1.2直角三角形的判定1勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理的內容：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形(2)勾股定理的逆定理的釋疑：不少的同學對知道三角形三邊滿足a2b2c2能得到直角三角形這樣的一種結論持有懷疑的態度，其實通過三角形的全等可以很簡單地證明出來比如：如果在ABC中，ABc，BCa，CAb，并且滿足a2b2c2 (如圖所示)，那么C90.作A1B1C1，使C190，B1C1a，C1A1b，則A1Ba2b2.a2b2c2，A1B1c(A1B10)在ABC和A1B1C1中，BCaB1C1，CAbC1A1，ABcA1B1，ABCA1B1C1.CC190.辨誤區 勾股定理的逆定理的條件(1)不能說成在直角三角形中，因為還沒有確定直角三角形，當然也不能說“斜邊”和“直角邊”(2)當滿足a2b2c2時，c是斜邊，C是直角利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的思路是：先確定最長邊，算出最長邊的平方及另兩邊的平方和，如果最長邊的平方與另兩邊的平方和相等，則此三角形為直角三角形對啊！到目前為止判定直角三角形的方法有：說明三角形中有一個直角；說明三角形中有兩邊互相垂直；勾股定理的逆定理.【例1】 如圖所示，C90，AC3，BC4，AD12，BD13，問：ADAB嗎？試說明理由解：ADAB.理由：根據勾股定理得AB5.在ABD中，AB2AD252122169，BD2132169，所以AB2AD2BD2.由勾股定理的逆定理知ABD為直角三角形，且BAD90.故ADAB.2勾股定理的逆定理與勾股定理的關系勾股定理是通過“形”的狀態來反映“數”的關系的，而勾股定理的逆定理是通過“數”的關系來反映“形”的狀態的(1)勾股定理是直角三角形的性質定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的(2)聯系：兩者都與a2b2c2有關，兩者所討論的問題都是直角三角形問題(3)區別：勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件，進而得到這個直角三角形三邊的數量關系“a2b2c2”；勾股定理的逆定理則是以“一個三角形的三邊滿足a2b2c2”為條件，進而得到這個三角形是“直角三角形”(4)二者關系可列表如下：定理勾股定理勾股定理的逆定理內容如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2b2c2如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形題設直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c三角形的三邊長a，b，c滿足a2b2c2結論a2b2c2三角形是直角三角形用途是直角三角形的一個性質判定直角三角形的一種方法【例2】 如圖，在ABC中，D為BC邊上的點，已知：AB13，AD12，AC15，BD5，求DC.分析：先用勾股定理的逆定理判定形狀，然后用勾股定理求數據解：AD2BD212252132AB2，由勾股定理的逆定理知ADB為直角三角形ADBC.在RtADC中，由勾股定理，得DC2AC2AD215212292.DC9.3勾股數勾股數：滿足a2b2c2的三個正整數，稱為勾股數(1)由定義可知，一組數是勾股數必須滿足兩個條件：滿足a2b2c2；都是正整數兩者缺一不可(2)將一組勾股數同時擴大或縮小相同的倍數所得的數仍滿足a2b2c2(但不一定是勾股數)，以它們為邊長的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm為邊長的三角形是直角三角形【例3】 7,24,25；8,15,19；0.6,0.8,1.0；3n,4n,5n(n1，且為自然數)上面各組數中，勾股數有_組()A1 B2 C3 D4解析：72242252，且7,24,25都是正整數，7,24,25是勾股數82152192，8,15,19不是勾股數0.6,0.8,1.0不是正整數，0.6，0.8，1.0不是勾股數(3n)2(4n)225n2(5n)2 (n1，且為自然數)，且它們都是正整數，3n,4n,5n(n1，且為自然數)是勾股數.答案：B析規律 勾股數的判斷方法判斷勾股數要看兩個條件，一看能否滿足a2b2c2，二看是否都是正整數這兩者缺一不可4勾股定理的逆定理的應用勾股定理的逆定理在解決實際問題中有著廣泛的應用，可以用它來判定是不是直角家里建房時，常需要在現場畫出直角，在沒有測量角的儀器的情況下，工人師傅常常利用勾股定理的逆定理作出直角【例4】 如圖是一農民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發現ABDC8 m，ADBC6 m，AC9 m，請你幫他看一下，挖的地基是否合格？分析：本題是數學問題在生活中的實際應用，所以我們要把實際問題轉化成數學問題來解決，運用直角三角形的判定條件，來判斷它是否為直角三角形解：AD2DC26282100，AC29281，AD2DC2AC2.ADC不是直角三角形，ADC90.又按標準應為長方形，四個角應為直角，該農民挖的地基不合格5利用非負數的性質判定三角形的形狀在由一個等式求三角形的三邊長時，往往先把等式化為a2b2c20的形式，再由a0，b0，c0，求得三角形三邊之長，利用計算來判斷ABC是否是直角三角形談重點 判定三角形的形狀由條件等式來判斷三角形的形狀，就是將已知的條件等式變形，再根據它的結構特點，得出a，b，c的關系，從而判斷三角形的形狀【例5】 如果一個三角形的三邊長a，b，c滿足a2b2c233810a24b26c，試說明這個三角形是直角三角形分析：本題需要將已知等式進行變形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再說明解：將式子變形，得a2b2c233810a24b26c0，即a210a25b224b144c226c1690.整理，得(a5)2(b12)2(c13)20.因此a50，b120，c130，a5，b12，c13.a2b252122132c2，這個三角形是直角三角形6勾股定理及其逆定理的綜合應用(1)利用勾股定理解決生活中的實際問題時，關鍵是利用轉化的思想把實際問題轉化為數學模型(直角三角形)來解決(2)綜合運用勾股定理及其逆定理，將不規則圖形轉化為規則圖形是常用的數學方法，在這里，一方面要熟記常用的勾股數；另一方面要注意到：如果一個三角形的三邊長已知或具有某些比例關系，那么就可以用勾股定理的逆定理去驗證其是否是直角三角形 【例6】 如圖所示，在四邊形ABCD中，AD3 cm，AB4 cm，BAD90，BC12 cm，CD13 cm.求四邊形ABCD的面積分析：根據AD3 cm，AB4 cm，BAD90，可連接BD構成直角三角形，通過判斷BCD是直角三角形解決