2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)文 科 數 學本試卷分第卷（選擇題）和第卷(非選擇題)兩部分, 共150分. 考試用時120分鐘. 第卷1至2頁, 第卷3至5頁. 答卷前, 考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上, 并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼. 答卷時, 考生務必將答案凃寫在答題卡上, 答在試卷上的無效. 考試結束后, 將本試卷和答題卡一并交回. 祝各位考生考試順利! 第卷注意事項：1. 每小題選出答案后, 用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑. 如需改動, 用橡皮擦干凈后, 再選凃其他答案標號. 2. 本卷共8小題, 每小題5分, 共40分. 參考公式: 如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的體積公式V = Sh，其中S表示棱柱的底面面積, h表示棱柱的高. 如果事件A, B相互獨立, 那么球的體積公式 其中R表示球的半徑. 一選擇題: 在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. (1) 已知集合A = xR| |x|2, B= xR| x1, 則 (A) (B) 1,2(C) 2,2(D) 2,1【答案】D【解析】因為,所以，選D.(2) 設變量x, y滿足約束條件則目標函數的最小值為(A) 7(B) 4(C) 1(D) 2【答案】A【解析】由得。作出可行域如圖，平移直線，由圖象可知當直線經過點D時，直線的截距最小，此時最小，由，得，即代入得，選A. (3) 閱讀右邊的程序框圖, 運行相應的程序, 則輸出n的值為(A) 7(B) 6(C) 5(D) 4【答案】D【解析】第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，滿足條件輸出，選D. (4) 設, 則 “”是“”的(A) 充分而不必要條件(B) 必要而不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，即。若時，所以是的充分而不必要條件，選A. (5) 已知過點P(2,2) 的直線與圓相切, 且與直線垂直, 則(A) (B) 1(C) 2(D) 【答案】C【解析】設直線斜率為，則直線方程為，即，圓心到直線的距離，即，解得。因為直線與直線垂直，所以， 即,選C. (6) 函數在區(qū)間上的最小值是(A) (B) (C) (D) 0【答案】B【解析】當時，所以當時，函數的最小值為，選B. (7) 已知函數是定義在R上的偶函數, 且在區(qū)間單調遞增. 若實數a滿足, 則a的取值范圍是(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】因為函數是定義在R上的偶函數，且，所以，即，因為函數在區(qū)間單調遞增，所以，即，所以，解得，即a的取值范圍是，選C. (8) 設函數. 若實數a, b滿足, 則(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】由得，分別令，。在坐標系中分別作出函數，的圖象，由圖象知。此時，所以又。，所以，即，選A. 2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)文 科 數 學第卷注意事項：1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上. 2. 本卷共12小題, 共110分.二填空題: 本大題共6小題, 每小題5分, 共30分. (9) i是虛數單位. 復數(3 + i)(12i) = .【答案】【解析】(3 + i)(12i)。 (10) 已知一個正方體的所有頂點在一個球面上. 若球的體積為, 則正方體的棱長為 .【答案】【解析】設正方體的棱長為，則正方體的體對角線為直徑，即，即球半徑。若球的體積為，即，解得。 (11) 已知拋物線的準線過雙曲線的一個焦點, 且雙曲線的離心率為2, 則該雙曲線的方程為 .【答案】【解析】拋物線的準線方程為，因為雙曲線的一個焦點在準線上，所以，即，且雙曲線的焦點在軸上。又雙曲線的離心率為2，即，解得，所以，所以雙曲線的方程為。 (12) 在平行四邊形ABCD中, AD = 1, , E為CD的中點. 若, 則AB的長為 .【答案】【解析】因為E為CD的中點，所以. 因為，所以，即，所以，解得。 (13) 如圖, 在圓內接梯形ABCD中, AB/DC, 過點A作圓的切線與CB的延長線交于點E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 則弦BD的長為 . 【答案】【解析】連結AC,則，所以梯形ABCD為等腰梯形，所以，所以，所以,所以.又,即，整理得，解得。(14) 設a + b = 2, b0, 則的最小值為 . 【答案】【解析】因為，所以。顯然當時，且時，上式取等號，此時，聯(lián)立，解得，此時。所以當時，的最小值為。三解答題: 本大題共6小題, 共70分. 解答應寫出文字說明, 證明過程或演算步驟. (15) (本小題滿分13分)某產品的三個質量指標分別為x, y, z, 用綜合指標S = x + y + z評價該產品的等級. 若S4, 則該產品為一等品. 先從一批該產品中, 隨機抽取10件產品作為樣本, 其質量指標列表如下: 產品編號A1A2A3A4A5質量指標(x, y, z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產品編號A6A7A8A9A10質量指標(x, y, z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)() 利用上表提供的樣本數據估計該批產品的一等品率; () 在該樣品的一等品中, 隨機抽取兩件產品, () 用產品編號列出所有可能的結果; () 設事件B為 “在取出的2件產品中, 每件產品的綜合指標S都等于4”, 求事件B發(fā)生的概率. (16) (本小題滿分13分)在ABC中, 內角A, B, C所對的邊分別是a, b, c. 已知, a = 3, . () 求b的值; () 求的值. (17) (本小題滿分13分) 如圖, 三棱柱ABCA1B1C1中, 側棱A1A底面ABC,且各棱長均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A1C1的中點. () 證明EF/平面A1CD; () 證明平面A1CD平面A1ABB1; () 求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值. (18) (本小題滿分13分)設橢圓的左焦點為F, 離心率為, 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. () 求橢圓的方程; () 設A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若, 求k的值. (19) (本