課題：導數的應用（1）一、知識梳理: （閱讀選修教材2-2第18頁第22頁）1.函數的單調性與導數的關系：利用導數研究多項式函數單調性的一般步驟:求;確定在內符號;若在上恒成立，則在上是增函數；若在上恒成立，則在上是減函數為增函數（為減函數）.在區間上是增函數在上恒成立；在區間上為減函數在上恒成立.2.極值：極大值： 一般地，設函數在點附近有定義，如果對附近的所有的點，都有，就說是函數的一個極大值，記作極大值，是極大值點.極小值：一般地，設函數在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有就說是函數的一個極小值，記作極小值，是極小值點.極大值與極小值統稱為極值在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數值請注意以下幾點：（）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小.并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小.（）函數的極值不是唯一的即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個.（）極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數的極大值未必大于極小值.（）函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點.判別是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側的導數異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值.求可導函數的極值的步驟:確定函數的定義區間，求導數求方程的根用函數的導數為的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么在這個根處無極值.如果函數在某些點處連續但不可導，也需要考慮這些點是否是極值點 .3.函數的最大值和最小值: 一般地，在閉區間上連續的函數在上必有最大值與最小值說明：在開區間內連續的函數不一定有最大值與最小值如函數在內連續，但沒有最大值與最小值；函數的最值是比較整個定義域內的函數值得出的；函數的極值是比較極值點附近函數值得出的函數在閉區間上連續，是在閉區間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件函數在其定義區間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個.利用導數求函數的最值步驟:由上面函數的圖象可以看出，只要把連續函數所有的極值與定義區間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值了設函數在上連續，在內可導，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內的極值；將的各極值與、比較得出函數在上的最值.二、題型探究【探究一】：討論函數的單調性例1：設 函數 ，試討論函數的單調性(解析:注意討論K的范圍,注意函數的定義域)時，單調遞增；時，單調遞減；（，1）單調遞增。【探究二】：導數與函數的極值和最值例2：設函數，其中求函數的極大值和極小值。（極大值0；極小值）例3：已知函數(1)、求的最小值；)（2）、若對所有的，都有 ，求實數a的取值范圍。(a)【探究三】：已知函數的極大值和最值，求參數的值或取值范圍。例4：函數（）求的單調區間和極值；(增區間：(-),(,)減區間為:();極大值:5+4極小值：5-4.)（）若關于的方程有個不同實根，求實數的取值范圍.( 5-4)（）已知當時， 恒成立，求實數的取值范圍.（K5）例5（天津）已知函數，其中（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數的單調區間與極值【分析】(I)解：當時，又所以，曲線在點處的切線方程為 即(II)解：由于以下分兩種情況討論.(1)當時，令得到當變化時，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區間內為減函數，在區間內為增函數.函數在處取得極小值且.函數在處取得極大值且.(2)當時，令得到.當變化時，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區間內為減函數，在區間內為增函數.函數在處取得極大值且.函數在處取得極小值且.【考點】本小題考查導數的幾何意義，兩個函數的和、差、積、商的導數，利用導數研究函數的單調性和極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.例6已知定義在正實數集上的函數，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（）用表示，并求的最大值；（）求證：（）解析:本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力解：（）設y=f（x）與y=g（x）（x0）在公共點（x0,y0）處的切線相同,.即即有令于是當當故為減函數,于是h（t）在（）設則故F（x）在（0，a）為減函數，在（a,+）為增函數，于是函數故當x0時，有【探究四】利用導數求和：例7：試求下列代數式的和（, ）.（）.分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉換思維角度，由求導公式，可聯想到它們是另外一個和式的導數，利用導數運算可使問題的解決更加簡捷。解：（1）當x=1時，；當x1時，兩邊都是關于x的函數，求導得即（2），兩邊都是關于x的函數，求導得。令x=1得，即。三、 方法提升：1.通過求導求函數不等式的基本思路是：以導函數和不等式為基礎，單調性為主線，最(極值）為助手，從數形結合、分類討論等多視角進行綜合探索.2.求函數單調性與極值，注意解題的一般步驟；3.定積分注意幾何意義。12、（天津）已知函數在處取得極值. 討論和是函數的的極大值還是極小值；(大,小)過點作曲線的切線，求此切線方程.(y=9x+16)(a=1,b=0)13f(x)=lnx-ax2,x(0,1(1)若f(x)在區間(0,1上是增函數，求a范圍；(2)求f(x)在區間(0,1上的最大值.(1)y=f(x)在(0，1 上增在(0，1 上恒成立即在(0，1 上恒成立得(2) 1)若a0時, y=f(x)在(0，1 上單調遞增 f(1)max=-a14設函數f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)(1)若定義域內存在x0，使得不等式f(x0)-m0成立，求實數m的最小值；(2)g(x)=f(x)-x2-x-a在區間0,3上恰有兩個不同的零點，求a范圍.解析：（1）存在x0使mf(x0)min 令 y=f(x)在（-1，0）上單減，在(0,+)單增 f(0)min=1 m1 mmin=1（2）g(x)=x+1-a-2ln(1+x)在0,3上兩個零點 x+1-2ln(1+x)=a有兩個交點 令h(x)=x+1-2ln(1+x) y=f(x)在0,1上單減，(1,3上單增, h(0)=1-2ln1=1, h(1)=2-2ln2 h(3)=4-2ln4 2-ln2a1 15、已知函數（為常數，）.（）若是函數的一個極值點，求的值；(a=2)（）求證：當時，在上是增函數；（）若對任