線性常微分方程的若干初等解法探討作者XX指導教師葛玉麗摘要介紹求解常微分方程的幾種初等解法，如常數變易法，積分因子法，拉普拉斯變換法等，在學習過程中，通過對不同類型的方程解法，揭示了常微分方程的求解規律，從而找到最優解法關鍵詞常數變易法；積分因子；特征根法；拉普拉斯變換0引言常微分方程是數學分析或基礎數學的一個組成部分，在整個數學大廈中占據著重要位置，學好常微分方程基本理論與方法對進一步學習研究數學理論和實際應用均非常重要，對于常微分方程的初等解法，既是常微分方程理論中有自身特色的部分，也與實際問題密切相關；恰當對初等解法進行歸類，能正確而又敏捷地判斷一個給定的方程屬于何種類型，從而能按照所介紹的方法進行分解1一階常微分方程的求解方法11方程能解出Y111變量分離方程1形如的方程稱為變量分離方程分別是DYXF,FXY的連續函數,X例103X2YED解將變量分離得DXEY32兩邊積分得CEXY61321因而通解為（為任意常數）這是一種相當簡潔的解法，是最基本的解法，對于比較復雜的方程，需經過一系列變換，最后利用變量分離求解112常數變易法對于一階線性齊次方程它的通解為從0YXPDXPECY此出發，將通解中的任意常數換成待定函數，假設C）（XU（1）為一階線性非齊次方程DXPEUYXQYP（2）的解，為了確定，將（1）代入的左邊，得）（XUYXQP到DXPEYXP從而得到，即UQEDDXPEQU積分后得到，其中為任意常數CXDP）（把代入（1）中，得到方程（2）的通解為）（XUEYPDCDXEQP例2解方程XDY1Y2解方程變形為令，3DX2Z則Y2Z代入變形方程為XZ利用常數變易法，其中Q2,P）則它的通解為2ZXC代回原來的變量，得到Y221即原方程的通解為CXY24此外，方程還有解0常數變易法實際上也是一種變量替換法，雖然用其來解一階非齊次線性微分方程時和變量代換法并無原則區別，但將它推廣到解高階線性微分方程和線性微分方程組時就顯出了它的優越性，變2易常數思想是解微分方程的重要數學思想，對非線性方程（如貝努利方程，黎卡提方程）也可使用常數變易法求解，并且常數變易3法在數學分析中有很多應用，比如求解中值問題及存在性問題，祥見文獻4113積分因子法把一階線性微分方程1）改寫為如下的對稱DYXQPX形式（2），一般而言，（2）不是恰當方程，QYDXP但以因子乘（2）兩側，得到方程DXPEM）（，即DXYYXPDXPDXPEDXQEYEXPDXP它是恰當方程，由此可直接積分，得到CX這樣就求出了方程的通解（3）為任CDEQEPDXP意常數，其中為積分因子，一般情況下，積分因子是很難尋求）（XU的，只有在很特殊的情況下才很容易求得例3求解0SIN2COSX4232DYXYDXY（解因為NMI1,IN133則方程不是全微分方程，若把原方程改寫為0SIN2COY22YDXYXYDXD（可以看出積分因子，因為上式兩端同乘以，有2X1M2X10SINCOY22YDYYDXDX即2X從而得到方程的通積分，CYXXOS2Y或022COSX23CXY此解法，目的明確，方法自然，學生很容易接受，逐步改變了一上來就直接用任意常數變易法求解一階線性微分方程的方法，取而代之是按上述方法一步步求解，這一過程使我們順利掌握了一階線性微分方程的通解，同時更容易理解任意常數變易法，這樣從不同角度，用不同方法解決了同一問題，更能深刻的體會到任意常數變易法的巧妙之處12方程不能解出Y這時把看作是的函數，再看是否能解出，成為方程XX可用以上方法求解；但對于不能顯性表示為或,XYF,YXF或的方程，可分為兩類0,DYXNYXM）（121方程能就（或）解出（或）,XF，YF這時令（或）把問題轉化為求解關于與（或）PPXY之間的一階方程（或），DXPFPXF,DPFYFP,1再利用以上方法，求得通解為（或）則它0,）（C0,）（C與（或）一起構成原方程的通解的參數形式,YPXF,PYF例4研究克萊洛（CLAIVAUT）方程（1）YX解令代入原方程假定兩次可微且P）（P0P）（兩端對求導，得X0DXP）（取則DC代入（1）得到通解YC取，則即（2）0XP0XP0XPY由于，則（2）中第一式存在隱函數，代入第二式）（X就得到一個解，則這個解也可以由聯立方程XPXY來表達0YCX故克萊洛方程除了通解之外，還有一個由YCX所決定的解0YCX例5求解1YYE）（解令，代入原方程PPE1兩邊同時對X求導，則,DXDXEYP則,則當時，；0P1Y當時，則，為任意常數,DXPECEP則得到方程參數形式的通解，；PEYX10且當時，也是方程的解0P1Y總結由于此方程的形式與前面所分析的類型不一致，可以先觀察所給的方程的形式，利用變量代換的思想，經過一系列變換，化為我們最熟悉的形式122方程不能就，或解出YX對于形如或的方程，引入參數，將方程表0,XF0,YT示為參數形式，再注意到關系式，就將問題轉化為求解關于DX（或）與的一階方程，且其導數（或）已表示為的已知YXTTTT函數，最后的工作就是求積分的問題例6求解21XY解令，則原方程可化為，PTCOS1COS2TX則，；XINTCOS由于，DY則，T2CS兩邊同時積分，則；CTYIN41則原方程的通解為，TXST2SI例701Y3Y解令，代入原方程為；則；PTX0133XTT21TX由，則，；YDXP即,DTTDTTTTTD2212423兩邊同時積分；CTY5則原方程的通解為，21TXCTTY125以上總結了一階常微分方程的幾種解法，熟悉各種類型方程的解法，正確而又敏捷地判斷一個給定的方程屬于何種類型，從而按照所介紹的方法進行求解，這是最基本的要求但是我們所遇到的方程未必都恰好是所介紹過的方程類型，因此要注意學習解題的技巧，善于根據方程的特點，引進恰當的變換，將方程化為能求解的新類型，從而求解；一階微分方程的求解有眾多方法，技巧性很強，想進一步詳細了解可參考常微分方程手冊2高階常微分方程的求解方法高階常系數線性微分方程的一般形式是（1）其中為11XGYAYANNNN1,2IAN常數，為連續函數；依據常系數線性微分方程的通解結構理論，GX知方程（1）的通解可表示成該方程的一個特解與其對應的齊次方程的通解之和方程（1）對應的齊次方程，由于它110NNNNYAAY具有線性結構，一般采用EULER待定指數函數法可以得到通解，因而非齊次方程（1）的通解的計算只需尋到它的一個特解即可；有關特解的計算方法較多，如常數變易法，待定系數法，積分法等，567因此接下來介紹線性微分方程的求解方法的幾種歸類21常數變易法例8已知齊次線性微分方程的基本解組，求下列方程對應12,X的非齊次線性微分方程的通解COSTTXE解應用常數變易法，令,將它代入方程，則可TTE21得120,COSTTTTCE解得TTE2,S21由此；1122SINCO,4STTTCTER則原方程的通解為12COTTXRE總結利用一階常微分方程的常數變易法的思想，推廣到高階常微分方程，關鍵是找出決定的方程組，從而求出高階方,21TC程的通解由此可知，常數變易法一般用于給定非齊次線性微分方程特解的方程，這種方法簡潔明了，但是比較局限，是最基本的解法22特征根法主要是利用把微分方程的求解問題化為代數方程的求根問題的思想我們知道簡單的一階方程，其中為常數，它有特解0YAA，由于與都是常系數線AXYE11NNNNYA0Y性齊次方程，因而猜想方程也有形如1NNY的解，其中是待定常數，為了確定出使XYE為XYE110NNNNAYAY的解的，先將它代入方程中，實際上有，其中11NXXNAEP稱為特征多項式則為方程NPAXYE的解的充要條件是，即應是方110NNNYY0P程的根0下面分兩種情況討論特征根互異首先，假設有個互異的實根，010PN12,N這時，依上述討論，方程有個特解110NNNNYAAY，則函數為方程12,NXXXYEE2NXXXCECE的通解，其中為任意常數110NNNNAAY12,N例9求方程的通解4Y解特征方程為，32故特征根為，因而基本解組為,123,II,COS2,INXEX故所求通解為，其中為任意常數3COSN2XYEX123特征根有重根設是重特征根（），由上述討論知，021KK是的一個解，但這時由于互異的特征1XE10NNNNYAAY根的個數小于，故相應地線性無關的解的個數也小于，要得到通N解，這些特解是不夠的，對應于，除解外還應補上哪些解呢11XE先來研究二階常系數方程并設，特征方0,YPQ824PQ程為，特征根為，即20PQ2124,；12易見，為二重特征根，因而，首先有特解；12P21PXYE現在求已知方程的和線性無關的另一個特解，由1Y知，21PXDCE取,則另一特解可取為，01C2221PPXXPXDEYDE即當是二重特征根時，二階方程除了有解之外，12P21PXYE還有與它線性無關的另一個特解2PXYE根據以上討論，對于一般的情形，我們有如下的定理如果方程有兩兩互異的特征根，110NNNNYAAY12,P它們的重數分別為，且，則與它12,PMI12PMN們對應的方程的特解是112221,PPPXXXMXEEEE例10求方程的通解459720YY解特征方程是3310故特征根是,1234,1則它們對應的解為，,XXEE故所求通解為，其中為任22134XXYCCE1234,C意常數總結歐拉待定指數函數法，即特征根法，在高階常微分方程中占據了十分重要的位置，要熟練掌握不同類型的解法，從而對于給定的方程能游刃有余23階常系數線性非齊次方程解法N對于形如的解法，它的通解等于11NNNNYAAYFX其對應的齊次方程的通解與它本身的一10AY個特解之和231比較系數法（待定系數法）下面分兩種類型討論設，其中及為實01101MTMFTBTBTE0,1IBM常數當不是特征根時，有形如11NNNNYAAYFX的特解，其中1XMYXQE01MMQXQXQ當是（）重特征根時，有K11NNNNYYAFX形如的特解，其中，XM1E）（101MMXXQ對于中的的系數，則可以由待定系數法求得）（XY）（Q例11求方程的通解21652XY解先求對應齊次方程的通解，其特征方程是05Y2故特征根為從而，對應齊次線性方程通解為32,1，XXECY321由于不是特征根，因而已知方程有形如的特解0CBXAY21為確定將它代入原方程中，由于,CBA,X,故2066X2522XCBAX）（比較上式等號兩端的同次冪系數，可得,01CBA，故已知方程特解為，則原方程的通解為21XYXXECY3212例12求方程XE24解由于則0221故齊次方程通解為，CEYX由于為二重特征根,2故有,XEA21故,Y，則原方程的通解為Y212XCEXX設，其中為常數，而2TTBTATFSINCOS，是帶實系數的多項式，其中一個的次數為，一個的次數,TBA）（M不超過，則有形如的特解其中為特征MTKETQTPXSINCSK方程的根的重數，而均為特定的帶實系數的次數不0）（P,高于的的多項式T根據歐拉公式，有IEXEXXIIXII2SN,2COS則XIXIXIXIXIXIETBTATBETAF2再利用迭加原理,于是有兩種形式（1）如果不是特征根，則特解具有形式I其中是系數待定的次多SNCOS2XQXEYMMX,21MXQM項式（2）如果是重特征根，則特解應具有形狀IKSINCOS211XQXEXYMMAK例13求解方程TTCO解先求對應的齊次方程，我們有,0X012故特征根為；由于迭加原理，則原方程可化為II21,TX2COSIN1對于，由于是特征根，故方程TXSII具有形如的特解，現將上式代入TXSINCS1TBA，則TXSIN0,21BA則的通解為TCTTXSINOCS212對于，由于不是特征根，故方程TOI具有形如的特解現將上式代入TX2COSSN2C1TBTAX，則,03，則的通解為TXCSTCTTXSIOCS21故原方程的通解為T3INO21總結比較系數法用于方程右端是某些基本函數的情況，TF常見的有多項式，指數函數，正弦（或余弦）函數以及它們的某種乘積組合，然后根據的前面所歸納的類型，從而求出方程的TF特解，進而求出通解232拉普拉斯變換9它無需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解來，從而在運算上得到很大簡化，這一方法的基本思想是先通過拉普拉斯變換將已知方程化為代數方程，求出代數方程的解，再通過逆拉普拉斯變換，便可得到所求初值問題的解由積分所定義的確定于復平面上的復變數的DTFESFST0S函數稱為的拉普拉斯變換，其中與有定義，且滿足TFTF0不等式，這里M,為某兩個正常數，這時為原函數，TMETFTF而稱為像函數SF例14求函數的拉普拉斯變換ATEF解ASESADTDTETSAASTAT,1|1000例15解方程210,SINXTX解由于，從而22SS則，12122SSSX故，2由于，21COST故所求初值解為TTX當然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函數必須是原函數，否則方法就不適用了，關于拉普拉斯變換的一般概念及基本性質，請參閱有關書籍233冪級數解法冪級數解法待定的是級數的系數，因而通常計算較大，其實冪級數解法適用二階以上的高階齊次線性微分方程與非齊次線性微分方程，也能求其特解或通解二階線性方程在近代物理學以及工程0210YXPYXP技術中有著很廣泛的應用，其中冪級數解法不但對于求解方程有意義，而且還由此引出了很多新的超越函數，在理論上是很重要的下來給出兩個定理，若要了解定理證明過程，可參考有關書籍10定理1如果在某點的鄰域內解析，即它們可,210XPX0展成的冪級數，且，則的解0X0021YXPY在的鄰域內也能展開成為的冪級數XNNA00定理2如果在的鄰域內解析，而為的,210PX00XP重零點，是的不低于重的零點，（若），是的不低S1PS1S2于重的零點，（若），則方程至少有一個形如的廣0210YXPYXPNNRXAXY00義冪級數解，其中R為某一實數若要了解冪級數的詳細解法可以參考常微分方程，這里不做具體分析總之，不同的方法用于不同類型的方程，這是應用之時必須特別注意之點參考文獻1朱思銘，王壽松等常微分方程M北京高等教育出版社2006（3）1261292湯光宋，余復民應用交換變量位置法解兩類一階常微分方程J蘭州工業高等專科學校學報1996,120253焦洪田一階非線性微分方程的常數變易法J雁北師范學院學報1999（6）44454周斌常數變易法在數學分析中的應用J內江師范學院學報2003,18（4）56585曹玉平一階線性變系