實對稱矩陣的對角化【PPT課件】_第1頁
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文檔簡介

4.4 實對稱矩陣的對角化,4.4.1 實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì),定理1(性質(zhì)1)對稱矩陣的特征值為實數(shù).,證明,說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣,于是有,兩式相減，得,定理1的意義,定理2(性質(zhì)2),證明,于是,定理3(性質(zhì)3),證明,它們的重數(shù)依次為,設(shè) 的互不相等的特征值為,4.4.2 實對稱矩陣的對角化,根據(jù)定理1（對稱矩陣的特征值為實數(shù)）和定理3可得結(jié)論：,由定理2知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，,這樣的特征向量共可得 個.,故這 個單位特征向量兩兩正交.,以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，則,根據(jù)上述結(jié)論， 利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：,2.,1.,解,例1 對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使 為對角陣.,(1)第一步 求 的特征值,解之得基礎(chǔ)解系,解之得基礎(chǔ)解系,解之得基礎(chǔ)解系,第三步 將特征向量正交化,第四步 將特征向量單位化,于是得正交陣,1.對稱矩陣的性質(zhì)：,小結(jié):,(1)特征值為實數(shù)； (2)屬于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)相等； (4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值,2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：,(1)求特征值；(2)求特征向量；(3

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