2015高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了全國大學生數學建模競賽章程和全國大學生數學建模競賽參賽規則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規則”，可從全國大學生數學建模競賽網站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權全國大學生數學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的報名參賽隊號為（12位數字組成的編號）： 所屬學校（請填寫完整的全名）： 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： （論文紙質版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。） 日期： 年 月 日賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：2015高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：賽區評閱記錄（可供賽區評閱時使用）：評閱人評分備注全國統一編號（由賽區組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：護士工作時間的安排摘要當前社會“看病難”成了大中城市的一塊難以根治的頑疾。在城市的醫院里常常出現患者爆滿、醫護人員人手不足的狀況，現有的排班管理辦法難以適應當前醫院需求。在這種情況下醫護人員工作效率較低，導致醫院人力資源的浪費。為了緩解這一狀況，本文以某醫院的心腦血管科護士的工作時間安排表制定為例，在保證各時段護士人員需求下，分成求解最優安排方式的兩類問題，即不考慮加班情況下人員規模最小和人員規模固定情況下加班人數最少。針對問題一，為達到既滿足工作需要又要盡可能少的人員編制，本文采取0-1整數規劃，將護士1天的8小時工作分成5個模式。通過LINGO軟件對5個模式進行組合分析得到最小人員需求為87人，并將每時段安排人數做成EXCEL表格。考慮到工作時長（工作時段+休息時段）給護士生活帶來的影響，刪減掉工作時長最長的模式。隨后對保留的四種模式進行隨機組合，在所有組合中挑選出所有人數最少的模式，然后進行比較分析，綜合考慮夜班人數等因素，遴選出最優模式組合。具體模式選擇及工作時間調度詳見模型求解及附錄。針對問題二，護士人員限制為80人，需要部分護士加班2小時。本文研究的是如何使得加班護士人數最少，并給出最優工作安排方案。在問題一的基礎上，增加兩種加班模式，利用LINGO軟件求解得到最少加班人數為26人。隨后利用EXCEL軟件進行分析，在保證加班人數最少的前提下，綜合夜班人數等因素選出最優安排方式。具體模式選擇及工作時間調度詳見模型求解及附錄。關鍵字：線性規劃 0-1整數規劃 LINGO EXCEL 工作模式一、問題重述某醫院的心腦血管科需要制定護士的工作時間表。在心腦血管科的一個工作日分為12個兩小時的時段，每個時段的人員要求不同。例如，在夜間只要求有很少幾名護士就足夠了，但在早晨為了給病人提供特殊報務，需要很多護士。表B1列出了每個時段的人員需求量。表B1每個時段的人員需求問題1： （1）為滿足需求最少需要多少名護士？這里假定每位護士每天工作8小時，且在工作4小時后需要休息1小時。 （2）如果滿足需求的排班方案不止一種，請給出你認為最合理的排班方案，并說明其理由。問題2：目前心腦血管科只有80名護士，如果這個數目不能滿足指定的需求，只能考慮讓部分護士加班。如果加班，每天加班的時間為2小時，且緊隨在后一個4小時工作時段之后，中間沒有休息。 （1）請給出護士工作時間安排的方案，以使需要加班的護士數目最少。 （2）如果排班（包括加班）的方案不止一種，請給出你認為最合理的排班和加班方案，并說明其理由。二、模型假設1、不考慮國家法定假期及護士年假對排班的影響2、不考慮護士因病假、事假換班帶來的影響3、不考慮護士因個人問題對排班的影響4、所有給出的約束條件都真實、準確，且醫院排班嚴格按照此執行三、符號說明1、i，j:表示第i，j個工作時段2、a(i):第i個時間段所需護士人數3、b(i):第i個時間段安排護士人數4、z：表示所需最少護士總數5、z：表示所需最少加班護士總數, y：表示加班模式下，正常工作護士人數6、start1，start2startn：表示護士的n種工作模式6、j=i+p-k*limit,取適當值kN,使p0,limit,表示為滿足時段循環而定義的算法7、T：總工時（h）8、A:0-6時段安排加班護士人數， B:6-12時安排加班護士人數C:6-12時段安排工作人數， D:0-6時段安排工作人數9、權重計算總分M注：i，j=1、2、312四、問題一的模型建立與求解4.1問題分析此問中首要考慮的是滿足工作需要條件下所需要人員數量最少，該問題是一個典型的線性規劃問題。根據題目要求，護士每工作4小時需要休息1小時，由于護士是按工作時段上崗，休息完1小時后不能在中間時刻上崗，因此我們默認護士每工作4小時休息2小時。考慮到護士工作和休息是兩種狀態，本文采用0-1整數規劃，用1表示工作時段，用0表示休息時段，利用集循環函數建立相應模型完成求解。針對問題需要，本文引用的集函數主要為:集操作函數 wrap(index,limit)，集循環函數 for（setname:expression_list）sum（setname:expression_list）相應的等同于：start1模式: 1,1,0,1,1 start2模式: 1,0,1,0,1,1start3模式:1,1,0,1,0,1start4模式:1,0,1,1,0,1start5模式: 1,0,1,0,1,0,1本文假定每個護士選擇1種工作方式，由5種模式隨機組合。每時段工作的護士由前幾個時段開始工作的護士和本時段新增的護士組成，因此需要解決首尾時段連續的影響，為滿足時段循環我們定義如下算法:j=i+p-k*limit,取適當值kN,使p0,limit利用LINGO軟件進行求解得到最小人數Z=87。考慮到實際情況下，五種值班模式排班過于繁瑣，且start5工作時間過長，在此不作考慮。對剩下的4種模式隨機組合進行分析，利用LINGO軟件進行求解得到數據。再將分析結果通過EXCEL進行整理，從人員需求數目、夜班人數等因素進行比較排序，得到最優結果。4.2模型的求解4.2.1所提供數據分析表1：每個工作區間對應的時間段時段編號（i）123456789101112時段00-0202-0404-0606-0808-1010-1212-1414-1616-1818-2020-2222-24表2：、各時間段需求護士人數時段編號（i）123456789101112a（i）1515153540404030313530204.2.2編程求解LINGO（部分）求解結果如下（代碼見附錄）：本文首先對五種模式共存的情況用LINGO進行求解得到最少需要人數87人（求解代碼和生成見附錄），并將護士排班情況繪成EXCEL表格。在表格中，模式5持續時間過長，且工作休息間歇安排極不合理，在后面的分析中不作考慮。隨后，對另4種模式相互組合的情況分別用LINGO進行逐一求解，并將部分模式分析的程序代碼呈現（見附錄）。求解完數據后，通過EXCEL軟件對所有數據按所需最少人數、0-6時段開始上班人數、6-12時段開始上班人數進行排序分析，并用不同的顏色填充符合要求的解。（最優的前30%）具體權衡條件如下：1、以所需人數最少為優先考慮條件2、考慮0-6時開始上班人數盡可能少3、要保證護士人員在6-12時上班的人數盡可能多結論：在每個護士每天工作8小時，且在連續工作4小時后至少需休息1小時的條件下，該醫院為滿足工作需求至少需要87名護士，為減少0-6時段開始上班人數，將上班時間集中在6-12時段，通過對照分析，模式3（）和模式4（）的組合為最優選擇。對應調度安排見表3：護士值班安排表-34（問題一）表4：護士值班安排表1（問題一）注：1.模式組合中的數字代表不同模式，多個數字代表多種模式組合，例如：“123”代表模式1、模式2、模式3的組合2.0-6人數，6-12人數分別代表從0:00到6:00以及從6:00到12:00開始上班的人數五、問題二的模型建立與求解5.1問題的分析此問題整體解題思路與問題一相似，在護士人員只有80人的前提下要保證工作的完成，且盡可能少的安排加班人數，這也是一個典型的0-1整數規劃問題。此處新增加約束條件：護士總人數限定位80人，加班人數最少，加班時間為2小時，加班時段緊隨在正常工作時長結束后，不休息。在此繼續采用保留的4種正常工作模式，編號同上。因為條件的限制，且必須滿足護士工作4小時后需要休息2小時，所以只有兩種加班模式符合，用start6和start7表示：start6:1,0,1,1,0,1,1start7:1,1,0,1,0,1,1在用LINGO軟件分析求解之前，先進行簡單數據分析。將總工時與護士人數列二元一次方程組，設需要加班護士人數為，正常工作護士人數為y。解得=26 y =54由此可見加班人數最少為26人，在后面的LINGO求解過程中可以此為參考。5.2模型求解LINGO（部分）求解結果如下（代碼見附錄）：本問首先對4種正常工作模式與2種加班模式用LINGO程序進行求解，得到最少加班人數為26人，并將護士排班情況繪成EXCEL表格。（求解代碼和生成見附錄）。在EXCEL表格中對所有數據按所需加班人數、0-6時段安排加班人數（A）、6-12時段安排加班人數（B），0-6時段安排開始上班人數（C）、6-12時段安排開始上班人數（D）進行排，并用不同的顏色填充單元格以示區分（最優30%）。具體數據及分析結果見表5。具體權衡條件如下：1、以加班所需人數最少為優先考慮條件，在人數相同時再考慮下述條件2、對A、B、C、D人數通過加權綜合分析，具體權重計算如下：A 0，9 B 0，25 C6，27 D34，52（1）由表格數據可知A區間長度為9，B區間長度為25，C區間長度為21，D區間長度為18（2）0-6時段，人數越少越好，系數取負；6-12時段，人數越多越好，系數取正；ABCD區間長度不同，做系數調整，*9=*25=*21=*18（3）對ABCD不同因素，我們做如下權重分配：A占36%，B占24%，C占24%，D占16%。加權值M=0.36*A+0.24*B+0.24*C+0.16*D3.通過分數計算結果得到最優答案，得分最高的即為最優解結論：在護士總數為80人前提下，考慮到護士每天加班的時間為2小時，且緊隨在后一個4小時工作時段之后，中間沒有休息，為保證完成工作需要至少有26名護士加班。考慮到加班人員工作時間較長，盡可能集中安排在上午（6-12）開始上班；盡量減少加班護士在凌晨（0-6）上班的情況，同時也兼顧正常上班護士的需求，綜合考量，模式1、模式2、模式3、模式6和模式7的組合為最優選擇，即正常工作模式：11011、，加班工作模式：、 組合。對應調度安排見表5：護士值班安排表-12367（問題二）。表6：護士值班安排表2（問題二）六、模型的評價與改進6.1模型優點文中采用EXCEL表格處理數據，使得工作安排醒目、分析邏輯清楚；在解決兩個問題的時候，均采用了基于工作模式的0-1整數規劃方式，使得問題分析更簡單；在權衡模式選擇的時候，文中對各種因素進行加權劃分，結果更科學化、人性化。6.2模型缺點由于該模型完全假設在護士保證全勤工作能力相同的理想條件下，一些客觀因素考慮不周；在假設工作模式的時候，文中假設每個護士只有一種工作模式這在事實很難做到，而且在這種情況下可能不是最優答案。在加權過程中，所用的加權方式有一定局限性，對客觀因素菇涼不到位6.3模型改進（1）在模型建立過程中，為將多目標規劃轉化為0-1整數規劃，在工作模式的選取存在偶然性。現實中，考慮到醫院自己、護士本身受其他因素的影響，我們應該盡可能結合多種情況建立更多模型求解。（2）在求解完護士工作的規劃后，應該設計一個影響護士自身出勤的因數、以及不同護士工作能力差別的因數，并在加權計算中體現【參考文獻】1 姜啟源、謝金星、葉俊./ 數學模型（第四版）. 北京: 高等教育出版社,2011.1；2 卓金武、李必文、魏永生./MATLAB在數學建模中的應用（第2版）.北京：北京航空航天大學出版社3 三峽大學 2009年三峽大學數學建模熱身賽.網絡附錄模型一：1、五種模式組合分析Lingo程序代碼如下：model:! start1 11011;! start2 ;! start3 ;! start4 ;! start5 ;sets: times/1.12/: start1,start2,start3,start4,start5,required;endsetsdata: !每時段所需的最少護士數; required = 15 15 15 35 40 40 40 30 31 35 30 20; ole(G:/值班.xls)=start1; ole(G:/值班.xls)=start2; ole(G:/值班.xls)=start3; ole(G:/值班.xls)=start4; ole(G:/值班.xls)=start5;enddata!最小化所需安排護士數;min=sum(times: start1+start2+start3+start4+start5);!人數取整;for(times:gin(start1);for(times:gin(start2);for(times:gin(start3);for(times:gin(start4);for(times:gin(start5);for(times(J):start1(wrap(J+8,12)+start1(wrap(J+9,12)+start1(wrap(J+11,12)+start1(wrap(J,12)+ start2(wrap(J+7,12)+start2(wrap(J+9,12)+start2(wrap(J+11,12)+start2(wrap(J,12)+start3(wrap(J+7,12)+start3(wrap(J+9,12)+start3(wrap(J+10,12)+start3(wrap(J,12)+start4(wrap(J+7,12)+start4(wrap(J+8,12)+start4(wrap(J+10,12)+start4(wrap(J,12)+start5(wrap(J+6,12)+start5(wrap(J+8,12)+start5(wrap(J+10,12)+start5(wrap(J,12)= required(J);End運行結果：2、四種模式下的隨機組合例：模式3、4組合Lingo程序代碼如下：model:! start3 ;! start4 ;sets: times/1.12/: start3,start4,required;endsetsdata: !每時段所需的最少護士數; required = 15 15 15 35 40 40 40 30 31 35 30 20; ole(G:/值班.xls)=start3; ole(G:/值班.xls)=start4;enddata!最小化所需安排護士數;min=sum(times: start3+start4);!人數取整;for(times:gin(start3);for(times:gin(start4);for(times(J):start3(wrap(J+7,12)+start3(wrap(J+9,12)+start3(wrap(J+10,12)+start3(wrap(J,12)+start4(wrap(J+7,12)+start4(wrap(J+8,12)+start4(wrap(J+10,12)+start4(wrap(J,12)= required(J);End運行結果：模型二：1、，6種模式綜合求解model:! start1 11011;! start2 ;! start3 ;! start4 ;! start6 ;! start7 ;sets: times/1.12/: start1,start2,start3,start4,start6,start7,required;endsetsdata: !每時段所需的最少護士數; required = 15 15 15 35 40 40 40 30 31 35 30 20; ole(G:/值班.xls)=start1; ole(G:/值班.xls)=start2; ole(G:/值班.xls)=start3; ole(G:/值班.xls)=start4; ole(G:/值班.xls)=start6; ole(G:/值班.xls)=start7;enddata!最小化安排加班護士數;min=sum(times: start6+start7);!人數取整;for(times:gin(start1);for(times:gin(start2);for(times:gin(start3);for(times:gin(start4);for(times:gin(start6);for(times:gin(start7);!限定護士人數為80;sum(times: start1+start2+start3+start4+start6+start7)=80;for(times(J):start1(wrap(J+8,12)+start1(wrap(J+9,12)+start1(wrap(J+11,12)+start1(wrap(J,12)+ start2(wrap(J+7,12)+start2(wrap(J+9,12)+start2(wrap(J+11,12)+start2(wrap(J,12)+start3(wrap(J+7,12)+start3(wrap(J+9,12)+start3(wrap(J+10,12)+start3(wrap(J,12)+start4(wrap(J+7,12)+start4(wrap(J+8,12)+start4(wrap(J+10,12)+start4(wrap(J,12)+start6(wrap(J+6,12)+start6(wrap(J+7,12)+start6(wrap(J+9,12)+start6(wrap(J+11,12)+start6(wrap(J,12)+start7(wrap(J+6,12)+start7(wrap(J+8,12)+start7(wrap(J+9,12)+start7(wrap(J+11,12)+start7(wrap(J,12)= required(J);End運行結果：2、組合模式隨機求解例：1、2、3、6、7模式Lingo程序代碼如下：model:! start1 11011;! start2 ;! start3 ;! start6 ;! start7 ;sets: times/1.12/: start1,start2,start3,star