）6. =7. （1）證明略（2）8. 證明過程略（提示：聯結B