專題講座小學數學中培養學生推理能力的教學策略 周愛東 順義區教育研究考試中心小學生在數學課上學習一點有關推理的知識，是課標指定的一個重要教學內容。在課標（修改稿）的第三頁倒數第一行，就有明確的規定：“ 在數學教學中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直覺、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。”課標還具體地作出了解釋“推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論。在小學階段，主要學習合情推理，即歸納推理和類比推理。而歸納推理又多表現為“不完全歸納推理”。 一、知識結構、邏輯推理及相互間的關系在小學數學教學中，構建良好的數學知識結構是培養發展學生邏輯思維能力的一個重要途徑。烏辛斯基早就指出：“所謂智力發展不是別的，只是很好組織起來的知識體系。”而知識體系因為其內在的邏輯結構而獲得邏輯意義。數學中基本的概念、性質、法則、公式等都是遵循科學的邏輯性構成的。 “數學作為一種演繹系統，它的重要特點是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通過定義引入的”。這種演繹系統一方面使得數學內容以邏輯意義相關聯。另一方面從知識結構所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識。 例如：在教學正方形面積計算公式時 , 我們通過演繹推理得到的： 長方形面積長寬 正方形長寬 因此得出正方形面積邊長邊長 數學中的這種推理形式一旦被學生所熟識，他們又會運用它在已有知識的基礎上作出新的判斷和推理。 二、邏輯推理在教與學過程中的應用 根據奧蘇貝爾的認知同化理論，學生知識的習得和構建，主要依賴認知結構中原有的適當觀念，去影響和促進新的理解、掌握，溝通新舊知識的互相聯系，形成新的認知結構系統，這是數學知識學習過程中的同化現象。它包含三方面的內容：一是新舊知識建立下位聯系；二是新舊知識建立上位聯系；三是新舊知識建立聯合意義。這三方面與邏輯結構中的三類推理恰好建立相應的聯系。 1. 下位關系 演繹推理2. 上位關系 歸納推理3. 并列關系 類比推理 （一）下位關系演繹推理 如果原有的認知結構觀念極其抽象，概括性和包容性高于新知識，新舊知識建立下位聯系、新知識從屬于舊知識時，那么宜適當運用演繹推理的規則， 由一般性的前提推出特殊性的結論。 “演繹的實質就是認為每一特殊（具體）情況應當看作一般情況的特例”。為了得以關于某一對象的具體 知識，先要找出這一對象的類（最近的類概念），再將這一對象的類的屬性應用于哪個對象。 例如：由四條線段圍成的圖形叫做四邊形。 長方形、正方形、平行四邊形、梯形都是由四條線段圍成的圖形。那么這些圖形都是四邊形。 再如： 兩種量分別用 x 和 y 表示，若 y/ x k （一定），則 x 和 y 是成正比例的量。 同圓中周長比半徑 2 （一定）。 同圓中周長和半徑是成正比例的量。 當學生理解這種推理的順序，且懂得要使演繹推理正確，首先要前提正確，并學會使用這樣的語言： 只有兩個因數（ 1 和它本身）的數是質數； 101 只有兩個因數； 101 是質數。 那么，符合形式邏輯的演繹法則就初步被學生所掌握。 在知識層面中，這種類屬過程的多次進行，就導致知識不斷產生新的層次，其邏輯結構就越加嚴密，新的知識也就會不斷分化和精確化，就可以逐漸演繹出新的類屬性的具體知識。教學中正確把握這種結構，用演繹 推理的手段組織學習過程，不但能培養學生的思考方法，理解內容的邏輯結構，還能提高學生的模式辨認能力 ，縮短推理過程，快速找到解題途徑。 比如：運用乘法分 配律簡便運算時，學生必須以清晰、穩固的乘法分配律知識為基礎，才能實現簡算。 a c b c ( a b ) c 對比題： 99 99 99 1 99 (99 1)=9900 99 99 99 19 86 14 26 19 ( 86 14 ) （二）上位關系 歸納推理 如果原有認識結構已形成幾個觀念，要在原有的觀念上學習一個抽象、概括和包容性高于舊知識的新知識，即新舊知識建立上位聯系時，那么適當運用歸納推理的規則，可由特殊的前提推出一般性的結論。當需要研究某一對象集時，先要研究各個對象（情況），從中找出整個對象集所具有的性質，這就是歸納推理。歸納推理的基礎是觀察和試驗，是從具體的、特殊的情況過渡到一般情況（結論、推論）。 例如：在學習兩個奇數相加和是偶數時，先讓學生列舉出多個兩個奇數相加的例子，最后得出兩個奇數相加和是偶數的結論。 1 和 2 互質， 1 和 3 互質， 1 和 4 互質 1 和任意一個自然數互質。 2 和 3 互質， 3 和 4 互質， 4 和 5 互質 相鄰的兩個自然數互質。 3 和 5 互質， 5 和 7 互質， 7 和 9 互質 相鄰的兩個奇數互質。 教材中關于概念的形成，運算法則和運算定律、性質得出，一般是通過歸納推理得到的。運用歸納推理傳授知識時，要根據學生的實際經驗，選取典型的特例，并能夠通過典型特例的推理得出一般性的結論。又要用這個“一般結論”，去解決具體特例。在教與學的進程中，歸納和演繹不是孤立地出現的，它們緊密交織在一起。 （三）并列關系類比推理 如果新舊知識間既不產生從屬關系，又不能產生上位關系，但是新知識同原有知識有某種吻合關系或類 比關系，則新舊知識間可產生并列關系。那么可以運用類比推理。 教材中，商不變性質和分數基本性質，乘數是整數的乘法和乘數是分數的乘法等，學習這類與舊知識處于并列結合關系的新知識時，既不能以上位演繹推理到下位，又不能以下位歸納推理到上位，只能采用類比推理 。如五年級學習“一輛卡車平均每小時行 40 千米 ， 0.3 小時行了多少千米？”時，學生還無法根據小數乘法的意義列出此題的解答等式。所以，教學中一般用整數乘法中的數量關系來類推。 新舊知識的三種聯系與三類推理相呼應，不是一種巧合，是知識結構本身科學的邏輯結構使然。正確地運用邏輯推理的原則可以將學生的認識結構分化的程度提高，教師會不斷注意新知識的穩定性、清晰性，新知識的固定點、生長點。數學教學更富有科學意義。 三、在小學數學教學中培養學生推理能力的策略 （一）新知識轉化舊知識的學習中，溝通的策略。 （二）習得新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略。 （三）在學習新知時，關鍵處設問引發思考點撥思路的策略。 （四）設計開放練習，培養學生推理能力的策略。 （五）構建可操作的教學模式，培養學生推理能力的策略。 （一）新知識轉化舊知識的學習中，溝通的策略 1 立體圖形的體積計算，分為兩個階段，長、正方體體積；圓柱、圓錐的體積。學習了圓柱體積計算之后，可以把長方體，正方體，圓柱都看成是柱體，他們的體積都可以用底面積乘高來計算。 如圖，它們的體積公式可以統一成（ V sh ）。 2 學習了小數除法，要溝通整數除法中有余數的除法，和小數除法的關系。 例如：教師設計的開放練習； 甲數除以乙數的商是 12 ，余數是 8 ，如果商用小數表示是 12.5 ，那么甲數是（ ），乙數是（ ）。 （二）學了新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略 學習了分解質因數之后，可以深化整除的概念。 A 2 3 5 ； B 2 3 5 因為我們知道 B 包含 A 的所有因數，那么 B 是 A 的倍數， A 是 B 的因數。 質數、合數的概念，是依據一個數的因數個數多少來分類建立概念的。學習了分解質因數的概念后，學生又認識到，任何一個合數都可以表示成幾個質因數相乘的形式。教師應及時深化概念。從新的角度看舊知。 （三）在學習新知時，關鍵處設問引發思考點撥思路的策略 1 關鍵處點撥： 案例：商不變的性質教學片段。 首先是計算： 8 0 4= （ ）（ ）學生都能找到一個正確答案，方法無一例外都是先算出商 20 ，然后想哪兩個數相除商是 20 ，學生很難將兩個算式中的被除數和除數建立起聯系。 第二是觀察：我寫出一組算式： 20 2=10 40 4=10 80 8=10 ， 讓學生說說發現了什么？ 學生都發現了商沒變，被除數和除數變了， 具體說說怎樣變了？有的學生說被除數增加了，除數也增加了，有的學生說被除數擴大了，除數也擴大了，學生習慣上從上向下觀察，從直觀上感知被除數和除數發生了變化，增加了或擴大了，但對于被除數和除數變化之中的內在聯系卻很難發現。 如何讓學生主動探求被除數和除數的變化規律，并有所發現呢？我通過對情境的加工，提取出數學實例，學生在觀察、猜想、驗證、反思等學習過程中，運用不完全歸納法總結出商不變的性質，從而豐富學生探索規律的數學活動經驗。 我充分利用教材中猴王分桃子的情境： 3 只小猴子，猴王給了 6 個桃子，小猴子說不夠不夠，每人才 2 個桃子，太少了。猴王說：“少？沒關系，我有神奇寶盒，那給你們變一變，” 猴王利用寶盒變成： 60 個桃子分給 30 個小猴子，600 個桃子分給 300 只小猴子。600 和 300 ， 你們猜結果怎樣？真讓你們猜對了小猴子還是覺得少，奇怪了，桃子明明是越變越多了，小猴子為什么還說不夠呢？學生很容易發現雖然桃子也就是被除數多了，分給猴子的只數也就是除數也多了，每個人分得的桃子也就是商沒變。 真是神奇，被除數和除數同時都變了，商竟然沒變，那是不是不管被除數和除數怎樣變，商都不變呢？ 提出猜想：你認為被除數、除數發生怎樣的變化，商就能不變呢？ 2 在觀察中引發思考。 3 在確定思考方向處教師應設問點撥 蜘蛛有 8 條腿，蜻蜓有 6 條腿。現在這兩種小蟲共 18 只，共有 118 條腿。問蜘蛛有幾只？ 列表解答雞兔問題，可以從中間設數枚舉。但是下一個數需要思考。確定試算的方向。教師應設問點撥。 （四）設計開放練習，培養學生推理能力的策略。 1 追根尋源 : 如果下圖中圓的面積等于長方形的面積，那么圓的周長（ ）長方形的周長。 A. 等于 B. 大于 C. 小于 圓的周長是 16.4 厘米 ，陰影部分的周長是多少厘米？ 陰影部分的周長等于圓的周長加 1/4 圓周 16.4 （ 1 1/4 ） = 20.5 厘米 。 2 估算要有方法。 三位同學晨練，張華 5 分鐘走了 351 米 ，李明 2 分鐘走了 131 米 ，陸宇 3 分鐘走了 220 米 ，（ ）走得最快。 A. 張華 B. 李明 C. 陸宇 李明陸宇張華。張華分鐘大約走了 70 米 ，李明 1 分鐘走路不足 70 米 。所以陸宇走路最快。 3 整體考慮： 用下面的三個圖形可以拼成一個軸對稱圖形，把拼法畫在下面的網格中，并畫出所拼圖形的對稱軸。 三個圖形拼成一個軸對稱圖形，對稱軸可以有三個方向，沿著對稱軸等成分兩部分，每部分面積是 8橫向： 3 5 8 層次：易。縱向： 層次：易。三個圖形拼成一個軸對稱圖形，對稱軸可以有三個方向，沿著對稱軸等成分兩部分，每部分面積是 845 方向： 0.5 3.5 4 8 層次：難。45 方向： 2.5 3.5 6 每部分 2 8 層次：難。（五）構建可操作的教學模式，有效發展推理能力 案例： 感知、猜想、驗證、結論、推廣應用五步教學法 三年級學生學習了乘數是兩位數的乘法后，為了激發學生的學習的興趣，使體驗到數學計算中的趣味與魅力，在提高學生的計算能力的同時有意識地培養學生的推理能力，我們可以設計一些題組，清晰地呈現題組間邏輯關系，為學生提供充分觀察思考的思維空間，讓學生在經歷觀察、感知、猜想、驗證結論、推廣應用的數學活動中， 培養學生比較、分析、概括、探究等能力，發展學生的數學思考能力。 1. 利用題組，初步感知規律先計算下列乘法算式的乘積，然后再認真觀察：你有什么發現？ 學生通過計算后發現： 因數的特點： 1. 一個因數都是 67 2. 一個因數數 12,15,18 都是 3 的倍數 積的特點： 1 、積的前兩位數都是后兩位數的 2 倍。 2. 根據發現，提出猜想是不是只要是 3 的倍數與 67 相乘，它們的乘積就可能具有這個 2 倍的關系呢？ 3. 結合實例，驗證猜想這時教師為學生提供如下的算式，讓學生親自對猜想加以驗證： 練習： 通過計算以上題組加以驗證，學生會發現自己的猜想得到了驗證。那為什么這些乘法算式的結果會呈現有趣的 2 倍的關系呢？會不會是 3 倍、 4 倍呢？ 4. 明晰道理，提升認識3 67= 2 0 1看來這些算式的乘積：前兩位數是后兩位數的 2 倍，一定與 67 、以及 3 的倍數有關，于是在充分談論的基礎上明晰道理，提升認識。 奧秘在于： 所以： 概括推理，得出結論： 一個兩位數與 67 相乘，如果這個數是 3 的倍數，那么乘積的前兩位數一定是后兩位數的 2 倍。 5. 拓展結論，再次推理你能根據一些特殊的數據自己設計一些有意思的題組，使它們的乘積也具有一些特殊性嗎？ 如：教師課提供一些材料：特殊的數是 37 ， 3 7 3=111.37 27=999 利用倍數關系輕