2020屆四川省涼山州高三第一次診斷性檢測數學（理）科試題一、單選題1已知集合，且，則（ ）ABCD【答案】A【解析】由，則,則，得答案.【詳解】由,，,則,所以=2.所以故選：A.【點睛】本題考查集合的包含關系，屬于基礎題.2在復平面內，復數對應的點位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】試題分析：，對應的點為，位于第一象限【考點】復數的乘除和乘方3拋物線的準線方程為（ ）ABCD【答案】C【解析】將拋物線方程化為標準方程，由拋物線的標準方程可得其準線方程.【詳解】由拋物線有,根據拋物線的標準方程可得.則其準線方程為：故選：C【點睛】本題考查由拋物線的方程求準線方程，屬于基礎題.4已知，則與的夾角是（ ）ABCD【答案】C【解析】由有得，再代入向量的夾角公式可求解.【詳解】由有.即，又.則.由與的夾角在內.所以與的夾角為.故選：C.【點睛】本題考查向量的夾角，向量的數量積的運算,屬于基礎題.5如圖所示的程序框圖，若輸出值，則輸入值的集合是（ ）ABCD【答案】C【解析】將輸出的值，沿著“是”，“否”兩條路線反代回去，即可求出的值.【詳解】若輸入的，則輸出，則.若輸入的，則輸出,則.則輸入值的集合是: 故選：C【點睛】本題考查程序框圖，根據輸出的結果計算輸入的初始值，屬于基礎題.6污染防治是全面建成小康社會決勝期必須堅決打好的三大攻堅戰之一.涼山州某地區2019年空氣質量為“良”的天數共為150天，若要在2021年使空氣質量為“良”的天數達到216天，則這個地區空氣質量為“良”的天數的年平均增長率應為（ ）（精確到小數點后2位）A0.13B0.15C0.20D0.22【答案】C【解析】設空氣質量為“良”的天數的年平均增長率為，則2021年使空氣質量為“良”的天數，然后求解方程得出答案.【詳解】設空氣質量為“良”的天數的年平均增長率為，則2021年使空氣質量為“良”的天數即，解得：故選：C.【點睛】本題主要考查平均變化率，增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量增長率,屬于基礎題.7函數（其中， ）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（ ）A向右平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向左平移個單位長度【答案】B【解析】根據圖像有,得到函數的最小正周期，根據周期公式可求出，然后求出和的解析式，再根據相位變換得到答案.【詳解】根據圖像有,所以,則.不妨取，又有，得,又.所以，即，所以由向右平移個單位長度可得的圖像.故選：B【點睛】本題考查三角函數的圖像性質，根據圖像求解析式，三角函數的圖像變換，屬于中檔題.8中，內角，的對邊分別是，.已知，則（ ）ABCD【答案】D【解析】由有,再由正弦定理有,即,可解出答案.【詳解】由有,由正弦定理有, 又即.所以.因為為的內角，則.故選：D【點睛】本題考查正弦定理的應用，屬于中檔題.9已知平面，和直線，則“”的充分不必要條件是（ ）A內有無數條直線與平行B且C且D內的任何直線都與平行【答案】B【解析】選擇“”的充分不必要條件，是分析哪個選項能推出，反之不成立.【詳解】A. 內有無數條直線與平行,則可能相交或平行，故不能推出.B. 且,則. 反之不成立，滿足條件.C. 且,則 可能相交或平行，故不能推出.D. 內的任何直線都與平行是的充要條件.故選：B.【點睛】本題考查充分條件的判斷，面面平行的判斷，屬于基礎題.10函數，其圖象的對稱中心是（ ）ABCD【答案】D【解析】,設，則為奇函數，而的圖像是的圖像向下平移1個單位得到的，從而得到答案.【詳解】由，設，則為奇函數,其圖像關于原點成中心對稱.所以,的圖像是的圖像向下平移1個單位得到的.所以的圖像關于點 成中心對稱.故選：D【點睛】本題考查函數的奇偶性，考查函數圖像的對稱性，屬于基礎題.11已知點為直線上的動點，過點引圓的兩條切線，切點分別為，則點到直線的距離的最大值為（ ）ABCD【答案】D【解析】設 ，先求出直線的方程，由點在直線上，得出直線過定點,從而求出答案.【詳解】設,過點引圓的兩條切線，切點分別為，.則，兩點在以為直徑的圓:上.又，在圓上，所以為兩圓的公共弦，將兩圓方程聯立相減得：，即直線的方程又點在直線上，則，代入直線的方程.,得直線過定點， 所以點到直線的距離：.故選：D.【點睛】本題考查圓的切線方程，直線過定點問題，點到直線的距離的最值問題,屬于難題.12若函數在區間上有兩個極值點，則的可能取值為（ ）A3B4C5D6【答案】A【解析】函數的導函數為，函數在區間上有兩個極值點，即方程在內有兩個不等實數根，根據二次方程根的分布找出條件，從而達到答案.【詳解】,函數在區間上有兩個極值點,即方程在內有兩個不等實數根.所以以為縱坐標，為橫坐標畫出不等式滿足的平面區域.曲線與直線相切于點，曲線與直線相切于點.根據選項，則的可能取值在選項中只能為3.故選：A.【點睛】本題考查極值存在的條件，考查線性規劃解決問題，是導數的綜合應用，屬于難題.二、填空題13的展開式中的常數項為_.（用數字作答）【答案】10【解析】的展開式的通項公式為,求常數項即令，解得 ，然后可得答案.【詳解】的展開式的通項公式為.則的展開式中的常數項，令,解得，即常數項為故答案為：10.【點睛】本題考查二項式定理中的指定項，考查二項式的通項公式，屬于基礎題.14已知，則_.【答案】【解析】由,則,由同角三角函數的關系可得的值，從而可得答案.【詳解】由，即，則.由有： .則，又.所以，.所以.故答案為：【點睛】本題考查同角三角函數的關系，注意角的范圍，開方符號的選擇，屬于基礎題.15在一個長方體形的鐵盒內有一個小球，鐵盒共一頂點的三個面的面積分別是，則小球體積的最大值為_.【答案】【解析】設長方體的由共一頂點出發的三條棱的長分別為，由共一頂點的三個面的面積分別是，可得，從而可解得的值，可求得小球半徑的最大值，從而得到其體積.【詳解】設長方體的由共一頂點出發的三條棱的長分別為，則由條件有.解得:，因為小球在長方體內，則小球的直徑的最大值為邊長.所以半徑的最大值為，則小球的體積的最大值為：.故答案為：.【點睛】本題考查長方體的內切球，根據長方體的表面的面積求棱長,考查方程思想，屬于中檔題.16如圖，直線和分別是函數過點的切線（切點為）和割線，則切線的方程為_；若，則_.【答案】 【解析】設切點，由，得切線的斜率為，求出在點處的切線方程，然后將點代入，解出切點的坐標，從而得到切線方程. 再寫出直線的方程與聯立，則為方程的根，應用因式分解和韋達定理可得的值.【詳解】設切點,又，則在點處的切線的斜率為：.則在點處的切線方程為：，又點在切線上，則，即，解得或(舍).則，所以切線的方程為：.根據題意直線的斜率一定存在，設直線的方程為： ，由 有所以，即 ()由直線交曲線于三點 所以為方程()的根.即為方程的兩個實數根；由韋達定理有：.故答案為： ； .【點睛】本題考查曲線的切線，導數的幾何意義，考查曲線與方程，直線與曲線的關系,屬于難題.三、解答題17為等差數列的前項和，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】(1)由條件有，可求出，即得到答案.(2)由，由（1）有，則為等差數列，可求和.【詳解】解：（1）為等差數列，設公差為由 即得： （2）由（1）可知,法一：的前項和法二：，是以首項，公差為8的等差數列的前項和【點睛】本題考查等差數列求通項公式，數列求和，屬于中檔題.18在某次數學考試中，從甲乙兩個班各抽取10名學生的數學成績進行統計分析，兩個班樣本成績的莖葉圖如圖所示.（1）用樣本估計總體，若根據莖葉圖計算得甲乙兩個班級的平均分相同，求的值；（2）從樣本中任意抽取3名學生的成績，若至少有兩名學生的成績相同的概率大于，則該班成績判斷為可疑.試判斷甲班的成績是否可疑？并說明理由.【答案】（1）7（2）甲班的成績可疑，見解析【解析】(1)求出甲、乙兩班的平均成績分別為 則可求出的值.(2)求出甲班至少有兩名學生的成績相同的概率為，然后根據條件作出判斷.【詳解】解：（1）設樣本中甲、乙兩班的平均成績分別為 、，則 （2）甲班的成績可以，理由如下：甲班成績相同的有：87分3人、75分2人、97分2人 從樣本中任意抽取3名學生的成績中至少有兩名學生成績相同的概率為：甲班的成績可疑【點睛】本題考查莖葉圖，平均值，等可能事件的概率，屬于基礎題.19在中（圖1），為線段上的點，且.以為折線，把翻折，得到如圖2所示的圖形，為的中點，且，連接.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】(1)根據條件先證明平面，然后結論可證.(2) 以為原點，、所在的直線分別為、 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在圖1中有：，所以在中，所以在圖2中有：在中，為的中點，在中，所以翻折后仍有又、平面，平面平面，所以（2）解：由（1）可知、兩兩互相垂直.以為原點，、所在的直線分別為、 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，令，則，平面的法向量為二面角的余弦值為【點睛】本題考查線面垂直，線線垂直，二面角，立體幾何中求角或距離常用向量法，屬于中檔題.20已知函數（為自然對數的底數）.（1）若，試討論的單調性；（2）對任意均有，求的取值范圍.【答案】（1）見解析 （2）【解析】(1)由，定義域為，對參數的符號進行分類討論.(2)由條件分離參數有，設，則,即求的最小值.【詳解】解：（1）的定義域為當時，令，則；，且當時，令，則且；時當時， 在單調遞增，在 單調遞減；當時，在單調遞減，在單調遞增.（2）在恒成立設，則法一：在為減函數，在為增函數，即的取值范圍為法二：由（1）可知，時，在單調遞減，在單調遞增在處有最小值又，當且僅當，即時，在處取得最小值，即的取值范圍為【點睛】本題考查討論函數的單調性，不等式恒成立求參數的問題，考查分離參數的方法，函數的最值，屬難題.21已知橢圓的離心率為，且與雙曲線有相同的焦點.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于，兩點，點滿足，點，若直線斜率為，求面積的最大值及此時直線的方程.【答案】（1）（2），直線的方程為【解析】(1)有題意有可求解.(2)先討論特特殊情況, 是否為原點，然后當的斜率存在時, 設的斜率為,表示出的長度，進一步表示出的面積,然后求最值.【詳解】解：（1）由題設知 ，橢圓的方程為：（2）法一： 為的中點又1）當為坐標原點時當的斜率不存在時，此時、為短軸的兩個端點當的斜率存在時，設的斜率為設，則，代入橢圓方程整理得：，到的距離解一：令 令或 函數在單調遞增，單調遞減，單調遞增時，為的極大值點，也是最大值點 直線方程為解二：設，則要得的最大值 ， 當，時，即，時等號成立，直線方程為2）當不為原點時，由，三點共線，設，的斜率為，在橢圓上，得，即 設直線代入橢圓方程，整理得，到直線的距離令，令，在上單調遞增，在上單調遞減，此時直線綜上所述：，直線的方程為解二：設，為的中點，在橢圓上當直線的斜率不存在時，設則， 所以，則，為短軸上的兩個端點當直線的斜率存在時，設，消去得 , ， 由得或下同解法一【點睛】本題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關系，三角形的面積的最值，利用導數討論單調性求最值的方法，考查運算能力，屬于難題.22在平面直角坐標系中，點的坐標為，在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，直線的方程為.（1）判斷點與直線的位置關系；（2）設直線與曲線（為參數，）相交于，兩點，求點到，兩點的距離之積.【答案】（1）在上（2）8【解析】(1)求出直線的平面直角坐標系的方程：，將點代入直線方程，可判斷.(2)將曲線的方程化為直角坐標系方程，將直線的方程化為參數方程形式，聯立直線方程與曲線的方程，則可解.【詳解】（1）在平面直角坐標系的方程為：將代入得：，故在上（2）曲線的直角坐標系方程為：直線的參數方程為：（為參數）將直線的參數方程代入拋物線方程得