工程物理基礎第1篇聲學基礎聲學作為物理學的一個分支，是自然科學中最古老的學科之一。從伽利略1638年發表的兩個新科學的講話，到半個世紀后牛頓提出的恒溫聲速的理論，17世紀到19世紀這三個世紀中許多重要的數學家和物理學家幾乎都研究過聲學問題。經過許多科學家的努力，從經典物理聲學發展到成熟的階段，1877年，瑞利的聲學理論做了總結。聲學同時又是一門滲透性、交叉性極強的應用技術學科。從20世紀初開始，聲學主要以外延的形式發展，與其他科學技術分支結合，建立了大量的邊緣學科，在工業、農業、醫學、國防、通信與信息技術、人工智能、材料科學、家電等領域中具有極其廣泛的應用。現代科學技術的發展和科研手段的提高極大地促進了聲學學科自身的發展和演變，反過來，現代聲學也對當代科學技術的發展產生舉足輕重的影響。聲學是一門研究聲波的產生、傳播、接收以及與物質相互作用的科學。聲是一種機械擾動在氣態、液態、固態物質中傳播的現象。所謂擾動，是指在氣態、液態、固態物質中的一個密度的、或者是壓力的、或者是速度的某種微小變化，這個變化在彈性介質中就會傳播出去，這個傳遞的能量就是聲。從聲的這個概念上講，只要在彈性介質中存在擾動，就會產生聲波。聲波在傳播過程中會引起物質的光學、電磁、力學、化學性質以及人類生理、心理等性質的變化，而它們反過來又會影響聲音的傳播。所以聲學研究的范疇非常廣，分支很多。聲波的振動頻率范圍寬廣，為1041014HZ。最初，聲學的研究局限于可聽的聲音，即大約20HZ至20KHZ頻段的聲波，稱聲頻聲，包括對音樂與樂器的研究，語言及聽覺的研究，建筑聲學的研究，電聲系統（電話、微音器、喇叭等）的研究等。以后研究的領域逐漸擴展，低頻方面擴展到20HZ以下的次聲波，如1HZ以下的地震波等，高頻方面擴展到20KHZ以上的超聲波及至數千兆赫的特超聲。目前整個聲學研究的頻率范圍跨越1018HZ，是物理學各分支里少有的。隨著頻率的升高，聲學進入微觀世界，不斷發現新的現象和新的應用。聲學既有經典的物理性質，又有量子的性質，成為打開微觀世界的一把鑰匙。同時，隨著頻率的降低，低頻聲波的吸收衰減越來越小，穿透能力和傳播距離大大增加，成為觀察大氣、海洋、地殼中許多現象的強有力的工具。聲學作為一門現代科學是從17世紀開始，和力學、電磁學等物理學科一起發展起來的。培根很早就講過“沒有數學的介入，自然界的許多部分就不能詳細的解釋。”幾乎當時所有杰出的物理學家和數學家都對研究物體的振動和聲的產生原理做過貢獻，如伽利略、牛頓、歐拉、達朗貝爾和拉普拉斯等。伽利略發現擺的等時性規律，是近代振動和聲學的科學的開端。此后，法國數學家伽桑狄利用遠地槍聲和閃光之間的時差測定了聲在空氣中傳播的速度。法國數學家達朗貝爾于1747年首次推出弦的波動方程，并預言可用于聲波。經典聲學的特點是有比較精確的測量，對聲的物理實質有了深刻的認識，發展了相應的數學手段，建立了波動方程，對聲波在氣體、固體、液體和有限空間中的傳播進行了理論和實踐研究。經過一百多年許多科學家的努力，1877年英國物理家瑞利（RAYLEIGH）總結了前人的成果，出版了聲學理論一書。此書集經典聲學之大成，對后來的各種波動傳播理論的發展具有重要作用。瑞利聲學理論一書中的第一部分包括弦、桿、膜和板的振動。他還提出了瑞利利茨方法，這在固體結構的振動和量子力學中均有廣泛的應用；書的第二部分牽涉聲在液體中的傳播。至今，特別是在理論分析工作中，人們還常引用這部巨著19世紀末，理論工作研究的頻段已不局限于音頻范圍，但由于沒有高頻聲源，所以高頻聲的研究沒能得到發展。1880年居里（CURIE）兄弟發現了壓電效應，但是直到電子管放大器發明以后，采用壓電效應的電聲換能器才能用于工程上，壓電換能器作為高頻聲源才變成現實。20世紀，由于電子學的發展，使用電聲換能器和電子儀器設備，可以產生、接收和利用任何頻率、任何波形。幾乎任何強度的聲波，以致聲學研究的范圍不斷擴大?，F代聲學中最初發展的分支就是建筑聲學和電聲學以及相應的電聲測量；以后，隨著頻率研究范圍的擴展，又發展了超聲學和次聲學；由于手段的改善，進一步研究聽覺，發展了生理聲學和心理聲學；由于對語言和通信廣播的研究，發展了語言聲學。第二次世界大戰中，開始把超聲廣泛地用到水下探測，促進了水聲學的發展。與其他學科結合，聲學形成了許多交叉學科。20世紀初以來，特別是20世紀50年代以來，全世界由于工業、交通等事業的巨大發展出現了環境噪聲污染問題，從而促進了噪聲、噪聲控制、機械振動和沖擊聲研究的發展。大振幅的非線性聲學也得到重視，這樣逐漸形成了完整的現代聲學體系。聲學是一門科學聲學作為一門科學，首先要致力于描述、創造和理解人類經驗的一部分，即關于聲波及聲波的效應問題。在聲音這個范疇里，有各種各樣的現象，聲學就是要建立各種各樣的方程、定律來描述這些現象，發現一些新的聲學現象，在理解的基礎上發展新的預測理論。聲學的生命力在于其科學的物理基礎。L聲波的產生機制聲學首先要研究的是聲波的產生。振動學是研究聲源的理論基礎。聲學所研究的簡諧振動及其在各種物質中傳播的屬性是物理學的本質之一。從伽利略的工作到胡克定律的發現，都是振動學的實驗研究。18世紀數學的發展，推動了聲學理論的發展。1713年泰勒（BTAYLOR）第一次成功地把牛頓定律用于連續介質中微分元的運動，得出弦振動基頻模的動力學解。偏微分方程的引入得出了振動弦偏微分方程的近代嚴格解，只有應用偏微分方程才可能解決可壓縮連續介質的運動問題。在胡克對彈性體應力和應變關系研究的基礎上，18世紀的數理學家進一步研究了金屬棒、彈性板的振動。瑞利于19世紀末最早提出聲波動理論，對后來的各種波動傳播理論的發展有重要作用。目前的聲波產生機制研究前沿，主要包括流致噪聲、結構聲輻射和熱聲學等幾個方面。流致噪聲研究的是流體的流動所產生的噪聲，其應用很廣。當前最困難的問題是湍流所產生的無規噪聲。計算機中的風扇、潛艇在水下的活動，都會產生流動的不穩定，這種不穩定可以發展成為一系列的渦，渦流變化比較快的時候，就會變成更加復雜的湍流。研究表明實際上，湍流里面不是無規的，而是有序的，有一定的科學規律，稱之為混飩現象。掌握了這些規律，我們就可以利用聲與渦之間的相互作用，來達到控制流場或聲場的目的。如利用聲波來控制渦的產生與發展，可以把聲的能量變成渦的能量耗散掉。熱聲學研究聲與熱之間的關系。1982年，WHEATLEY發現在駐波管內近四分之一波長內放一摞薄片，在聲波作用下，薄片兩端產生溫度差，這就是熱聲現象。由于熱梯度的存在和某種聲場共振的機制，熱變成了聲。實際上只要有一個溫度梯度，建立一定的機制，就可以通過熱的傳導發出非常強的聲音。反過來，聲音的傳播也可以有效地傳熱或制冷，這種新技術為聲制冷，給不用氟里昂的冷藏系統提出前景。目前已經用在航天上，用來冷卻紅外探測頭，其優點是可以產生一般的壓縮機不可能達到的非常低的溫度。L聲波的傳播和衰減機制由振動而形成的聲波能量產生以后就要傳播，因此我們需要認識聲波是怎樣傳播的。如在混濁、含鹽的海水中，無論是光波還是電磁波，它們的傳播衰減都非常大，在海水中的傳播距離十分有限。相比之下，聲波在水中的傳播性能就好得多，它在海水中的衰減比電磁波小1000倍以上。因此，聲波在人類海洋活動中，如水下目標探測、通訊、導航等方面得到了廣泛的應用。在水下聲學中，20世紀第一次世界大戰和第二次世界大戰之間，人們就對海水中變化多端的聲傳播機理有了認識。20世紀20年代末和30年代初，船用回聲定位設備在性能上存在一種神秘的不可靠性，也就是說，在早晨往往能得到良好的回波，可是一到下午回波就變差或者根本就收不到。直到弄清了回波一到下午就確實變弱，而與聲納員和儀器設備無關后，人們才開始在海水介質的傳播特性上尋找原因。只有靠特殊的溫度測量裝置，才能使人們明顯地看到很小的溫度梯度就會使聲音向海底折射，從而使目標處于影區。EBSTEPHENSON稱這種現象為“午后效應”。為了測量海面以下幾百英尺范圍內的溫度梯度，AF，SPILHAUS于1937年首先研制成了溫度深度儀，第二次世界大戰開始時幾乎每一條參與反潛的海軍艦只都裝有這種設備。為了監測海洋中溫度的變化，美國于1995年開始籌備，1997年正式啟動了一個國際性的聲學大洋測溫計劃，在夏威夷附近的一個小島邊的水下，放置了一個大功率的聲源，發出70HZ左右的低頻聲波，然后在大洋的其他地方（包括我國的臺灣以東）布置了一些接收點，通過測量從聲波發射到接收處兩點之間的距離和時間，就知道了聲波的傳播速度，而聲速與海水溫度有關，從而就可以測出從發射點到接收點之間的大洋的平均水溫。同時，聲波在大氣中的傳播也是目前研究的內容。大氣中的湍流、大氣層的厚度、溫度分布、濕度分布等等變化，都會對聲的傳播產生很大的影響。特別是對于不透光的物體，聲波是很好的探測手段。因此，需要研究聲波在固體中的傳播，如B超，就要研究聲波在人體的各種器官中是如何傳播的。然后才能做出判斷。L聲波的接收聲波的接收是研究怎樣把聲信號變成電信號，如傳聲器，并在儀器上進行顯示。同時聲學的接收還研究聽覺的機理，這與人直接有關，人感受到聲音首先是通過耳朵。在生物世界里，聲學也許是最早進入人腦的物理學科。如研究人耳聽見的聲音通過耳蝸是怎樣進入大腦的，人的大腦怎么對聲調有這么強的分辨能力，怎么能夠識別不同人的講話聲，對音樂的細微差別為什么能覺察得那么靈敏；再進一步研究，人是怎樣理解語言的。通過對大腦這個“黑匣子”的分析，人們可以對大腦有更深入的理解。L聲波的作用在聲與物質相互作用的研究過程中，到目前為止，雖然主要是研究物質的聲速、聲衰減及密度、彈性系數（或黏度）等宏觀量，但通過宏觀量的測量，可以揭示物質微觀世界的本質。如分子聲學從超聲傳播速度和衰減及其弛豫效應的測定，可以研究氣體中分子的各種運動之間的能量轉移以及分子間的能量轉移，液體中的各種分子結構有關的動力學過程，以及固體物質的相變、缺陷、晶粒尺寸乃至微觀的分子結構，半導體和超導體中的能隙及能級分布情況等。當聲波強度較強時，它除了產生線性效應之外，還有非線性效應。聲音在傳播過程中，會引起物質的性質和狀態的變化這些效應包括力學、熱學、光學、電學、化學效應這些效應在不同的場合中得到了具體的應用。力學效應攪拌作用；分散作用；去氣作用；成霧作用；凝聚作用；定向作用；沖擊破壞作用；疲勞破壞作用等熱學效應吸收引起的整體加熱；邊界面處的局部加熱；形成激波時波前處局部加熱光學效應引起光的衍射、折射、雙折射；聲致發光等電學效應在壓電、壓磁材料中產生電場和磁場；引起電子逸出；電化學效應等化學效應促進化學反應；促進氧氣還原；促進高分子物質的聚合或分解；引起照相底片的感光；引起聲化學發光等L聲學是一門技術聲學是一門技術，是因為我們可以利用已知的聲學的科學原理，去改造人類生存的環境，去發展人類需求的各種方法和工具。聲學技術的廣泛應用，首先要歸功于聲波的物理特性。技術對聲學來說，是它的競爭所在。其主要的應用技術包括L水聲技術水聲技術是利用聲波對水下目標進行探測、識別、定位、通訊和導航等功能的聲學技術，這是由于聲波是唯一能在海水中有效地進行遠距離信息傳遞的載體。藍綠光在海水中衰減系數為123DB/KM，100HZ超長電磁波在海水中衰減系數為345DB/KM，但100HZ聲波在海水中的衰減系數僅為00015DB/KM。聲波能在水下傳播很遠距離，而光波和電磁波則在很短距離內就會被海水完全吸收。因此，所有的水下探測、通訊、導航、遙控等活動都離不開聲學。水面艦艇、水中潛艇、魚雷、水雷、水下暗礁、魚群以及其他發出聲波或產生回波的水下物體，均可看為聲納（即水聲設備）的探測目標。所以，聲納在軍事上和國民經濟中具有廣泛的用途。1826年，法國數學家查爾斯斯特姆（CHARLESSTURM）和瑞典物理學家丹尼爾克拉頓（DANIELCOLLADON）在日內瓦湖第一次測出了聲音在水中傳播速度的測量值（如圖03所示）。斯特姆（圖中左）敲響了浸在水中的鐘。克拉頓用秒表記下了聲音傳過水下所用的時間，測得的聲音的傳播速度為1435M/S。比現在公認的速度值只差3M/S。L噪聲控制技術現代工業和交通飛速發展，伴隨著出現大量的噪聲問題，如機器噪聲、交通噪聲等等。噪聲妨礙人的健康，影響人們的工作和生活、干擾精密儀器的運轉。高強度噪聲還會造成人們聽力喪失，甚至損害房屋建筑。因此，20世紀60年代前后，“噪聲控制”作為一門獨特的學科從建筑聲學中分離出來，得到迅速發展，是當前研究的前沿熱點之一。有源噪聲與振動控制技術是當前噪聲控制技術中最先進的研究方向，它的物理意義是用聲波來抵消聲波。這時只需用一個可控制的噪聲，不需要任何別的材料和結構?？煽刂频脑肼曉窗l出一個聲波來，使它與噪聲的振幅大小相等，位相相反，兩個波疊加的結果就使得噪聲被抵消了。如用隨身聽聽音樂時，噪聲和音樂都一起進入了耳朵，聽起來很不清楚，這時在耳機中再發出一個噪聲信號，把噪聲抵消掉，把音樂留下來，聽到的音樂就很清楚了。L電聲技術電聲技術是聲學領域中發展得比較快的一個分支。它的發展和近代通訊技術的發展緊密相關，主要包括錄放聲技術、擴聲技術以及與它們有關的電聲測試技術等。微音器的發明使人們能夠利用電子設備把語言信息傳到遠處。電子學的發展促進了電聲換能器件的研制與電聲測量方法的發展。把電信號轉變為聲信號，或者把聲信號轉變為電信號的技術都是電聲研究與應用的范疇。如話筒、喇叭、音響、電聲系統等等。當前比較熱門的研究主要集中在新概念揚聲器。如強指向性聲源，使用兩束很強的超聲波，這兩束超聲波的頻率稍微有一些變化，由于非線性效應，這兩束超聲波會產生差頻信號，差頻出來的聲音，剛好落在20HZ到20KHZ的頻率之間，人的耳朵就能聽見了。由于超聲頻率很高，它的指向性很強，而差頻出來的這個聽得見的聲音是跟著超聲一起傳播的，所以它的指向性也很強，又因為差頻聲是低頻的，所以衰減很慢。L語音技術語音歷來是信息傳遞的要素。語音信號處理解決的是人機對話的問題，它研究語音的識別、合成、編碼、解碼、傳送等等。語音識別是根據語音信號的聲學特征，有時加上語音的結構規則和語意線索，由機器認出與該語音輸入相關的語音來?？梢愿鶕褂靡?，由機器以不同的方式做出響應，如打印語音相應的文字、符號，完成規定的動作。識別是指從語音到文本的轉換，即讓計算機把人發出的有意義的語音，變成書面語言。語音合成是指從文本到語音的轉換，也就是把書面的語言轉變為語音，再通過喇叭發出來，這是目前較成熟的語音技術。當前話音合成系統可分為兩類一類是利用數字化技術預先存儲語音數據；另一類則是利用語音參數和發音規則產生語言，從而還可以實現文語轉換。這種人機交互語言應用前景廣泛。在國外許多電話公司已開始試用，如機場、車站等交通和其他商業部門。語音編碼與壓縮是指在語音信號傳輸的過程中，為了減少傳送的數據量而又不會造成語音信息的損失，首先必須對其進行編碼，給出壓縮表示，變成一系列的數字，到了接收端還要再不失真地還原為語音（解碼）。L超聲技術超聲及其應用是近代聲學發展中最為迅速的新興分支。超聲技術與介質中超聲的產生和接收的研究密切相關。19世紀末，理論工作研究的頻段已不限于音頻范圍，但由于沒有高頻聲源，高頻聲的研究沒有能得到發展。1880年居里（CURIE）兄弟發現的壓電效應，以及20世紀初電子學的發展，使人們能利用某些材料的壓電效應和磁致伸縮效應制成各種機電換能器。1917年，法國物理學家朗之萬用天然壓電石英制成了夾心式超聲換能器，用來探查海底的潛艇。隨后又出現了更大超聲功率的磁致伸縮換能器，以及各種不同用途的電動型、電磁力型、靜電型換能器等多種超聲換能器。高頻聲源一旦出現，聲學研究的領域馬上擴展一方面是超聲波的產生、接收、傳播以及在物質中的作用的研究；另一方面是液體和固體中聲波和超聲波在各種工業上應用的研究。利用聲波和超聲波在介質中傳播時的物理、化學作用，以及對生物生態的影響，推廣了它在各種工業技術上的應用。L次聲波應用早在第二次世界大戰前，次聲學方法就已應用于探測火炮的位置利用接收到的被測聲源所輻射出的次聲波，探測它的位置、大小和其他特性。核爆炸時會形成強大的次聲源，它所產生的次聲波在大氣中可以傳播得非常遠。因此，次聲方法成為探測大氣中核爆炸的主要方法之一?？梢酝ㄟ^接收核爆炸、火箭發射火炮或臺風所產生的次聲波去探測這些次聲源的有關參數。可預測自然災害性事件，許多災害性現象如火山噴發、龍卷風、海嘯和雷暴等在發生前可能會輻射出次聲波，因此可以利用這些前兆現象預測災害性事件。L聲學微機電器件聲學微機電器件是指采用微電子工藝技術制造的，工藝特征尺度在微米至毫米之間，由聲學、機械和微電子器件構成，或依據聲學的原理設計及發生作用的，能夠獨立完成一定的信號采集、信息處理和驅動控制作用的器件。主要包括三種類型（1）微型聲學傳感器實現聲信號到電信號的轉換，直接的有傳聲器、加速度計、水聽器、慣性傳感器等；間接的有微量氣體傳感器、生物傳感器、溫度傳感器等。（2）聲學微機電驅動器件實現電學量向聲學驅動量轉換，或者是用聲信號來驅動器件，如微型耳機、振動激勵器、微噴、微運輸、超聲微馬達、微振動沖擊鉆等。（3）微聲處理器件使用聲學方法實現電信號、光信號或其他類型信號的濾波、調制等處理功能的器件，如聲表面濾波器件、光聲器件等。它首先把電信號變成聲信號，經過聲學的傳播和調制以后，再從聲信號變回電信號，中間本應由電信號完成的卷積、濾波的過程，讓聲學過程來完成。這些器件由于尺度小，在無線電通信等許多方面都得到應用。聲學還是一門藝術聲學從一開始就與音樂分不開，音樂聲學是聲學中最古老的學科分支。聲學是一門藝術在于聲音與人的主觀反應之間的關系，聲音可以用來滿足人類的精神生活的需要。音質的好壞，除了客觀地用物理儀器測量以外，還要有主觀評價。要把主觀評價的客觀基礎與主觀感受聯系起來，牽涉到人的生理和心理狀態。因此，聲學反映了主體與客體的關系。建筑聲學，特別是室內聲學中的廳堂音質設計問題，就是科學為藝術服務的學科之一。在廳堂里說話出現的小回聲持續時間既不要太長，又不要太短，即混響時間參數的選擇，是評價廳堂音質的主要物理量。如果混響時間太長，就要在屋頂、墻壁和地上加上吸聲材料，使每一次聲反射時損失聲能量多一些，混響時間就短了。為了滿足多種用途，如做報告、演奏現代音樂、演奏古典音樂，廳堂內往往裝有吸聲性能可變的墻板或柱子。在需要混響時間長的時候，就把吸聲能力弱的一面翻出來，增加混響時間；在需要混響時間短的時候，就把吸聲能力強的一面翻出來，減小混響時間。L質點振動系統L彈性體的振動L理想流體介質中聲波的傳播L聲波的輻射L聲波的散射L聲波的接收L聲波的吸收主要章節內容包括第1章質點振動系統L質點的自由振動L質點的衰減振動L質點的強迫振動L機電類比L耦合系統的自由振動自然界中普遍存在著振動現象。各種機器和儀表的振動，車輛在不平路面上行駛時的顛簸，輪船在海浪沖擊下的左右搖擺和前后縱搖，樹葉在風吹動下微動等等，都是振動的例子。我們把物體或質點系統按一定規律在其平衡位置附近所作的周期往復運動，稱為振動。振動學是研究聲學的基礎，因為不僅聲學現象實質上是傳聲介質（氣體、液體和固體等）質點所產生的一系列力學振動過程的表現，而且聲波的產生基本上也來源于物體的振動。既然聲是由物體振動而來，因而從物體的振動規律中自然也可預知聲的一些規律。例如，由揚聲器發出的聲音的強弱及其頻率與揚聲器的紙盆振動幅度及其頻率有關。一個聲學工作者免不了要使用或者研制一些電聲器件，而這些器件大多數都有一個（或多個）振動系統?？梢园l現，這些振動系統的特性，對控制電聲器件的聲學性能往往會起著關鍵作用。由此可知，振動學的基礎知識對研究聲學是非常重要的振動學所研究的范圍很廣，我們主要討論與聲學問題聯系比較密切的力學振動的基礎知識。在對任何一個真實物理系統進行任何理論研究時，我們總是不得不對系統的性質作一定程度的簡化、理想化。為了建立所研究的物理系統的數學模型，列出描述此物理系統之性質和狀態的某方程時，應該考慮這樣的一些基本的、決定性的因素，它們決定著那些目前我們最關心的系統特點。本章就從研究最簡單的振動系統質點的振動系統開始。一方面，許多實際系統可以足夠準確地簡化為這樣的系統；另一方面，質點振動系統的一些重要概念、特性和研究方法，又是研究更復雜振動系統問題的基礎。所謂質點振動系統是指構成整個振動系統的質量塊與彈簧不論其幾何大小如何，都可以看成是物理性質集中的系統，對于這種系統，質量塊的質量認為是集中在一點上，而整個彈簧的彈性是均勻的，即認為彈性也集中在一點上，構成整個振動系統的質量和彈簧運動狀態都是均勻的，也稱為集中參數系統。一個振動物體能否作為質點系統來看，并不由它的“絕對”幾何尺寸所決定，而要看它的線度與物體中振動傳播波長的相對比值而定。實際物體總有一定的幾何大小，并且物體的各個部分振動狀態往往也不可能處處相等。但如果物體振動形變的傳輸所需的時間與物體中振動周期（振動一次所需的時間）相比短得多，或物體的線度比物體中振動傳播波長小得多，那么這一物體的各部分振動狀態就可以近似看成是均勻的，因此這一振動系統就可以近似地看作是質點振動系統。實際上，常有另一些振動系統，其中每一部分都具有慣性、彈性和消耗能量的性質，即系統的質量、彈性和阻尼在空間上表現為連續分布的系統，這樣的振動系統稱為分布參數系統。11質點的自由振動我們首先來研究最簡單系統的可能振動，即質點的無阻尼自由振動。111振動方程及其解一個與彈簧緊聯的質量塊M構成了一簡單的振動系統，見圖11。如果可以不計彈簧質量的影響（在彈簧質量遠比質量M小的情況下），并將假定物體M是絕定剛性的（如物體M的剛性遠較彈簧為大時），在這種情況下，可以將它當作是單個自由度的質點的振動系統來研究，簡稱單振子。我們研究沿X方向的運動情況。當它從靜止的位置被輕輕移動，并放開，則質量M將振動。測量表明質量M離開它靜止位置的位移是時間的正弦函數，這種類型的振動稱為簡諧振動。聲學中使用的大量振動都被認為是這種振動，甚至更復雜的振動系統也有許多簡諧振動的特征，常?？梢杂煤喼C振動來近似。假定質點離開平衡位置的位移X很小（即限于討論微小振動），以致彈簧的伸長或收縮沒有超出彈性限度范圍，對于這種質點自由振動的唯一制約力是恢復力（彈力），其正比于位移，即滿足胡克定律。根據胡克定律有此處X是質量M離開平衡位置的位移，D是彈簧的勁度或稱彈性系數，有時也使用其倒數CM表示，CM1/D稱為順性系數或力順，式中的負號表示彈力方向與質量位移方向相反。根據牛頓第二定律有此處是質點的加速度。D和M是正值，定義常數稱為振動的角頻率。將它代入式（112），得到質點的自由振動方程這是一個重要的線性微分方程，它的解是眾所周知的，其完全一般解為其中，因此，方程（114）的解為此處A1和A2是待定常數，式（115）也可以寫成另一種形式其中A和也為待定的常數，它們與A1和A2之間的關系為參數是以每秒弧度為單位的角頻率，因為一周有2弧度，所以以赫茲（HZ）為單位（周/秒）的頻率與角頻率的關系為一個完全振動的周期T由下式給出112初始條件上面已經指出，描述質點自由振動的位移表達式中有兩個待定常數A1和A2或A和，它們決定于系統的起振條件，如果兩個常數一旦確定，那么這一系統的振動狀態就可以完全知道。假定T0時，質量有一個初始位移，初始速度，將此條件代人式（115）得到則式（115）變為由式（119）可以看到一個很重要的物理事實，這就是振動頻率只與D和M有關，而與X0和V0無關。也就是說，一個給定的質量塊和一個給定的彈簧，只要彈簧施于質量塊上的力滿足，那么，振動的頻率也就確定了，不管我們是如何使這個系統開始振動的，也不管它振動的初始振幅是1CM還是0001MM，這在應用上是個很重要的結果。因為假如實際彈簧的作用力不近似地滿足，或是式（112）的解無此性質，那么就沒有一種樂器可以奏出協和的音調來。如果說彈鋼琴時，每個鍵子的音調與彈的輕重有關，那將會是一件多么難以想像的事在很多情況下，我們也可以用一系列的實驗方法來得出上面的結論。但上面數學分析的結果已立即告訴我們，任一質量塊在力的作用下都會有這種性質。這類的振動稱為簡諧振動。我們可看到，為了表征這種“正弦”的簡諧振動，必須給定三個量A是最大偏離或振幅，是在內的振動次數或角頻率，是所謂振動的初相位。當我們同時考慮幾個振動過程時，初相位將起著極其重要的作用。實際上，因為振動的相位完全取決于計算時間的初瞬時，如果計算時間的初瞬時已由某一其他過程給定了，那么這個過程的初相位便不能隨便選取了。但是當我們只研究某一個“孤立”的過程時，振動的相位便不起任何實際作用了?？傊喼C振動因作周期正弦運動而得名。只有在X00和V00的情況下，即振子在初瞬時處于平衡狀態時，才不會產生振動，在這種情況下，振子將一直保持靜止。進一步微分得到質點的速度和加速度為可以看出，位移滯后速度RAD，而加速度與位移有RAD的相差。113振動的能量以振幅A、角頻率振動的振動系統的能量E是系統位能EP和動能EK的和。系統具有位能是由于質點離開它的靜止平衡位置運動，使彈簧畸變所做的功，由于質點施加在彈簧上的力在位移的方向上為DX，因此彈簧儲存的勢能和質點M具有的動能分別是整個系統的能量從這一關系式可以看出系統在振動時各個時刻的總能量是一個常數，它等于質點達到最大位移時的位能，或等于質點具有最大速度時的動能，同時也可以推知系統的總能量應等于初始時刻外部所給予系統的能量。114彈簧質量對系統固有頻率的影響確定一個系統的固有頻率，是研究振動問題的重要任務，當系統作無阻尼自由振動時，系統的機械能是守恒的，這時可以利用能量方程求出系統的固有頻率。在上面的討論中都沒有考慮到彈簧本身的質量，認為系統的質量都集中在質量塊上，然而一般彈簧總是或多或少具有質量的。如果彈簧本身的質量比起質量塊質量小得多，那么允許忽略彈簧的質量；如果彈簧的質量并不是很小，那么這種忽略就有問題了。例如，一種所謂高順性揚聲器，它是采用橡皮等材料做紙盒的折環，使振動系統的力順提高，彈性降低，從而降低系統的固有頻率，以便擴展揚聲器的低頻范圍，橡皮的彈性限度比紙大，所以也就擴展了揚聲器紙盒振動幅度的限度。對于這種振動系統，由于橡皮比較重，因此橡皮折環部分的質量就不能輕易忽略。下面研究在考慮了彈簧質量時振動系統的一些特性。設有如圖13所示的單振子，設彈簧的長度為L，彈簧的質量為MS，它在整個彈簧上均勻分布。因為彈簧具有質量，所以振動時它具有動能，為此要來分析它的速度分布。彈簧在X0端固定，該端的位移與速度為零，在XL端彈簧與質量塊MM相連，位移與速度同MS一樣等于與V。現把彈簧分成很多小元段，每一元段長為DX，因為彈簧伸縮均勻，所以每一彈簧元段產生的位移為這些彈簧元段串聯相接，因此在X處彈簧的總位移應是在0至X之間所有彈簧元段位移貢獻的總和，它等于由此可知在X處彈簧的速度應等于?？紤]到元段DX的質量為，所以在X處元段的動能可表示為因此，彈簧的總動能等于因為已知質量MM的動能為所以系統的總動能應等于對于一個沒有能量損耗的保守系統，按能量守恒定律，在運動的每一瞬間其振動動能與位能的和應為常數，因為位能仍可表示為，所以有將代入，并對式（1118）取時間T的一階導數，經計算后可得到如下方程將此式與式（114）比較，就可求得系統的固有頻率為從此式可見，考慮彈簧本身質量的系統仍可看作為質點振動系統，但此時系統的等效質量為，即系統的總的質量除了質量塊的質量外還附加了三分之一的彈簧質量。顯然考慮了彈簧的質量后，該系統的固有頻率應相應變低。115彈簧串聯與并聯系統的振動除了上面的基本的自由振動系統外，在實際中還會有些更為復雜的系統。如在系統中的彈簧不是一根，而是兩根，或多根，并且它們可以是串聯相接或并聯相接。我們來簡單地討論這種系統振動的一般特性。首先引入系統產生靜態位移的一些關系。在上圖11所示的單振子系統中，假設彈簧D在重力MG作用下產生了靜態位移，從而彈簧對質量產生了彈力（）。在靜態平衡時，作用在質量M上的合力應為零，即有如下關系將此式代入式（113），可得固有頻率的另一表示式上式表明，固有頻率與系統的靜態位移發生了直接關系這一結果很有實際應用意義。它告訴我們，如果我們測得系統的靜態位移，則無需再去知道系統的固有參量M和D，就可直接從式（122）中求得系統的固有頻率。下面討論雙彈簧串聯相接與并聯相接的兩種振動。1雙彈簧串聯相接設兩根彈簧的彈性系數分別為D1和D2，質量M的重力作用下，產生的靜態位移分別為和，如圖14所示。于是每一彈簧所產生的彈力分別為和。因為兩根彈簧是串聯相接，每一根彈簧受到質量M的拉力都相等，并且等于MG，因此根據靜力學平衡條件可得兩根彈簧的總靜態位移應等于各個彈簧靜態位移的總和，于是，系統的固有頻率就等于其中，為彈簧串接時的等效彈性系數。這表明，兩根彈簧的串接使系統的彈性減小，固有頻率降低如果有D1D2D，則DD/2，因此兩根相同彈簧的串聯相接，可使系統的彈性比單根時減少一半，從而使固有頻率降低倍。2雙彈簧并聯相接同樣設有兩根彈簧的彈性系數分別為D1和D2，因為是并聯相接（如圖15），在質量M的重力的作用下，兩根彈簧的靜位移相同，都為，所以它們所產生的彈力分別為D1和D2。這時作用在質量M上共有三個力，質量的重力和兩根彈簧的彈力。根據靜力學平衡條件可得于是系統的固有頻率就等于其中DD1D2為彈簧并接時的等效彈性系數這表明，兩根彈簧的并接使系統的彈性增大，固有頻率提高。假如D1D2D，則D2D。所以兩根相同的彈簧的并聯相接，可使系統的彈性比單根時增加一倍，而使固有頻率提高倍。12質點的阻尼振動在無阻尼的自由振動中，由于機械能守恒，運動保持為等幅振動，但在實際情況中，一個真正的物體進入振動狀態后都會出現振幅逐漸衰減的過程，亦即系統在振動時，始終會受到一種阻尼力的作用，這種阻尼力作用可能是振動物體與周圍介質之間的黏性摩擦（或者振動物體自己的內摩擦）的效果；也可能是物體向周圍介質輻射聲波的效果。前者使振動能逐漸轉化為熱能，后者使振動能逐漸轉化為聲能，雖然熱能與聲能表現形式不同，但對系統來說都是使能量損耗的原因。121振動方程和解由于阻力有各種各樣的來源，要精確地描述它是困難的。一般地，我們只知道阻力是與運動方向相反的，通常處理阻力的最簡單的方法是假定阻力是運動速度的函數，對于小振幅振動可以認為阻力與速度呈線性關系，即有RM稱為阻力系數，也稱力阻，是正的常數，單位是NS/M（牛頓秒/米）。式中負號表示阻力總是與系統的運動方向相反。如果增加了阻力效應，則振動系統的運動方程變為或寫成這里式（122）是帶系數的線性微分方程，其一般解為是特征方程的兩個根，由此得分兩種情況討論1，即（阻力很大時），則均為實數，且，于是其中每一項均按指數規律衰減，所以對應的是一種衰減運動，但不是震蕩形式的?？梢宰C明，不同的初始條件，C1、C2值不一樣，則位移X（T）的變化規律也不同。2，即（阻力不大時），則令或這里A1，A2是取決于振子的初始條件的常數。式（126）表示一個“振幅”隨時間衰減的振動，函數稱為阻尼系數的物理意義是愈大，即阻力愈大，振幅衰減得愈快，當T0時，振幅ATA0，經過T時間后，下降為AT。有時也用振幅衰減到初始值的倍的時間來度量系統衰減的快慢，這一時間稱為衰減模量，單位為S。對于系統所受到的阻力還可以用品質因素QM表示。QM定義為振幅衰減到初始值的時所經過的周期數，即它和電路中的品質因素類似?？梢钥闯?，阻尼作用愈大，QM愈小，則振動衰減愈快。所以QM是表征振動系統特征的常數，其值反映了系統受阻尼作用的大小。阻尼振動衰減情況如圖16所示。由式（126），我們還可以看出，相隔一個周期T時間的相鄰兩次振動的振幅值比是I代表振動的序數，由此可以求出第一次與第I次幅值的比為可見幅值的衰減是以幾何級數規律進行的，因此即使在小阻尼的情況下，即固有頻率變化甚微的情況下，幅值的衰減也可能進行得很快。122阻尼振動的能量阻尼振動在每一瞬間的總能量應等于該時刻的振動位能與動能的總和，即已知所以由上式可以看出總能量對時間T的關系非常復雜，考慮到，近似有由上式可以看出阻尼系統中的總能量隨時間變化，即使在一個周期內也是有起伏的，如果取整個周期中能量的平均有由此可見，由于阻尼的存在，質點振動系統的平均能量隨時間作指數規律衰減。能量的散失系由于阻力（RM）引起，可能變為熱能形式散失。在介質中振動時，部分消耗在系統內部變為熱能，部分變為聲能。13質點的強迫振動振動系統內部總是有阻尼作用，能量會逐漸損耗，因此初始激發引起的自由振動，終將因能量逐漸損耗，振動逐漸減弱，以致運動停止，要維持運動必須由另一個系統不斷的給予激發，不斷的補充能量，這種由外力作用維持的振動稱為強迫振動。例如揚聲器的音圈紙盒振動系統受到持續的電磁策動力作用而振動，產生聲波，傳聲器的音膜在持續的聲波作用下產生振動，感應出電壓等等，本節只限于討論諧和外力作用下的強迫振動。131無阻尼系統的強迫振動仍以彈簧振子為例，當此系統無阻尼時，質量元件M上受兩個作用力，一個是彈性力DX，一個是外加推動力F，于是它的運動方程式為設，FM為外力的振幅，是外力的角頻率。為了采用復函數求解，可以把外力寫為復數，則方程變為一般。式（131）的通解包括兩部分XTX1TX2T，X1T是方程（131）右邊為零時所得的齊次方程的解。在前面已經討論過，X2T是方程（131）的特解，設以復數形式表示為，其含義為它按外力的振動規律而變，其振動頻率等于外力的頻率，代入式（131）得因為實際的外力是復數的實數部分，應而得到復數解的實數部分此式便是無阻尼系統在外加諧和力作用下的普通形式解，第一項與自由振動形式相同，稱為自由振動分量，第二項與外加作用力有關，且與外力的變化規律相同，稱為強迫振動分量。設初始條件有因為，為此要求得式133的第二個因子隨時間變化的周期與第三個因子相比緩慢得多，因此該式表示一個拍頻振動，拍的周期即拍頻等于外力頻率與固有頻率的差。所以得到在零初始條件下的振動位移是拍是很有趣的物理現象，是一種隨時間變化的干涉現象。在圖17（A）中有兩組波動，它們的頻率不同，但相差小。圖17（B）便是兩組波動疊加后的圖形，在開始時振幅很小，漸漸地振幅會變大，之后又回復到振幅較小的狀態，周而復始。當外力頻率和固有頻率相等時（）則式（133）變為此式表明，在無阻尼系統中，當加上與固有頻率相同頻率的外力時，系統的振幅與時間將成正比的增加。由此可見，如果外力持續作用，隨著時間的增加，振幅將無限增大，這在實際中是不存在的。132有阻尼系統的強迫振動當考慮到系統的阻尼時，運動方程寫成或式（136）的解為X1（T）是式（136）右邊為零時的解當時，有，則近似有A0和是由初始條件確定的常數，X2T是式（136）的特解，令是外力的角頻率，AM是待定的位移復振幅，代人式（136）得ZM稱為系統的力阻抗（或機械阻抗），RM稱為力阻，XM稱為力抗，為力阻抗的模值，為其幅角，力阻抗的單位為NS/M（牛秒每米），舊稱力歐姆。于是其中式（1311）為阻尼系統強迫振動的一般解。第一項稱為瞬態解，它描述了系統自由衰減振動，此項與系統的初始條件有關，并且僅在振動的開始階段起作用，當時間足夠長時，它的影響逐漸減弱最終消失。第二項稱穩態解，它描述了在外力作用下，系統進行強制性振動的狀態，它的振動頻率等于外作用力的頻率，它的振幅是恒定的，所以稱穩態振動。從（1311）式可以看出，當外力剛加到系統上去時，質點的振動狀態頗為復雜，它是上述兩種振動狀態的合成。這種振動狀態描述了強迫振動中穩態解逐漸建立的過渡過程；當一定時間以后，瞬態振動消失，系統振動僅由第二項穩態解來描述，系統達到穩定狀態。133強迫振動的能量對于大多數的聲學問題，研究的是穩定振動狀態下系統的情況。因此我們在下面幾節中著重討論振動達到穩定時的特點。在穩態振動中，由于存在阻力，系統要不斷損失能量，因此，需要不斷從外部獲得能量。外界強迫力每秒鐘向系統提供的能量，可用強迫力每秒對系統所做的功來表示。以A表示強迫力所做的功，則瞬時功率穩態時可見功率隨時間而變，取一個周期平均值，即得機械功率以WM表示機械功率其中式（1314）表明WM和VM的平方成正比，并和系統的阻力系數（力阻）RM成正比，當給定振速，而增加力阻RM時，振動一周所消耗的能量增加，所以需要的功率也愈大。如果力阻是由系統向空間輻射聲波所引起的，那么顯然力阻愈大就表示系統向空間輻射聲波的能量愈多。由式（1314）還可以發現一有趣的規律。由于，所以該式還可以寫成式中，XM為位移幅度。該式表明，假定力阻RM對頻率是常數，而如果要求系統機械功率對各頻率相同，那么頻率愈低，質點振動的位移就要求愈大，頻率低10倍，位移振幅大100倍。以后我們將知道，一般頻率愈高，聲輻射阻抗愈大。因此，對于一振動系統，低頻的聲輻射往往要比高頻困難得多。例如對于一振動系統，如果要求它在高頻與低頻時的聲的“機械功率”相同，那么顯然該系統的位移振幅在低頻時要比高頻時大得多過大的位移振幅會帶來聲學技術上的困難，例如揚聲器紙盆產生過大的位移，就會使折環的彈性超出胡克定律所遵循的彈性限度范圍，從而使振動系統產生非線性效應。134速度振幅和位移振幅的頻率響應在穩態振動中，位移為式（1316）表明振動的速度的振幅和外力的振幅成正比，而相位落后。由此可見，位移和速度與外力之間的比例系數為和，而是的函數，所以在交變力作用下的位移和速度幅值不僅與力的幅值有關，而且和外力的頻率有關，即使在諧和力作用的情況下，外力振幅雖然不變，但只要頻率變化，則位移和速度的幅值和相位都會發生變化。而振速為由式138），當時，則達到最小值，為零，于是振速達到最大，并且和外力同相位，這種現象稱為機械諧振（共振）現象，即當外力頻率等于系統的固有頻率時系統達到諧振。如果系統的阻力系數RM（又稱機械有功阻抗）很小，雖然外力振幅不大，但諧振時的幅值仍可很大。諧振狀態下，振速達最大，振動幅度也很大，效率很高。如果外力頻率不等于諧振頻率，速度振幅便會減小，并且頻率偏離愈大減小得愈多，保持外力的幅值不變（FM常數），而改變頻率，得到速度幅值隨變化的關系，見圖18的曲線，稱之為頻率特性曲線，又稱諧振曲線?？梢钥闯觯俣戎C振頻率與QM無關，它恒等于系統的固有頻率，而速度諧振峰值與QM成正比。機械阻抗與頻率的關系見圖19，可以看出，當時，最小，可對應于圖18中的最大值，同時可以看出不同的RM值，曲線形狀不同。RM愈大，諧振時幅值愈小，曲線也愈平坦。共振現象在各種工程技術中起很大的作用。正如一切自然現象一樣，在一定的時間、地點條件下，它可能對我們是有利的，而在另一些條件下則是有害的，有時還有破壞性，能使振動系統毀壞。如圖110所示，一個高腳玻璃杯，有它的諧振頻率，拿一個喇叭按照這個頻率對它用力吹，玻璃杯的振動越來越大，最后就振碎了。1940年，美國建成的塔科馬窄橋（TAROMANARROWSBRIDGE），由于風吹，產生自持振動，自持振動的頻率正好和橋的固有頻率一致，振動就愈來愈大，終于使這座大橋在建成4個月后振塌了，這就是諧振的作用。振動系統的頻率特性曲線分布對水聲換能器聲波的收發系統的工作有很大影響。某些換能器接收的電壓和它的機械系統的振速有關。由于在諧振頻率時振速幅值最大，因此作為接收單頻聲波的接收器來說，應使換能器機械系統的固有頻率等于聲波信號的頻率，其目的是在給定聲波強度情況下，可得到更大的振速幅值，從而可獲得較大的靈敏度，此外還可提高接收機的抗干擾能力。因為，對頻率不等于系統固有頻率的干擾聲波將引起的振幅更小，其接收靈敏度也小，所以從抗干擾和提高靈敏度考慮，希望系統的阻尼愈小愈好。但在實際設計換能器的機械系統時，還需考慮其他有關因素（如阻尼過小，系統自振時間長，對瞬態脈沖接收是不利的）。如果機械系統接收的外力為多頻率的復合信號，則盡管機械聲波的各頻率分量的幅值相等，但它們在接收端所產生的各頻率分量的振速幅值和相位卻不相等，這就會造成信號的“波形失真”。當諧振曲線過分尖銳，則失真程度將更嚴重。如在接收脈沖或多頻的聲信號時，為了避免此種現象，應保證在接收信號頻帶內有較平坦的頻率特性曲線。從上節討論中得到系統的機械功率為以，代入，則當諧振時為最大值，即于是有其中是機械品質因素。根據式（1317）可以畫出不同的QM值的功率特性曲線（圖111）。我們定義功率降到最大值的1/2時，兩頻率差為頻率寬度。（此時速度振幅峰值下降倍。）令，故頻率滿足兩式消去QM，得，又將兩式相加，得式（1318）說明，品質因素QM愈大，則相對頻率寬度的數值愈小，頻率特性曲線愈尖銳。這與電學中的Q情況類似，由此也再次說明了QM定義為機械品質因素的含義。強迫振動時，振子的位移也與外力的振幅及頻率有關。根據式（1315），位移幅值為式中為時的位移振幅，；。此時外力產生的振動位移振幅等于同樣大小的靜態力產生的位移振幅的QM倍。因此，當系統阻尼作用力很小時，品質因素相應增加，則在時位移振幅很大，但是并不是位移最大值的所在點，見圖112，將式（1319）取對的一階導數，并令其為零，可以得位移達到極大值時的頻率。解出最大值時的頻率可見位移最大值的頻率比諧振頻率略小，但當QM相當大時。由圖112可見，QM愈大曲線愈陡峭，QM愈小，曲線愈平坦由式（1320）可以提出位移諧振的頻率與QM值有關，這與速度諧振是不同的135強迫振動的過渡過程由前面對阻尼強迫振動的分析（1311）可知，其解包括瞬態和穩態兩部分。其中，瞬態解是當外力移去后，振子的自由衰減振動，穩態解則是由于外力的作用而使振子獲得的振動。當力加到系統以后，開始時兩部分對位移都有貢獻，一段時間以后，第一項衰減到很小，這時只有第二項起作用，它表現為等幅的振動。盡管自由振動是衰減的，而且持續時間也不長，但這一“自由振動”的成分攪雜在受迫振動中，總會引起一些畸變。從力開始作用到穩態的建立一段時間內，“振幅值”隨時間而變，此過程稱為強迫振動穩態建立的過渡過程。不同外力作用下，振動過渡過程的形式不同，我們討論幾種典型情況。1振動系統開始時完全處于靜止狀態（零初始條件），即且所加諧和力的頻率等于系統的固有頻率。因，故，則由式（1311）得由初始條件可得其曲線可見圖113，可見純衰減振動的包絡可由描述（見圖113中曲線2），而與穩態解疊加之后總位移的包絡則由描述（見圖113中曲線3）。可見，在此種情況下，衰減模量既可反映包絡衰減的時間，也可衡量包絡上升的時間。從理論上說，要經過無窮大的時間方能達到穩態值，實用上，當振幅達到穩態值的95時，就認為振動已經基本達到穩態，穩態振動基本建立所需的時間稱為穩態振動的建立時間。即由此可算出穩態振動建立的時間為，把代入，則即穩態建立時間約需QM倍振動周期的時間。因此QM值不但表征著共振曲線的銳度，而且還表征著受迫振動的建立時間。QM值愈大，共振曲線愈銳利，則穩態振動建立的時間愈長，即穩定狀態來到愈慢。（2）如外力頻率接近而又不等于諧振頻率，則在過渡過程中，瞬態成分和穩態成分疊加表現出拍現象，如圖114所示。隨著時間增加，振幅的起伏愈來愈小，最后趨于穩態。同樣，這種起伏階段與系統的QM值有關（3）正弦脈沖填充作用。設正弦脈沖作用力的持續時間為，當力加到系統上后，振動的振幅按曲線隨時間增長，而脈沖結束后，系統振動則按自由振動規律的指數衰減