.,什么是數學模型?所謂的數學模型，是描述系統動態特性及各變量之間關系的數學表達式。控制系統定量分析的基礎。數學模型的特點1)相似性：不同性質的系統，具有相同的數學模型。2)簡化性和準確性：忽略次要因素，簡化之；準確體現了系統性質。3)靜態模型：靜態條件下，各變量之間的代數方程。放大倍數4)動態模型：變量各階導數之間關系的微分方程。性能分析數學模型的類型1)微分方程：時域其它模型的基礎直觀求解繁瑣2)傳遞函數：復頻域微分方程拉氏變換后的結果3)頻率特性：頻域分析方法不同，各有所長,數學模型的概念,.,列寫微分方程式的一般步驟1)分析系統運動的因果關系，確定系統的輸入量、輸出量及內部中間變量，搞清各變量之間的關系。2)忽略一些次要因素，合理簡化。3)根據相關基本定律，列出各部分的原始方程式。4)列寫中間變量的輔助方程。方程數與變量數相等！5)聯立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方程式。6)將方程式化成標準形。與輸出有關的放在左邊，與輸入有關的放在右邊，導數項按降階排列，系數化為有物理意義的形式。,系統微分方程的建立,.,三個基本的無源元件：質量m,彈簧k,阻尼器f對應三種阻礙運動的力:慣性力ma;彈性力ky;阻尼力fv例1彈簧-質量-阻尼器串聯系統。試列出以外力F(t)為輸入量，以質量的位移y(t)為輸出量的運動方程式。,解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：（1）確定輸入量為F(t)，輸出量為y(t)，作用于質量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為中間變量。（2）設系統按線性集中參數考慮，且無外力作用時，系統處于平衡狀態。,機械平移系統舉例,.,（3）按牛頓第二定律列寫原始方程，即,（5）將以上輔助方程式代入原始方程,消去中間變量,得,（6）整理方程得標準形,（4）寫中間變量與輸出量的關系式,.,電路系統舉例例2電阻電感電容串聯系統。R-L-C串聯電路，試列出以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網絡微分方程式。,解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，中間變量為i(t)。,（2）網絡按線性集中參數考慮且忽略輸出端負載效應。,.,（4）列寫中間變量i與輸出變量uc的關系式:,（5）將上式代入原始方程，消去中間變量得,（3）由KVL寫原始方程：,i(t),（6）整理成標準形，令T1=L/R，T2=RC，則方程化為,.,線性微分方程的一般特征觀察實際物理系統的運動方程，若用線性定常特性來描述，則方程一般具有以下形式：,式中，c(t)是系統的輸出變量，r(t)是系統的輸入變量。從工程可實現的角度來看，上述微分方程滿足以下約束：（1）方程的系數為實常數，由系統自身參數決定；（2）左端的階次比右端的高,n=m。這是因為實際物理系統均有慣性或儲能元件；（3）方程式兩端的各項的量綱應一致。利用這點，可以檢查微分方程式的正確與否。,.,相似系統的定義：任何系統，只要它們的微分方程具有相同的形式。在方程中，占據相同位置的量，相似量。上面兩個例題介紹的系統，就是相似系統。,例