全國高中數學課堂競賽活動教案【課 題】曲線和方程【教 材】人教版全日制普通高級中學教科書數學第二冊（上）【授課教師】甘肅省民樂一中 馬鑫【教學目標】 知識目標： 1、了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系； 2、初步領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念； 3、學會根據已有的情景資料找規律，進而分析、判斷、歸納結論； 4、強化“形”與“數”一致并相互轉化的思想方法。能力目標： 1、通過直線方程的引入，加強學生對方程的解和曲線上的點的一一對應關系的認識； 2、在形成曲線和方程的概念的教學中，學生經歷觀察、分析、討論等數學活動過程，探索出結論，并能有條理的闡述自己的觀點； 3、能用所學知識理解新的概念，并能運用概念解決實際問題，從中體會轉化化歸的思想方法，提高思維品質，發展應用意識； 情感目標： 1、通過概念的引入，讓學生感受從特殊到一般的認知規律； 2、通過反例辨析和問題解決，培養合作交流、獨立思考等良好的個性品質，以及勇于批判、敢于創新的科學精神。【教學重點】“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念【教學難點】怎樣利用定義驗證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程【教學方法】問題探索和啟發引導式相結合【教具準備】三角板、多媒體教學設備【教學過程】 一、感性認識階段以舊帶新，提出課題師：在本節課之前，我們研究過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應關系：在平面直角坐標系中，任何一條直線都可以用一個二元一次方程表示，同時任何一個二元一次方程也表示著一條直線。下面看一個具體的例子：（出示幻燈片2）幻燈片2畫出方程表示的直線借助多媒體讓學生直觀上深刻體會如下結論： （出示幻燈片3） 幻燈片31、直線上的點的坐標都是方程的解；2、以這個方程的解為坐標的點都在直線上。即：直線上所有點的集合與方程的解的集合之間建立了一一對應關系。也即：（出示幻燈片4，引導學生類比、推廣并思考相關問題）幻燈片4 類比：推廣：即：任意的曲線和二元方程是否都能建立這種對應關系呢？也即：方程的解與曲線C上的點的坐標具備怎樣的關系就能用方程表示曲線C，同時曲線C也表示著方程？為什么要具備這些條件？師：以上問題就是本節課的內容：曲線和方程（板書課題）。二、分化本質屬性階段運用反例揭示內涵師：剛才的討論中，有的同學提到了應具備關系：“曲線上的點的坐標都是方程的解”；有的同學提到了應具備關系：“以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”；還有的同學雖用了不同的提法，但意思不外乎這兩個。現在的問題是：上述的兩種提法一樣嗎？它們反映的是不是同一事實？有何區別？究競用怎樣的關系才能把幻燈片4中的曲線和方程的這種對應關系完整的表達出來？為了弄清這些問題，我們來研究下列問題：（出示幻燈片5，讓學生回答問題，并加以糾正和總結）幻燈片5 用下列方程表示如圖所示的曲線C，對嗎？為什么？師：方程、都不是曲線C的方程。第題中曲線C上的點不全是方程的解；例如點A（2，2）、B（，）等即不符合“曲線上點的坐標都是方程的解”這一結論。第題中，盡管“曲線上點的坐標都是方程的解”，但是以方程的解為坐標的點卻不全在曲線上；例如D（2，2）、E（，）等不符合“以這個方程的解為坐標的點都在曲線上”這一結論。第題中既有以方程的解為坐標的點，如G（3，3）、H（，）等都不在曲線上，又有曲線C上的點，如M（3，3）、N（1，1）等的坐標不是方程的解。事實上，、中各方程所表示的曲線應該是如圖所示的3種情況。（出示幻燈片6）幻燈片6 師：以上我們觀察分析了幻燈片3、5中的問題，發現幻燈片3中的問題完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程；而幻燈片5中的問題不能完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程。如果我們把完整地用方程表示曲線和用曲線表示方程看成“曲線的方程”和“方程的曲線”的話，那么就可以給“曲線的方程”和“方程的曲線”下定義了。三、概括形成定義階段討論歸納給出定義師：在下定義時，針對幻燈片5中的第個問題“曲線上混有其坐標不是方程的解的點”應作何規定？生：“曲線上的點的坐標都是這個方程的解”。師：針對幻燈片5中的第個問題“以方程的解為坐標的點不在曲線上”應作何規定？生：“以方程的解為坐標的點都有是曲線上的點”。這樣，我們可以對“曲線的方程”和“方程的曲線”下這樣的定義：（出示幻燈片7）幻燈片7一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數解建立了如下的關系：曲線上的點的坐標都是這個方程的解；以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）。四、定義強化理解階段多種表征、深化內涵師：大家熟知，曲線可以看作是由點組成的集合，記作C；一個二元方程的解可以作為點的坐標，因此二元方程的解集也描述了一個點集，記作F。請大家思考：如何用集合C和F間的關系來表述“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的兩個關系，進而重新表述“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義。啟發學生得出：關系指點集C是點集F的子集；關系指點集F是點集C的子集。（出示幻燈片8）幻燈片8這樣用集合相等的概念定義“曲線的方程”與“方程的曲線”為：師：另外從充要條件的角度看，關系或僅是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，只有兩者都滿足了“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性。五、應用和強化階段主動參與、合作交流1、初步應用、突出內涵（出示幻燈片9，讓學生思考后回答下列問題）幻燈片9下列各題中，圖所示的的曲線C的方程為所列方程，對嗎？如果不對，是不符合關系還是關系？學生回答：錯。不符合定義中的關系，即但FC。錯。不符合定義中的關系，即但CF。錯。不符合定義中的關系和，即CF且FC。2、變式應用，提升能力（出示幻燈片10，讓學生在練習本上解答以下問題）幻燈片10解答下列問題，且說出各依據了“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的哪一個關系？點A（3，4）、B（，2）是否在方程的圓上？已知方程為的圓過點C（，m），求m的值。學生回答：依據關系點A在圓上，依據關系點B不在圓上。 依據關系求得m=。（出示幻燈片11，教師啟發學生共同完成如下證明）幻燈片11證明以坐標原點為圓心，半徑等于5的圓的方程是。師：請同學思考，證明應從何著手？生：應從以下兩方面：（1）圓上的點的坐標都滿足方程：； （2）方程的解為坐標的點都在圓上。師：（1）中的“點”和（2）中的“解”指的都是有關集合中的全體元素，怎樣解決全體問題？師：（學生思考片刻后）用“任意一個”代表“全體”是數學證明中常用的方法。（請同學們完成證明過程，同桌間交流，參照課本證明糾正錯誤，完善證題過程，加強證明題的嚴密性。）六、小結：本節課我們通過實例的研究，掌握了“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義，在領會定義時，要牢記關系、兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿足了“曲