1 高三單元滾動檢測卷 數(shù)學 考生注意 ： 1 本試卷分第 卷 (填空題 )和第 卷 (解答題 )兩部分 ， 共 4 頁 2 答卷前 ， 考生務必用藍 、 黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名 、 班級 、 學號填寫在相應位置上 3 本次考試時間 120 分鐘 ， 滿分 160 分 4 請在密封線內作答 ， 保持試卷清潔完整 單元檢測三 導數(shù)及其應用 第 卷 一 、 填空題 (本大題共 14 小題 ， 每小題 5 分 ， 共 70 分 請把答案填在題中橫線上 ) 1 (2015贛州聯(lián)考 )函數(shù) f(x) 3ln x 3x 3在點 ( 3， f( 3)處的切線斜率是 _ 2 設 f(x) x， 若 f ( 2， 則 _ 3 (2015黑龍江雙鴨山一中期中 )若函數(shù) y f(x)的圖象在點 (1， f(1)處的切線方程為 y 3x 2，則函數(shù) g(x) f(x)的圖象在點 (1， g(1)處的切線方程為 _ 4 函數(shù) f(x) 3x 1， 若對于區(qū)間 3,2上的任意 都有 |f( f( t， 則實數(shù) _ 5 曲線 y 1,1)處的切線與 x 1 所圍成的三角形的面積為 _ 6 (2015遼寧丹東五校協(xié)作體期末 )若曲線 y 12曲線 y x 在它們的公共點 P(s， t)處具有公共切線 ， 則實數(shù) a _. 7 已知函數(shù) f(x)的定義域為 (4a 3,3 2 a R， 且 y f(2x 3)是偶函數(shù) 又 g(x) 14， 存在 k， k 12 ， k Z， 使得 g( 則滿足條件的實數(shù) _ 8 (2015淄博一模 )曲線 f(x) x 1 上的點到直線 2x y 3 的距離的最小值為_ 9 若函數(shù) f(x) (a0 且 a 1)在區(qū)間 12， 0 內單調遞增 ， 則 a 的取值范圍是_ 10 (2015廣東陽東一中摸底 )曲線 C： f(x) x 2 在 x 0 處的切線方程為 _ 11 已知函數(shù) f(x)的導數(shù) f (x) a(x 1)(x a)， 若 f(x)在 x a 處取得極大值 ， 則 a 的取值范圍是 _ 2 12 (2015百色模擬 )已知 a R， 函數(shù) f(x) ae y f (x)是奇函數(shù) ， 若曲線 y f(x)的一條切線的斜率為 32， 則切點的橫坐標為 _ 13 (2015豫東 、 豫北十所名校聯(lián)考 )若 00)與曲線 y 0， )上存在公共點 ， 則 _ 第 卷 二 、 解答題 (本大題共 6 小題 ， 共 90 分 解答時應寫出文字說明 、 證明過程或演算步驟 ) 15 (14 分 )(2015河北保定第一中學模擬 )已知函數(shù) f(x) (1) 1， 且 f ( 1) 9. (1)求曲線 f(x)在 x 1 處的切線方程 ； (2)若存在 x (1， )使得函數(shù) f(x)0) (1)若 x 1 是函數(shù) f(x)的極大值點 ， 求函數(shù) f(x)的單調遞減區(qū)間 ； (2)若 f(x) 12b 恒成立 ， 求實數(shù) 最大值 19.(16 分 )(2015安徽 )已知函數(shù) f(x) axx r2(a0， r0) (1)求 f(x)的定義域 ， 并討論 f(x)的單調性 ； (2)若 400， 求 f(x)在 (0， )內的極值 20 (16 分 )(2015豫東 、 豫北十所名校聯(lián)考 )已知函數(shù) f(x) ln x， a R. (1)若 a 1， 求函數(shù) f(x)在 1， e上的最大值 ； (2)當 a 1e 1時 ， 求證 ： x (0， )， f(x) 1x ln x 2a 2. 4 答案 解析 1 2 3 解析 由 f(x) 3ln x 3x 3得， f (x) 3x 2x 3， f ( 3) 2 3. 2 e 解析 由 f(x) x得 f (x) ln x 1. 根據(jù)題意知 ln 1 2，所以 ln 1，因此 e. 3 5x y 3 0 解析 由函數(shù) y f(x)的圖象在點 (1， f(1)處的切線方程為 y 3x 2，得 f (1) 3， f(1) 1. 又函數(shù) g(x) f(x)， g (x) 2x f (x)， 則 g (1) 2 1 f (1) 2 3 5. g(1) 12 f(1) 1 1 2. 函數(shù) g(x) f(x)的圖象在點 (1， g(1)處的切線方程為 y 2 5(x 1)即 5x y 3 0. 4 20 析 求導得 y 3以曲線在 (1,1)處的切線斜率 k 3， 所以曲線 y 1,1)處的切線方程為 y 1 3(x 1)， 結合圖象易知所圍成的三角形是直角三角形， 三個交點的坐標分別是 (23， 0)， (1,0)， (1,1)， 于是三角形的面積為 12 (1 23) 1 16. 6 1 解析 由 y 12 y y x，得 y 它們在點 得 x 代入兩曲線得 12ee a a2(ln a 1)， ln a 1 1，解得 a 1. 5 7 3 解析 由于函數(shù) f(x)的定義域為 (4a 3,3 2所以 4a 30，當x 2 106 時， h(x)取得極小值，且 h 2 106 0， h(0)0， h 12 0，所以 k 1,0,1，即滿足條件的實數(shù) 個 8. 5 解析 f (x) 2x 1，設與直線 2x y 3 平行且與曲線 f(x)相切于點 P(s， t)的直線方程為 2x y m 0，則 2s 1 2，解得 s 0. 切點為 P(0,2) 曲線 f(x) x 1上的點到直線 2x y 3的距離的最小值為點 x y 3 的距離 d，且 d |0 2 3|5 5. 9. 34， 1 解析 由題意知， 在 x 12， 0 上恒成立，即 ax 12， 0 上恒成立， a 14.設 g(x) 14 ， g(x)在 12， 0 上單調遞增，即 g (x) 3a 0 在 12， 0 上恒成立，這與 a1 矛盾綜上可知，實數(shù) a 的取值范圍是 34， 1 . 10 2x y 3 0 11 ( 1,0) 解析 當 a 0 時，則 f (x) 0，函數(shù) f(x)不存在極值 當 a 0 時，令 f (x) 0，則 1， a. 若 a 1，則 f (x) (x 1)2 0，函數(shù) f(x)不存在極值；若 a0，當 x ( 1， a)時， f (x)0，所以函數(shù) f(x)在 x 符合題意； 若 10，當 x (a， )時， f (x)0，所以函數(shù) f(x)在 x a 處取得極小值，不符合題意所以 a ( 1,0) 6 12 解析 由題意可得， f (x) f (0) 1 a 0， a 1， f(x) 1f (x) 1 曲線 y f(x)在 (x， y)的一條切線的斜率是 32， 32 1方程可得 2， x . 13 abc 解析 易知當 0 綜上： 即 abc. 14. 解析 由題意知方程 ex(a0)在 (0， )上有解，則 a x (0， )， 令 f(x) x (0， )， 則 f (x) 2 x (0， )， 由 f (x) 0 得 x 2， 當 02 時， f (x)0，函數(shù) f(x) 2， )上是增函數(shù)，所以當 x 2 時，函數(shù) f(x)0， )上有最小值 f(2)以 a 15 解 (1) f(x) (1) 1， f (x) 32(1)， f 1 3a 2f 1，f 1 3a 2f 1 9. 7 a 1，f 1 3. f(x) 31， f(1) 1. 故曲線 f(x)在 x 1 處的切線方程為 y 3(x 1) 1 3x 2，即 3x y 2 0. (2)f (x) 36x 3x(x 2)， 當 12 時， f (x)0. 則函數(shù) f(x)在區(qū)間 (1,2)上單調遞減，在區(qū)間 (2， )上單調遞增， f(x) f(2) 3. 則由題意可知， m 3，即所求實數(shù) m 的取值范圍為 ( 3， ) 16 解 (1)對 f(x)求導得 f (x) 32x， 因為 f(x)在 x 43處取得極值， 所以 f 43 0， 即 3a169 2 43 16 83 0，解得 a 12. (2)由 (1)得 g(x) 12x2 故 g (x) 322x 12x2 12522x 12x(x 1)(x 4)令 g (x) 0，解得 x 0， x 1 或 x 4. 當 x 4 時， g (x) 0，故 g(x)為減函數(shù)； 當 4 x 1 時， g (x) 0，故 g(x)為增函數(shù)； 當 1 x 0 時， g (x) 0，故 g(x)為減函數(shù)； 當 x 0 時， g (x) 0，故 g(x)為增函數(shù) 綜上知， g(x)在 ( ， 4)和 ( 1,0)內為減函數(shù)，在 ( 4， 1)和 (0， )內為增函數(shù) 17 解 (1)f (x) x0)， 當 a 0 時， f (x) 0，增區(qū)間為 (0， )， 當 a0 時， f (x) 0x a， f (x)0)， 設 h(x) 2x a(x0)， 若 g(x)在 1， e上不單調，則 h(1)h(e)g(1)即可得出： 則 h (x) x(1 2ln x)， h(x)在 (0， 12e )上單調遞增，在 ( 12e ， )上單調遞減， h(x)h( 12e ) 19 解 (1)由題意知 x r， 所求的定義域為 ( ， r) ( r， ) f(x) axx r2 2 f (x) a2 x 2r2 ar xx rx r4 . 所以當 f (x)0. 因此， f(x)的單調遞減區(qū)間為 ( ， r)， (r， )； f(x)的單調遞增區(qū)間為 ( r， r) (2)由 (1)的解答可知 f (r) 0， f(x)在 (0， r)上單調遞增，在 (r， )上單調遞減因此， x r是 f(x)的極大值點，所以 f(x)在 (0， )內的極大值為 f(r) r2 4004 100. 9 20 (1)解 依題意，知 f(x) 1x ln x. 則 f (x) 11x x 1 易知在 1， e上， f (x)0， f(x)單調遞增， 故 f(x)f(e) 1e 1. (2)證明 要證 f(x) 1x ln x 2a 2， x (0， )， 即證 1x (2a 2) 0， x (0， )， 令 g(x) 1x (2a 2)， x (0， )， 下證當 a 1e 1，且 x0 時，