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N階常系數(shù)線性微分方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式第五節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、常系數(shù)線性齊次方程1特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根2有兩個不相等的實根兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為特征根為3有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為4有一對共軛復根重新組合得齊次方程的通解為特征根為5定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法解特征方程為解得故所求通解為例16解特征方程為解得故所求通解為例27特征方程為特征方程的根通解中的對應項8注意N次代數(shù)方程有N個根,而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項,且每一項各一個任意常數(shù)9特征根為故所求通解為解特征方程為例310二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程通解結構常見類型難點如何求特解方法待定系數(shù)法二非齊次情形11設非齊方程特解為代入原方程12綜上討論注意上述結論可推廣到N階常系數(shù)非齊次線性微分方程（K是重根次數(shù)）13特別地14解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例115利用歐拉公式216注意上述結論可推廣到N階常系數(shù)非齊次線性微分方程17解對應齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解為（取虛部）例218解對應齊方通解作輔助方程代入輔助方程例319所求非齊方程特解為原方程通解為（取實部）注意20解對應齊方通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例421三、小結待定系數(shù)法只含上式一項解法作輔助方程,求特解,取特解的實部或虛部,得原非齊方程特解22思考題寫出微分方程的待定特解的形式23思考題解答設的特解為

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