福建省廈門第一中學2019屆高三（下）市二檢模擬考試理科數學試題一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.全集，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分別解出集合A和B，再結合交集的概念和補集的概念得到結果.【詳解】，故答案為：A.【點睛】這個題目考查了集合的交集和補集的概念，屬于基礎題.2.已知為虛數單位，若，則（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根據復數的除法運算得到，再由復數相等的概念得到參數值，進而得到結果.【詳解】為虛數單位，若，根據復數相等得到.故答案為：C.【點睛】這個題目考查了復數除法運算，以及復數相等的概念，復數與相等的充要條件是且復數相等的充要條件是化復為實的主要依據，多用來求解參數的值或取值范圍步驟是：分別分離出兩個復數的實部和虛部，利用實部與實部相等、虛部與虛部相等列方程（組）求解3. 下列說法中，正確的是（ ）A. 命題“若，則”的逆命題是真命題B. 命題“存在”的否定是：“任意”C. 命題“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”均為真命題D. 已知，則“”是“”的充分不必要條件【答案】B【解析】試題分析：A原命題的逆命題是“若ab，則am2bm2”是假命題，由于m=0時不成立；B利用“全稱命題”的否定是“特稱命題”即可判斷出正誤；C由“p或q”為真命題，可知：命題“p”和命題“q”至少有一個為真命題，即可判斷出正誤；DxR，則“x1”是“x2”的必要不充分條件，即可判斷出正誤解：A命題“若am2bm2，則ab”的逆命題是“若ab，則am2bm2”是假命題，m=0時不成立；B命題“存在xR，x2x0”的否定是：“任意xR，x2x0”，正確；C“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”至少有一個為真命題，因此不正確；DxR，則“x1”是“x2”的必要不充分條件，因此不正確故選：B考點：命題的真假判斷與應用4.設函數則值為（ ）A. 3B. 6C. 8D. 12【答案】D【解析】【分析】根據分段函數表達式中x的范圍，代入相應的表達式，得到相應的函數值.【詳解】函數,因為，故得到故答案為：D.【點睛】解決分段函數求值問題的策略(1)在求分段函數的值f(x0)時，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的關系式。(2)分段函數是指自變量在不同的取值范圍內，其對應法則也不同的函數，分段函數是一個函數，而不是多個函數；分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函數時要分段解決。(3)求f(f(f(a)的值時，一般要遵循由里向外逐層計算的原則。5.圓的一條切線與圓相交于，兩點，為坐標原點，則（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根據向量的點積的坐標運算得到，再由向量點積的定義式得到，根據直線和圓的位置關系以及半徑的大小，得到結果即可.【詳解】切線與圓切于點E，由題干知圓心均為O點，則根據向量點積坐標公式得到： ， 故得到：故答案為：B.【點睛】這個題目考查了向量的點積運算，包括向量點積的坐標運算，屬于基礎題.6.已知拋物線，斜率為的直線交拋物線于，兩點.若以線段為直徑的圓與拋物線的準線切于點，則點到直線的距離為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設出相應的點坐標，根據題意得到，聯立直線和拋物線得到根的和與乘積，代入上式進行化簡求出n值，進而得到點P坐標，再由點到直線的距離公式得到結果.【詳解】設 根據題意得到，設直線方程為聯立直線和拋物線方程得到： 化簡得到根據韋達定理，將根的和與乘積代入化簡得到.此時直線為，點P坐標為 根據點到直線的距離公式得到： 故答案為：B.【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用7.我國南宋時期的數學家秦九韶（約1202-1261）在他的著作（數書九章）中提出了多項式求值的秦九韶算法.如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項式的一個實例.若輸入的，則程序框圖計算的結果為（ ）A. 15B. 31C. 63D. 127【答案】C【解析】分析】由題意，模擬程序的運行，依次寫出每次循環得到的的值，當時，不滿足判斷條件，終止循環，即可輸出結果，得到答案【詳解】由題意，模擬執行程序框圖，可得：滿足條件，執行循環體，；滿足條件，執行循環體，；滿足條件，執行循環體，；滿足條件，執行循環體，；滿足條件，執行循環體，不滿足條件，終止循環，輸出的值，故選C【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖的計算與輸出問題，其中解答中根據給定的程序框圖，依次寫出每次循環得到的的值是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題8.某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從甲、乙兩地區分別隨機調查了100個用戶，根據用戶對產品的滿意度評分，分別得到甲地區和乙地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖若甲地區和乙地區用戶滿意度評分的中位數分別為m1，m2；平均數分別為s1，s2，則下面正確的是（）A. m1m2，s1s2B. m1m2，s1s2C. m1m2，s1s2D. m1m2，s1s2【答案】C【解析】【分析】利用頻率分布直方圖分別求出甲地區和乙地區用戶滿意度評分的中位數和平均數，由此能求出結果【詳解】由頻率分布直方圖得：甲地區40，60）的頻率為：（0.015+0.020）100.35，60，70）的頻率為0.025100.25，甲地區用戶滿意度評分的中位數m16066，甲地區的平均數s1450.01510+550.02010+650.02510+750.02010+850.01010+950.0101067乙地區50，70）的頻率為：（0.005+0.020）100.25，70，80）的頻率為：0.035100.35，乙地區用戶滿意度評分的中位數m2701077.1，乙地區的平均數s2550.00510+650.02010+750.03510+850.02510+950.0151077.5m1m2，s1s2故答案為：C.【點睛】本題考查平均數、中位數的求法與比較，考查頻率分布直方圖等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題條形分布直方圖的面積表示的是概率值，中位數是位于最中間的數，故直接找概率為0.5的即可；平均數是每個長方條的中點乘以間距再乘以長方條的高，將每一個數值相加得到.9.已知四棱錐的三視圖如圖所示，則四棱錐外接球的表面積是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三視圖得，幾何體是一個四棱錐A-BCDE,底面ABCD是矩形，側面ABE底面BCDE.如圖所示，矩形ABCD中心為M,球心為O,F為BE中點，OGAF.設OM=x,由題得在直角OME中，又MF=OG=1,AF=,，解（1）（2）得故選B.點睛：本題的難點在于作圖找到關于R的方程，本題條件復雜，要通過兩個三角形得到關于R的兩個方程、（2），再解方程得到R的值.10.已知雙曲線的右焦點為，直線經過點且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的右支交于不同兩點，若，則該雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先可以根據題意寫出直線的方程，然后令并聯立直線與雙曲線方程，得出兩點的縱坐標之和以及縱坐標之積，再然后通過即可列出方程并解得的值，最后根據離心率計算公式即可得出結果。【詳解】由題意得直線的方程為，不妨取，則，且.將代入，得.設，則，.由，得，所以，得，解得，所以，故該雙曲線的離心率為，故選A。【點睛】本題考查雙曲線的相關性質，主要考查雙曲線的漸近線與離心率的相關性質，考查雙曲線與直線的相關性質，考查方程思想，考查運算求解能力，是中檔題。11.如圖，四邊形內接于圓，若，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】做出輔助線，根據題意得到；在三角形DCB中，應用余弦定理以及重要不等式得到再由正弦定理中的三角形面積公式得到結果.【詳解】做于點E， 在直角三角形中，可得到根據該四邊形對角互補得到在三角形ABD中，應用余弦定理得到 在三角形DCB中，應用余弦定理以及重要不等式得到 進而得到 故答案為：C.【點睛】這個題目考查了余弦定理解三角形，以及四邊形有外接圓則對角互補的性質的應用；在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據. 解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說 ,當條件中同時出現 及 、 時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數交叉出現時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數再結合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.12.已知函數有兩個零點，則下列判斷：；有極小值點，且.則正確判斷的個數是（ ）A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個【答案】D【解析】【分析】對函數求導得到函數的極值點進而得到ae，不正確，先由函數單調性得到正確，再推斷的正誤.【詳解】對函數求導：當a0時，f（x）exa0在xR上恒成立，f（x）在R上單調遞增當a0時，f（x）exa0，exa0，解得xlna，f（x）在（，lna）單調遞減，在（lna，+）單調遞增函數f（x）exax有兩個零點x1x2，f（lna）0，ae，elnaalna0，ae，不正確； 函數的極小值點為要證，只要證 因為函數f（x）在（，）單調遞減，故只需要證 構造函數 求導得到 所以函數單調遞增，恒成立， 即，故得到進而得證：，.故正確.又因為 根據，可得到.不正確.因為故不確定.綜上正確的只有一個.故答案為：D.【點睛】本題考查的是導數在研究函數的極值點中的應用，導數在研究函數的單調性中的應用，題目比較綜合.其中涉及到極值偏移的方法的應用.二、填空題。13.設，滿足約束條件，則的最小值是_【答案】【解析】【分析】根據約束條件畫出可行域，可知需確定在軸截距的最大值，通過平移可得結果，從而確定所求最小值.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將化為：可知的最小值即為在軸截距最大時的取值由圖像平移可知，當過點時，截距最大由得本題正確結果：【點睛】本題考查線性規劃中的求解的最值類的問題，重點是通過平移確定取得最值的點.14.若，當時，實數的值為_【答案】0或2.【解析】【分析】將原式變形為，通項為，對應的系數，故得到從而得到結果.【詳解】因為，將原式變形為，通項為 對應的系數，故得到 系數為 故答案為：0或2.【點睛】求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.15.在中，角，的對邊分別為，且，若當，變化時，存在最大值，則正數的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由正弦定理解三角形，將邊長轉化為角即，代入進行化簡，求出函數取得最大值時的結果【詳解】由正弦定理可得：,且滿足存在最大值，令則，當存在最大值時，即解得綜上可得故正數的取值范圍是【點睛】本題在求含有邊長的取最值時，利用正弦定理將其轉化為角的問題，這樣運用輔助角公式來求解，限制角的范圍，求出結果，在解答此類題目時一般將邊化為角來求解。16.已知，數列滿足：對任意，且，則使得成立的最小正整數為 _.【答案】298【解析】【分析】先求出確定是以3為首項，1為公差的等差數列，求出從而 最后解不等式得出的最小值。【詳解】，由知： ，又，.是以3為首項，1為公差的等差數列，又，從而， ，令得，又，故的最小值為298.【點睛】本題考察了三角函數的求導，等差數列的定義，同角三角關系式，以及根式不等式的求解。三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知等差數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）已知數列是等差數列，因此由已知先求出，利用成等差數列求出參數，從而可得數列的通項公式；（2）把變形為，從而用分組求和與裂項相消求和法求得其前項和詳解：（1）（法一）由，令，得到是等差數列，則，即解得：由于，（法二）是等差數列，公差為，設對于均成立則，解得，（2）由點睛：設數列是等差數列，是等比數列，則數列，的前項和求法分別為分組求和法，錯位相減法，裂項相消法18.如圖，在平行六面體中，底面，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接，,通過勾股定理得到，再由條件推得進而得到線面垂直，線線垂直；（2）建立坐標系，分別求得兩個面的法向量，進而求得夾角的余弦值.【詳解】(1)連接，以為原幾何體是平行六面體，故得到是平行四邊形，進而得到，因為且，在三角形ABC中由余弦定理得到邊，進而得到，又因為底面， 面.(2)根據題干，以及第一問可建立如圖坐標系：設， 根據，設面的法向量為 設面的法向量為 ， 則兩個半平面的夾角余弦值為：【點睛】這個題目考查了空間中直線和面的位置關系的應用，涉及線面垂直的性質的應用，以及線線垂直的證明，和二面角的求法，一般求二面角，可以利用幾何方法，做出二面角，或者建立空間坐標系得到法向量進而求得二面角的大小.19.某保險公司針對一個擁有20000人的企業推出一款意外險產品，每年每位職工只需要交少量保費，發生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把企業的所有崗位共分為、三類工種，從事這三類工種的人數分別為12000、6000、2000，由歷史數據統計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）：工種類別ABC賠付頻率已知、三類工種職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此業務的過程中固定支出每年10萬元.（1）求保險公司在該業務所獲利潤的期望值；（2）現有如下兩個方案供企業選擇：方案1：企業不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠償付給出意外的職工，企業開展這項工作的固定支出為每年12萬元；方案2：企業與保險公司合作，企業負責職工保費的，職工個人負責，出險后賠償金由保險公司賠付，企業無額外專項開支.根據企業成本差異給出選擇合適方案的建議.【答案】()詳見解析；() 方案2【解析】試題分析：（）設工種職工的每份保單保險公司的收益為隨機變量，可得其分布列，分別求解數學期望，即可得到該工資的期望值；（）分別求出方案1和方案2中企業每年安全支出與固定開支，即可作出比較得到結論試題解析：（）設工種A、B、C職工的每份保單保險公司的收益為隨機變量X、Y、Z，則X、Y、Z的分布列為X25PY25PZ40P保險公司的期望收益為； 保險公司的利潤的期望值為，保險公司在該業務所獲利潤的期望值為9萬元（）方案1：企業不與保險公司合作，則企業每年安全支出與固定開支共為：，方案2：企業與保險公司合作，則企業支出保險金額為：，故建議企業選擇方案220.已知橢圓：的四個頂點組成的四邊形的面積為，且經過點.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的下頂點為，如圖所示，點為直線上的一個動點，過橢圓的右焦點的直線垂直于，且與交于，兩點，與交于點，四邊形和的面積分別為，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由橢圓幾何條件得橢圓四個頂點組成的四邊形為菱形，其面積為，又在橢圓上，所以，解方程組得，（2）先確定面積計算方法：，再確定計算方向：設，根據兩點間距離公式求，根據兩直線交點求點橫坐標，再根據直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理求弦長，最后根據表達式形式，確定求最值方法（基本不等式求最值）試題解析：（1）因為在橢圓上，所以，又因為橢圓四個頂點組成的四邊形的面積為，所以，解得，所以橢圓的方程為（2） 由（1）可知，設，則當時，所以，直線的方程為，即，由得，則，又，所以，由，得，所以，所以，當，直線，所以當時，.點睛： 在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時，若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下方面考慮：利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的關鍵是在兩個參數之間建立等量關系；利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍.21.已知.（1）若是上的增函數，求的取值范圍；（2）若函數有兩個極值點，判斷函數零點的個數.【答案】(1) (2) 三個零點【解析】【分析】(1) 由題意知恒成立,構造函數，對函數求導，求得函數最值，進而得到結果；（2）當時先對函數求導研究函數的單調性可得到函數有兩個極值點，再證，.詳解】（1）由得，由題意知恒成立，即，設，時，遞減，時，遞增；故，即，故的取值范圍是.（2）當時，單調，無極值；當時，一方面，且在遞減，所以在區間有一個零點.另一方面，設 ，則，從而在遞增，則，即，又在遞增，所以在區間有一個零點.因此，當時在和各有一個零點，將這兩個零點記為， ，當時，即；當時，即；當時，即：從而在遞增，在遞減，在遞增；于是是函數的極大值點，是函數的極小值點.下面證明：，由得，即，由得 ，令，則，當時，遞減，則，而，故；當時，遞減，則，而，故；一方面，因為，又，且在遞增，所以在上有一個零點，即在上有一個零點.另一方面，根據得，則有： ，又，且在遞增，故在上有一個零點，故在上有一個零點.又，故有三個零點.【點睛】本題考查函數的零點，導數的綜合應用