.,第二章多元正態分布及其抽樣分布,.,內容,第一節多元正態分布的定義第二節多元正態的性質第三節多元正態參數的極大似然估計第四節多元正態的樣本分布,.,第一節多元正態分布的定義,一、標準多元正態分布,則,設隨機向量,其分量獨立同分布于,密度函數為,.,其中的,均值為,.,協方差矩陣為,.,二、一般的正態分布,設隨機向量,若其的密度函數為,.,其中的均值為,協方差為,稱服從均值為E(X)，協方差為的正態分布。,.,三、一般的p維正態和p維標準正態的關系,設，其中是一個階非退化矩陣，服從維標準正態分布，則,服從p維正態分布，且均值向量為,.,x的協方差矩陣為,.,其密度函數為,.,若，則1存在，是非退化元正態分布；,若，則不存在，是退化元正態分布，不存在密度函數。,值得注意,設隨機向量，是常數向量，是一個的常數矩陣，則服從正態分布，記為，其中,.,例：設隨機向量，則的分布是退化的三元正態分布。,.,第二節多元正態分布的性質,二、x是一個服從p維正態分布，當且僅當它的任何線性函數服從一元正態分布。,一、多元正態分布的特征函數,三、X服從維正態分布，則，其中為常數矩陣，為維的常數向量，則,.,四、設，則的任何子向量也服從多元正態分布，其均值為的相應子向量，協方差為的相應子矩陣。,.,五、設,，相互獨立，且，則對任意個常數，有,.,六、，則分布。,.,七、將作如下的分塊：子向量相互獨立，當且僅當。證：必要性,.,.,.,.,八、設，其中是階矩陣，是階矩陣，則與相互獨立，當且僅當。,.,九、設，其中是階矩陣，是階矩陣，則與相互獨立，當且僅當。,同上可證。,.,十、將作如下的分塊：,則與相互獨立，與相互獨立。,證：,.,.,則給定時的條件分布為，其中,十一、將作如下的分塊：,為給定的條件下數學期望。,.,十二、偏相關系數,矩陣稱為條件協方差矩陣，它的元素用表示。是當給定的條件下，與（）的偏相關系數，定義為,它度量了在值給定的條件下，與（）相關性的強弱。,.,例設XN6(,)，其協方差矩陣為，計算偏相關系數。,.,.,求x7給定的條件下，x1，x6的偏協方差矩陣,.,.,.,.,.,.,3實例分析及SAS/CORR,例1今對31人進行人體測試，考察的7個指標是：x1：年齡x2：體重x3：肺活量x4：1.5英里跑所需時間x5：休息時的脈搏x6：跑步時的脈搏x7：跑步時記錄的最大的脈搏對這些指標進行一些相關分析。,.,SAS的程序dataa;inputx1-x7;cards;4489.4744.60911.37621781824075.0745.31310.07621851853889.0249.8749.2255178180474861.2447.92011.50521701765282.7847.46710.5053170172;proccorrnosimplcov;varx1;withx7;partialx3;run;,.,proccorrnosimplcov;分析相關系數nosimpl是要求不打印描述性統計量。,varx1;指定分析相關系數的變量。,withx7;with指定變量與var指定的變量之間的相關系數。,partialx3;當指定的變量給定時，計算偏相關系數。,.,.,在肺活量一定的條件下，年齡和跑步時記錄的最大脈搏成負相關,1PartialVariables:x31WithVariables:x71Variables:x1PartialCovarianceMatrix,DF=29x1x7-24.95076704PearsonPartialCorrelationCoefficients,N=31Prob|r|underH0:PartialRho=0 x1x7-0.545730.0018,.,第三節極大似然估計及其性質,.,則總體的密度函數為,X1，X2，Xn是從總體中抽取的一個簡單隨機樣本，滿足X1，X2，Xn相互獨立，且同正態分布,稱X為樣本數據矩陣。,一、樣本的聯合密度函數,.,為樣本聯合密度函數。,.,所以，似然函數還可以表示為：,.,二、和的極大似然估計,所謂和的極大似然估計，是尋找和滿足條件,.,令,.,可以證明和的極大似然估計為,.,三、相關系數的極大似然估計,（一）極大似然估計的不變性質設是的極大似然估計是，而且變換f()是一一對應的，則f()的極大似然估計就是,.,（二）簡單相關系數的極大似然估計,其中Sij是樣本協方差矩陣S中相應位置上的元素,.,（三）偏相關系數的極大似然估計,則偏相關系數的極大似然估計,其中,，,。,.,（四）復相關系數的極大似然估計,將x和S作如下的分塊,.,的線性函數為,.,定義(復相關系數),一個變量y與一組變量X1,X2,XK的負相關系數是以y為被解釋變量，X1,X2,XK為自變量的回歸方程的可決系數。,.,為了研究四川經濟增長的影響因素，欲建立四川省經濟增長模型。主要經濟指標采用國內生產總值增長率（Y），投資指標資本形成總額增長率（X1），人口指標用自然增長率（X2），就業指標失業率（X3）和消費指標居民消費水平增長率（X4）。分析指標之間的關系。,.,dataa;inputyx1-x4;cards;數據行;proccorrnosimplnoprobcov;run;,.,prociml;sigma22=76.586056192.59407381-3.4580761949.03157071,2.594073815.14447619-0.782523814.24046429,-3.45807619-0.782523813.63747619-2.32063571,49.031570714.24046429-2.3206357153.90793143;sigma12=57.790535244.91975476-2.9884452452.41117214;fcorr=sigma12*inv(sigma22)*t(sigma12)/54.8989690;printfcorr;procreg;modely=x1-x4;run;,.,AnalysisofVarianceSumofMeanSourceDFSquaresSquareFValuePrFModel41089.28592272.32148501.20FWilksLambda0.545616206.874330.0004PillaisTrace0.454383806.874330.0004Hotelling-LawleyTrace0.832790156.874330.0004RoysGreatestRoot0.832790156.874330.0004直接檢驗兩個總體的均值向量是否相等。,.,DependentVariable:x1（對X1進行的檢驗）SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePrFModel10.874667910.8746679116.900.0002Error361.863008400.05175023CorrectedTotal372.73767632X1在類間有顯著性差異。,DependentVariable:x2（對X2進行的檢驗）SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePrFModel10.083120770.083120771.950.1710Error361.533700280.04260279CorrectedTotal371.61682105X2在類間沒有顯著性差異。,.,DependentVariable:x3（對X3進行的檢驗）SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePrFModel116.4695844316.4695844321.45FModel10.001126940.001126940.030.8643Error361.369780950.03804947CorrectedTotal371.37090789X4在類間沒有顯著性差異。,.,第四節抽樣分布,一、維希特（Wishart）,1、定義隨機矩陣的分布,矩陣中的每一個元素均為隨機變量，則矩陣X的分布是其列向量拉長，組成一個長向量,.,特別當是階對稱陣，則的分布為的下三角部分組成的長向量,在一元正態隨機變量中，我們曾經討論了分布，在多元正態隨機變量也有類似的樣本分布。維希特分布（Wishart）相當于一元統計中的分布。,.,定義維希特（Wishart）分布的統計量,設個隨機向量,獨立同分布于，則隨機矩陣,.,服從自由度為的非中心維斯特分布，記為。,.,定理1：若，且，則的分布密度為特別，當和時，服從分布。,維希特（Wishart）分布的密度函數,.,二、維斯特(Wishart)分布有如下的性質：,（1）若A1和A2獨立，其分布分別和，則的分布為，即維斯特分布有可加性。,（2），C為mp階的矩陣，則的分布為分布。,.,三、抽樣分布,定理1：設X1,X2,Xn是來自多元正態總體Np(,)的簡單隨機樣本，有,則有,.,證明：,獨立,.,.,.,故,且相互獨立。,.,獨立,.,當，時，由卡方分布的定義可知,可見維希特分布是由卡方分布在多元下的推廣。,服從自由度為的卡方分布。,定理2設獨立同正態分布，則統計量,.,證：,由于樣本均值,相互獨立的標準正態分布的平方和為自由度為的卡方分布。,.,在一元正態的情形下，我們有樣本的統計量當總體的方差未知時，我們必須用樣本的方差來代替總體的方差，則那么在多元正態的情形下，是否有相同的問題呢？回答時肯定的。,.,定義：,稱T2服從參數為P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，當。,當時，服從自由度為n的中心霍特林分布，記為。,.,定理：,.,定理：設是來自多元正態總體的簡單隨機樣本，有,.,定理：設是來自多元正態總體的簡單隨機樣本，,.,設是來自多元正態總體的簡單隨