3.1李亞普諾夫第二法的概述3.2李亞普諾夫意義下的穩定性3.3李亞普諾夫穩定性定理3.4線性系統的李亞普諾夫穩定性分析,3.1李亞普諾夫第二法的概述,一、物理基礎1、穩定性：一個自動控制系統當受到外界干擾時，它的平衡狀態被破壞，但在外擾去掉后,它仍有能力自動地在平衡狀態狀態下繼續工作，系統的這種性能，稱為穩定性。2、穩定系統：具有穩定性的系統稱為穩定系統。反之為不穩定系統。3、系統穩定性的數學表示法系統在受外界干擾后，系統偏差量（被調量偏離平衡位置的數值）過渡過程的收斂性，用數學方法表示為：,為系統被調量偏離其平衡位置的大小，為任意小的規定量。3、研究系統穩定性的方法勞斯胡爾維茨穩定性判據古典控制論：乃奎斯特穩定性判據第一種方法現代控制論：李亞普諾夫穩定性第二種方法第一種方法：是解系統的微分方程式，然后根據解的性質來判斷系統的穩定性，或根據特征方程根的情況來判據穩定性。,第二種方法：建立在一個直觀的物理事實上，如果一個系統的某個平衡狀態是漸近穩定的，即那么隨著系統的運動，其貯存的能量將隨時間增長而衰減，直至趨于平衡狀態而能量趨于極小值。由于實際系統很難找到一個統一的，簡便的用于完全描述上述過程的所謂能量函數。李氏認為在判斷一個系統的穩定性時，不一定非要得到系統的真正能量函數，可以根據不同的系統虛構一個廣義的能量函數，稱為李亞普諾夫函數（李氏函數）。李氏函數能滿足一定的條件，也就是根據它來判據系統的穩定性。,李氏函數一般是狀態分量和時間t的標量函數，用表示，若與t無關，可用表示。在多數情況下，常取二次型函數作為李氏函數。即：式中P為實對稱陣。二、二次型及其定號性1、二次型：定義：n個變量的二次齊次多項式為：,稱為二次型。式中是二次的系數。設對稱且均為實數。用矩陣表示二次型2、定號性1）正定性：當且僅當x=0時，才有；對任意非零X，恒有，則為正定。,2）負定性：當僅當X=0時，才有；對任意非零X,恒有，則為負定。3）正半定性和負半定性如果對任意，恒有,則V(X)為正半定或準正定。如果對任意，恒有,則V(X)為負半定或準負定。4）不定性如果無論取多么小的零點的某個鄰域，V(X)可為正值也可為負值，則V(X)為不定。3、賽爾維斯特準則1）二次型或對稱矩陣P為正定的充分條件是P的主子行列式均為正，即,如果則P為正定，即V(X)正定。2）二次型或對稱陣P為負定的充要條件是P的主子行列式滿足；（i為偶數）i=1，2，3，,n。,3.2李亞普諾夫意義下的穩定性,一、平衡狀態系統一般描述：X為n維狀態向量。平衡狀態：當在任意時間都能滿足時，稱Xe為系統的平衡狀態或平衡點。對于線性定常系統A為非奇異時，X=0是其唯一的平衡狀態。A為奇異時，系統有無窮多個平衡狀態。對于非線性系統，有一個或多個平衡狀態。對任意，總可引入一個新狀態，經過一定的坐標變換，把它化到坐標原點（即零狀態）。,孤立平衡狀態：如果多個平衡狀態彼此是孤立的，則稱這樣的狀態為孤立平衡狀態。單個平衡狀態也是孤立平衡狀態。穩定性問題：是指系統的狀態解（常稱“運動”）是否能趨于平衡狀態解的問題，若系統的狀態解能回復到平衡狀態則稱此系統是穩定的。如果系統的狀態解雖然不能最終回復到平衡狀態，而是在平衡狀態某個鄰域內呈現自激震蕩，而這種震蕩又為實際系統所允許，那么也應把這種系統稱為穩定的，反之為不穩定的。二、李亞普諾夫意義下的穩定系統狀態方程為,設u(t)=0，且系統的平衡狀態為Xe，。有擾動使系統在時的狀態為，產生初始偏差則后，系統的運動狀態從開始隨時間發生變化。表示初始偏差都在以為半徑，以平衡狀態Xe為中心的閉環域里。其中表示平衡狀態偏差都在以為半徑，以平衡狀態Xe為中心的閉環域里,1、穩定性定義：1）穩定與一致穩定設Xe為動力學系統的一個孤立平衡狀態。如果對球域或任意正實數，都可以找到另一個正實數或球域，當初始狀態滿足時，對由此出發的X的運動軌跡有，則此系統為李亞普諾夫意義下的穩定。如果與初始時刻無關，則稱平衡狀態為一致穩定。,2）漸近穩定和一致漸近穩定設Xe為動力學系統的孤立平衡狀態，如果它是穩定的，且從充分靠近Xe的任一初始狀態出發的運動軌跡有或即收斂于平衡狀態Xe，則稱平衡狀態Xe為漸近穩定。如果與初始時刻無關，則稱平衡狀態Xe為一致漸近穩定。3）大范圍漸近穩定如果對狀態空間的任意點，不管初始偏差有多大，都有漸近穩定特性，即對所有點都成立，稱平衡狀態Xe為大范圍漸近穩定的，如果線性定常系統是漸近穩定的，則它一定是大,范圍漸近穩定的。4）不穩定如果平衡狀態Xe即不是漸近穩定的，也不是穩定的，當并無限增大時，從出發的運動軌跡最終超越域，則稱平衡狀態Xe是不穩定的。,3.3李亞普諾夫穩定性定理,定理1：設系統的狀態方程為式中，如果有連續一階偏導數的標量函數存在，并且滿足以下條件：是正定的。是負定的。則在原點處的平衡狀態是漸近穩定的。如果隨著，有，則原點處的平衡狀態是大范圍內漸近穩定的。例3.1設系統方程為,試確定其平衡狀態的穩定性。解：1）平衡狀態求解，得是給定系統唯一的平衡狀態。2）選取李氏函數選顯然正定的所以系統在原點處的平衡狀態是漸近穩定的。,又即,有,則在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。,定理2：設系統的狀態方程為式中：，如果存在一標量函數，它具有連續的一階偏導數，且滿足下列條件：是正定的；是負半定的；對任意和任意，在時不恒等于零。則在系統原點處的平衡狀態是漸近穩定的。如果還有時，則為大范圍漸近,穩定的。式中,表示時，從出發的解軌跡。例3.2設系統方程為確定系統平衡狀態的穩定性解：1）求平衡狀態原點（0,0）為給定系統唯一的平衡狀態。2）選李氏函數，選,當負半定討論：的定號性，即是否恒為零.如果恒為零，勢必時，恒為零，而恒為零又必要恒為零。而又不可能恒為零。,因此有不可能恒為零系統原點處的平衡狀態是漸近穩定的。又由于，有是大范圍漸近穩定。若選正定。負定。而,系統在平衡狀態（0，0）是大范圍漸近穩定。定理3：設系統方程為式中，如果存在一個標量函數V(x,t),它,具有連續的一階偏導數，且滿足下列條件是正定的；時負半定的，但在某一x值恒為零。則系統在原點處的平衡狀態在李亞普諾夫定義下穩定的，但非漸近穩定，這時系統可以保持在一個穩定的等幅振蕩狀態上。例3.3系統方程為試確定系統平衡狀態的穩定性。解：原點為平衡狀態，選取李氏函數,在任意x值上均可保持為零，則系統在原點處是李亞普諾夫意義下的穩定，但不是漸近穩定的。定理4：設系統狀態方程為式中.如果存在一個標量函數V(x,t),它具有連續的一階偏函數，且滿足下列條件在原點的某一領域內是正定的，在同樣的領域內是正定的，則系統在原點處的平衡狀態是不穩定的。,一、線性定常系統的穩定性分析：分析：設線性定常系統為式中：xn維狀態向量，常系數距陣，假設為非奇異，判定系統穩定性。主要取決自由響應。平衡狀態，由方程知,x=0，(原點）對（1）式確定的系統，若選如下正定無限大V函數P正定赫米特距陣（復空間內=次型，如A是一個實向量，則可取正定實對稱距陣）,3.4線性系統的李亞普諾夫穩定性分析,的導數為如果系統為大范圍漸進穩定。則要求負定。,即,為負定,式中,2.問題：在已知P是正定條件下，尋找滿足(2)式條件的赫米特矩陣（或實對稱矩陣）Q是正定的，則系統（1）在原點處的平衡點，是大范圍漸近穩定的。,3.定理:設系統狀態方程為式中,x是n維狀態向量，A是常系數矩陣,且是非奇異。若給定一個正定的赫米特矩陣(包括實對稱矩陣)Q，存在一個正定的赫米特矩陣(或實對稱矩陣)P,使得滿足如下矩陣方程則系統在x=0處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的.而標量函數就是李氏函數.4.幾點討論,1）如果沿任意一條軌跡不恒等于零,則Q可取做半正定數.2）該定理闡述的條件，是充分且必要的。3）因為正定對稱矩陣Q的形式可任意給定，且最終判斷結果和Q的不同形式選擇無關，所以通常取這樣線性系統平衡狀態X=0為漸近的充分條件為：存在一個正定對稱矩陣P，滿足矩陣方程5、特征值穩定性判據對于線性定常系統有：,（1）系統的每一平衡狀態是在李亞普諾夫意義下穩定的充分必要條件為A的所有特征值均具有非正（負或零）實部，且具有零實部的特征值為A的最小多項式的單根。（2）系統的唯一平衡狀態Xe=0是漸近穩定的充分必要條件為：A的所有特征值均具有負實部。例：設系統的狀態方程為顯然，坐標原點是系統的一個平衡狀態，試確定系統在這一平衡狀態下的漸近穩定性條件，并求出系統的李亞普諾夫函數。,解：設系統李亞普諾夫函數為P由下式決定取得：,展開得：解上式：,漸近穩定條件：即：,滿足此不等式，必須有故上述系統在原點處是漸近穩定的充分條件為又此系統為線性定常系統，若此系統為在原點處漸近穩定，必為大范圍內漸近穩定。,例：已知線性定常系統試用李亞普諾夫第二法分析系統的穩定性。解：1）平衡狀態：X=0是系統唯一的平衡狀態。令代入,由此導出：故得,判據P的正定性故P是正定的。根據定理可知系統的平衡狀態X=0是漸近穩定的李氏函數：,顯然系統在X=0平衡狀態是漸近穩定的。二、線性時變系統的穩定性分析定理：若系統的矩陣A是t的函數（即時變函數），則系統在平衡點Xe=0處是大范圍內漸近穩定的充要條件為：對于任意給定連續對稱正定矩陣Q(t),存在一個連續對稱正定矩陣P(t),使得,而系統的李亞普諾夫函數是證明：設李亞普諾夫函數是,則P(t)必是正定且對稱矩陣，其,式中,由定理可知，當P是正定對稱矩陣時，若Q也是一個正定對稱矩陣，則是負定的，系統便是漸近穩定的。,式（1）解為,式中，是系統的狀態轉移矩陣，是式（1）的初始條件，若取,所以根據P(t)是否具有連續、對稱和正定性來分析線性時變系統的穩定性。,三、線性定常離散系統穩定性分析定理：線性定常離散系統的狀態方程為當系統在平衡點Xe=0是大范圍內漸近穩定時，其充分必要條件是：對于任意給定的對稱正定矩陣Q都存在對稱正定矩陣P，使得,而系統的李亞普諾夫函數是當取時，證：設李亞普諾夫函數為式中