高中數學三角函數詳解+公式+精題（附講解）引言三角函數是中學數學的基本重要內容之一，三角函數的定義及性質有許多獨特的表現，是高考中對基礎知識和基本技能進行考查的一個內容。其考查內容包括：三角函數的定義、圖象和性質，同角三角函數的基本關系、誘導公式、兩角和與差的正弦、余弦、正切。兩倍角的正弦、余弦、正切。、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函數。要求掌握三角函數的定義，圖象和性質，同角三角函數的基本關系，誘導公式，會用“五點法”作正余弦函數及 的簡圖；掌握基本三角變換公式進行求值、化簡、證明。了解反三角函數的概念，會由已知三角函數值求角并能用反三角函數符號表示。由于新教材刪去了半角公式，和差化積，積化和差公式等內容，近年的高考基本上圍繞三角函數的圖象和三角函數的性質，以及簡單的三角變換來進行考查，目的是考查考生對三角函數基礎知識、基本技能、基本運算能力掌握情況。 2 近年來高考對三角部分的考查多集中在三角函數的圖象和性質，重視對三角函數基礎知識和技能的考查。每年有 2 3 道選擇題或填空題，或 1 2 道選擇、填空題和 1 道解答題?？偟姆种禐?15 分左右，占全卷總分的約 10 左右。 （ 1 ）關于三角函數的圖象 立足于正弦余弦的圖象，重點是函數 的圖象與 y=sinx 的圖象關系。根據圖象求函數的表達式，以及三角函數圖象的對稱性。如 2000 年第（ 5 ）題、（ 17 ）題的第二問。 （ 2 ）求值題 這類問題在選擇題、填空題、解答題中出現較多，主要是考查三角的恒等變換。如 2002 年（ 15 ）題。 （ 3 ）關于三角函數的定義域、值域和最值問題 （ 4 ）關于三角函數的性質（包括奇偶性、單調性、周期性）。一般要先對已知的函數式變形，化為一角一函數處理。如 2001 年（ 7 ）題。 （ 5 ）關于反三角函數， 2000 2002 年已連續三年不出現。 （ 6 ）三角與其他知識的結合（如 1999 年第 18 題復數與三角結合） 今后有關三角函數仍將以選擇題、填空題和解答題三種題型出現，難度不會太大，會控制在中等偏易的程度；三角函數如果在解答題出現的話， 應放在前兩題的位置，放在第一題的可能性最大，難度不會太大。 二、復習策略 1、 近幾年的高考已經堅決拋棄對復雜三角變換及特殊技巧的考查，重點已轉移到對基礎和基本技能的考查上。所以復習中用好教材、打好基礎猶為重要。（ 1 ）一定要掌握好三角函數的圖象，特別是 的圖象的五點法作圖及平移、伸縮作圖。（ 2 ）熟知三角函數的基本性質、切實掌握判定三角函數奇偶性、確定單調區間及求周期的方法。（ 3 ）熟練掌握三角變換的基本公式，弄清公式的推導關系和互相聯系，把基本公式記準用熟。*三角函數公式大全銳角三角函數公式sin =的對邊 / 斜邊cos =的鄰邊 / 斜邊tan =的對邊 / 的鄰邊cot =的鄰邊 / 的對邊倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA2）（注：SinA2 是sinA的平方 sin2（A） ）三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)三倍角公式推導sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina輔助角公式Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B降冪公式sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)推導公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina(3/2)²-sin²a=4sina(sin²60-sin²a)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos²a-(3/2)²=4cosa(cos²a-cos²30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)三角和sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)兩角和差cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)和差化積sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)積化和差sinsin = cos(-)-cos(+) /2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+)+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-)/2誘導公式sin(-) = -sincos(-) = costan (a)=-tansin(/2-) = coscos(/2-) = sinsin(/2+) = coscos(/2+) = -sinsin(-) = sincos(-) = -cossin(+) = -sincos(+) = -costanA= sinA/cosAtan（/2）cottan（/2）cottan（）tantan（）tan誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限萬能公式sin=2tan(/2）/1+tan(/2)cos=1-tan(/2)/1+tan(/2)tan=2tan(/2)/1-tan(/2)其它公式(1)(sin)2+(cos)2=1(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sin)2,第二個除(cos)2即可(4)對于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證,當x+y+z=n(nZ)時,該關系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）2+(cosB）2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）2=2+2cosAcosBcosC(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0*三角函數專題復習：（1）求函數的初相的問題（2）函數的圖象及應用（3）三角函數的最值問題（4）角的拆拼在求值中的應用教學目的通過對四個三角函數中的熱點問題的專題研究，引導學生復習三角函數中的主要知識點和重點題型的解題方法，深層挖掘三角函數的內在聯系，盡量使學生對三角函數知識的掌握融會貫通。教學重點、難點上述四個專題中涉及的核心思想知識分析（一）求函數的初相的問題在三角函數問題中，我們經常遇到求函數的初相的問題，這一類問題是學習中的難點，又是高考中的熱點，現在我們將相關題型進行歸納，幫助同學們復習相關知識：1、由圖象求此類問題，解題的關鍵是從圖象特征入手，尋找解題的突破口。 例1. 如圖1所示函數的圖象，由圖可知（ ）圖1A. B. C. D. 解：由已知，易得A2函數圖象過（0，1）和，再考慮到故選C。 例2. （2005年福建）函數的部分圖象如圖2所示，則（ ）圖2A. B. C. D. 解：由圖象知點（3，0）是在函數的單調遞減的那段曲線上。因此令，得，故選C。2、由奇偶性求例3. （2003 全國）已知函數是R上的偶函數，其圖象關于點對稱，且在區間上是單調函數，求的值。解：由是偶函數，得即所以對任意x都成立，且，由，解得3、由最值求例4. 函數以2為最小正周期，且能在x = 2時取得最大值，則的一個值是（ ）A. B. C. D. 解：當時取得最大值，即當時，故選A。四、由對稱性求例5. （2005 全國）設函數，圖象的一條對稱軸是直線，求。解：因為是函數的圖象的對稱軸，所以(二) 函數的圖象及應用下面我們談一談函數的圖象在日常生產、生活中的幾個應用。1、顯示水深例6. （2004 湖北）設是某港口水的深度y（米）關于時間t（時）的函數，其中。下表是該港口某一天從0時到24時記錄的時間t與水深y的關系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1經長期觀測，函數的圖象可以近似地看成函數的圖象。下面的函數中，最能近似地表示表中數據間對應關系的函數是（ ）A. B. C. 解：由已知數據，易得的周期為T12由已知易得振幅A3又t0時，y12，k12令得故2、確定電流最值例7. 如圖3 表示電流 I 與時間t的函數關系式： I =在同一周期內的圖象。（1）根據圖象寫出I =的解析式；（2）為了使I =中t在任意段秒的時間內電流I能同時取得最大值和最小值，那么正整數的最小值是多少？圖3解：（1）由圖知A300，由得（2）問題等價于，即，正整數的最小值為314。3、顯示最大溫差例8. （2002 全國）如圖4某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似地滿足函數（1）求這段時間的最大溫差（2）寫出這段曲線的函數解析式。圖4解：（l）由圖4知這段時間的最大溫差是301020（）（2）在圖4中，從6時到14時的圖象是函數的半個周期的圖象，解得由圖4知這時將代入上式，可取綜上所述，所求解析式為：4、研究商品的價格變化例9. 以一年為一個周期調查某商品出廠價格及該商品在商店銷售價格時發現：該商品的出廠價格是在6元基礎上按月份隨正弦曲線波動的，已知3月份出廠價格最高為8元，7月份出廠價格最低為4元；而商品在商店內的銷售價格是在8元基礎上按月份也是隨正弦曲線波動的，并已知5月份銷售價最高為10元，9月份銷售價最低為6元，假設某商店每月購進這種商品m件，且當月能售完，請估計哪個月盈利最大？并說明理由。解：由條件可得出廠價格函數為銷售價格函數為則利潤函數為所以，當時，即6月份盈利最大。（三）三角函數的最值問題1、型函數解決此類問題的關鍵是把正、余弦函數轉化為只有一種三角函數，即化為，其中角所在象限由點（a，b）所在象限確定，且例10. 當時，函數的（ ）A. 最大值是l，最小值是1 B. 最大值是l，最小值是C. 最大值是2，最小值是2 D. 最大值是2，最小值是1解：解析式可化為時，時，故選D2、型函數策略：先降次、整理，再化為形如型來解。例11. 求的最小值，并求出函數y取最小值時點x的集合。解： 當時，y取最小值時，使y取得最小值的x的集合為3、型函數此類函數的特點是一個分式，分子、分母分別會有正、余弦的一次式?？上绒D化為型，再利用三角函數的有界性來求三角函數的最大值和最小值。 例12. 求函數的最大值和最小值。解：去分母整理得即解之得故4、同時出現型函數此類函數的特點是含有或經過化簡整理后出現與式子，處理方法是應用進行轉化，變成二次函數的問題。例13. 函數的最大值為_解法一：令則所以由二次函數的圖象知，當時，解法二：令，則由，得于是有當時，由以上的幾種形式可以歸納解三角函數最值問題的基礎方法：一是應用正弦、余弦函數的有界性來求；二是利用二次函數閉區間內求最大、最小值的方法來解決；以后還可以利用重要的不等式公式或利用數形結合的方法來解決。（四）角的拆拼在求值中的應用 例14. 已知、為銳角，則y與x的函數關系是（ ）A. B. C. D. 對此題，不少同學采取的求解思路是：根據已知條件求出cos、sin的值后，再將sin，cos，cos，sin的值同時代入的展開式中，從中解出y來，思路直接。但運算量非常大，不可取，而如果利用“湊”的思想，注意到（這就是“湊”），也就是用已知的角來表示目標角（因為），繼而求出y與x的函數關系式，而x的范圍可由ycosB0來確定。解：為銳角，且又、為銳角，且于是 由，即易得，故選A。 例15. 已知，且，求的值。分析：觀察條件和結論中角的種類差異，可配湊角，這樣就可以將已知角與待求角聯系在一起，實現了由未知角向已知角的轉化。解：又，故 【練習】 已知，求。提示：配湊角：，可通過求出和的差的余弦來求，較簡便。解：又同學們不難看到，上面的例題中我們分別利用了；等“湊”角的技巧。此外根據題目的不同，還常用的“湊”的技巧有：，及，今后解題時要多關注“配湊”的思想方法?！灸M試題】一、選擇題（每小題5分，共60分） 1. 使的意義的m的值為（ ）A. B. C. D. 或 2. 函數的一個單調增區間是（ ） A. B. C. D . 3. 若是夾角為60的兩個單位向量，則的夾角為（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 4. 已知ABC的三個頂點A、B、C及平面內一點P，若，則點P與ABC的位置關系是（ ）A. P在AC邊上B. P在AB邊上或其延長線上C. P在ABC外部D. P在ABC內部 5. 若，且，則等于（ ） A. B. C. D. 6. 若，則的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 在ABC中，則ABC是（ ）A. 銳角三角形 B. 鈍角三角形C. 直角三角形 D. 不能確定