22.1雙曲線及其標準方程1了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程2掌握雙曲線的標準方程(重點)3會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的應用問題(難點)基礎初探教材整理1雙曲線的定義閱讀教材P45P46思考與討論，完成下列問題雙曲線的定義把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內到兩定點的距離的差等于常數(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線()(2)點A(1,0)，B(1,0)，若|AC|BC|2，則點C的軌跡是雙曲線()(3)到兩定點F1(3,0)、F2(3,0)的距離之差的絕對值等于6的點M的軌跡是兩條射線()【答案】(1)(2)(3)教材整理2雙曲線的標準方程閱讀教材P46思考與討論下面第一行P47例1以上部分，完成下列問題雙曲線的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦點F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c，c2a2b2判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在雙曲線標準方程1中，a0，b0且ab.()(2)雙曲線標準方程中，a，b的大小關系是ab.()(3)雙曲線x21的焦點在y軸上()【答案】(1)(2)(3)質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型雙曲線定義的應用(1)雙曲線1上一點A到點(5,0)的距離為15，則點A到點(5,0)的距離為()A7B23C7或23 D5或25(2)如圖221，雙曲線1(a0，b0)的焦點為F1，F2，過點F1作直線交雙曲線的左支于點A，B，且|AB|m，則ABF2的周長為_圖221【自主解答】(1)易知雙曲線的焦點坐標分別為F1(5,0)，F2(5,0)，|AF1|AF2|8，所以|AF1|7或23.(2)因為所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4a.又因為|AF1|BF1|AB|m，所以|AF2|BF2|4am.所以ABF2的周長為|AF2|BF2|AB|4a2m.【答案】(1)C(2)4a2m雙曲線的定義是用雙曲線上任意一點到兩焦點的距離來描述的定義中|PF1|PF2|2a|F1F2|，包含|PF1|PF2|2a和|PF1|PF2|2a，即要看到點離定點的距離的“遠”與“近”涉及雙曲線上點到焦點的距離問題，或符合雙曲線定義的軌跡問題可用雙曲線的定義求解再練一題1已知圓M1：(x4)2y225，圓M2：x2(y3)21，一動圓P與這兩個圓都外切，試求動圓圓心P的軌跡. 【導學號：25650061】【解】設動圓的半徑是R，則由題意知兩式相減得|PM1|PM2|4|M1M2|5，所以動圓圓心P的軌跡是以點M1(4,0)、M2(0,3)為焦點的雙曲線中靠近焦點M2(0,3)的一支求雙曲線的標準方程根據下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)經過點P，Q；(2)c，經過點(5,2)，焦點在x軸上；(3)a4，c5.【精彩點撥】本題主要考查用待定系數法求雙曲線的標準方程，求解時注意先定位再定量【自主解答】(1)法一：若焦點在x軸上，設雙曲線的方程為1(a0，b0)，由于點P和Q在雙曲線上，所以解得(舍去)若焦點在y軸上，設雙曲線的方程為1(a0，b0)，將P，Q兩點坐標代入可得解之得所以雙曲線的標準方程為1.法二：設雙曲線方程為1(mn0，b0)依題設有解得所求雙曲線的標準方程為y21.法二：焦點在x軸上，c，設所求雙曲線方程為1(其中06)雙曲線經過點(5,2)，1，5或30(舍去)所求雙曲線的標準方程是y21.(3)a4，c5，b2c2a225169，所求雙曲線的標準方程為1或1.1求雙曲線標準方程的步驟(1)確定雙曲線的類型并設出標準方程；(2)求出a2，b2的值2當雙曲線的焦點所在坐標軸不確定時，需分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，特別地，當已知雙曲線經過兩個點時，可設雙曲線方程為Ax2By21(AB0)來求解再練一題2求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)a2，經過點A(2，5)，焦點在y軸上；(2)與橢圓1有共同的焦點，它們的一個交點的縱坐標為4; 【導學號：25650062】(3)求經過點(3,0)，(6，3)的雙曲線的標準方程【解】(1)因為雙曲線的焦點在y軸上，所以可設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)由題設知，a2，且點A(2，5)在雙曲線上，所以解得a220，b216.故所求雙曲線的標準方程為1.(2)橢圓1的兩個焦點為F1(0，3)，F2(0,3)，雙曲線與橢圓的一個交點為(，4)或(，4)設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，則解得故所求雙曲線的標準方程為1.(3)設雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，雙曲線經過點(3,0)，(6，3)，解得故所求雙曲線的標準方程為1.探究共研型雙曲線中的焦點三角形問題探究在解決雙曲線的焦點三角形問題時，常與哪些知識點結論？【提示】雙曲線的定義，正余弦定理，勾股定理等若F1，F2是雙曲線1的兩個焦點，P是雙曲線上的點，且|PF1|PF2|32，試求F1PF2的面積【精彩點撥】雙曲線方程|PF1|PF2|2a|PF1|2|PF2|2的值F1PF290SF1PF2【自主解答】由雙曲線方程1，可知a3，b4，c5.由雙曲線的定義，得|PF1|PF2|2a6，將此式兩邊平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.如圖所示，在F1PF2中，由余弦定理，得cos F1PF20，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.1本題在解題過程中運用了方程的思想，在解方程時，又運用了整體代換的思想2在解焦點三角形的有關問題時，一般利用兩個關系式：(1)利用雙曲線的定義可得|PF1|PF2|的關系式(2)利用正余弦定理可得|PF1|，|PF2|的關系式，然后可以求解出|PF1|，|PF2|.但是，一般我們不直接求出|PF1|，|PF2|，而是根據需要，把|PF1|PF2|，|PF1|PF2|，|PF1|PF2|等看成一個整體來處理再練一題3設雙曲線1，F1、F2是其兩個焦點，點M在雙曲線上(1)若F1MF290，求F1MF2的面積；(2)若F1MF260，求F1MF2的面積【解】(1)由雙曲線方程知a2，b3，c，設|MF1|r1，|MF2|r2(r1r2)由雙曲線定義得r1r22a4，兩邊平方得rr2r1r216，即|F1F2|24SF1MF216，即4SF1MF25216，SF1MF29.(2)若F1MF260，在MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2rr2r1r2cos 60，r1r236，則SF1MF2r1r2sin 609.構建體系1雙曲線1的焦點坐標為()A(，0)，(，0)B(0，)，(0，)C(5,0)，(5,0) D(0，5)，(0,5)【解析】由雙曲線的標準方程，知a4，b3，所以c5.又由于焦點在x軸上，故選C.【答案】C2已知方程1表示雙曲線，則k的取值范圍是() 【導學號：25650063】A1k1 Bk0Ck0 Dk1或k1【解析】方程1表示雙曲線，則(1k)(1k)0，(k1)(k1)0，1k1.故選A.【答案】A3設m是常數，若點F(0,5)是雙曲線1的一個焦點，則m_.【解析】由點F(0,5)可知該雙曲線1的焦點落在y軸上，所以m0，且m952，解得m16.【答案】164若點P到點(0，3)與到點(0,3)的距離之差為2，則點P的軌跡方程為_【解析】由題意并結合雙曲線的定義，可知點P的軌跡方程為雙曲線的上支，且c3,2a2，則a1，b2918